שטח מקבילית

נוסחה לחישוב שטח והיקף מקבילית

חישוב שטח מקבילית (מסומן באות S) נתון על ידי מכפלת צלע מקבילית (a) כפול הגובה לצלע. S=a*h.
במקבילית יש להוריד גבהים על מנת לחשב את השטח.
יש להשתמש בגובה שמגיע אל הצלע לצורך החישוב (כלומר a עם h או b עם H).

היקף מקבילית שווה לסכום שתי צלעות סמוכות כפול שתיים. (p=2(a+b.

חישוב שטח מקבילית
חישוב שטח מקבילית

שטחים של צורות נוספות שתוכלו ללמוד באתר:

  1. שטח מעגל.
  2. שטח טרפז.
  3. שטח מעוין.
  4. שטח דלתון.
  5. שטח משולש.

תרגילים

תרגילים לבית הספר היסודי
תרגיל 1 הוא תרגיל בסיסי להצבה בנוסחה.
תרגילים 2-4 הם תרגילים הבודקים האם אתם מבינים את הנוסחה.
תרגיל 5 הוא חישוב של שטח מקבילית כאשר הגובה עובר מחוץ למקבילית.
תרגילים 6-9 הם תרגילים קשים יותר. למשל תרגיל בו נתון שטח המקבילית וצריך למצוא את שטח המקבילית.

תרגילים לחטיבת הביניים
תרגילים 10-11 הם תרגילי יחס בין שטח משולש לשטח מקבילית.
תרגילים 12-13 משלבים אחוזים ויחס.
תרגילים 14-17 קשים יותר.

תרגיל 1: חישוב שטח והיקף על פי הנוסחה

אורכי צלעות מקבילית הן 5,8 סנטימטר.
אורך הגובה אל הצלע שאורכה 8 סנטימטר הוא 4 סנטימטר.

  1. חשבו את שטח המקבילית.
  2. חשבו את היקף המקבילית
חישוב שטח מקבילית

פתרון

חישוב שטח
שטח מקבילית שווה לצלע כפול הגובה אליה.
32 = 4 * 8.
תשובה: שטח המקבילית 32 סמ"ר.

חישוב היקף
היקף מקבילית שווה לסכום הצלעות כפול 2.
= (5 + 8) *2
26 = 13 * 2
תשובה: היקף המקבילית 26 סנטימטר.

תרגיל 2: בדקו אם יש שגיאה בנתונים שבשרטוט

מקבילית שבה צלע אחת של 5 ס"מ וגובה אליה 6 ס"מ. צלע שנייה של 7 ס"מ וגודה אליה 4 ס"מ

נחשב את שטח המקבילית בשתי דרכים:
28=7*4
30=6*5.
מצאנו כי שטח המקבילית שונה בשתי דרכי החישוב – לכן יש שגיאה בנתונים.

תרגיל 3: האם ניתן לחשב את השטחים של המקביליות הבאות

אם כן חשבו את השטח. אם לא הסבירו מדוע.

האם ניתן לחשב את שטח המקביליות הבאות

פתרון

  1. לא ניתן לחשב. במקבילית 1 נתון אורך גובה וארך צלע שאליה הגובה אינו מגיע – לכן לא ניתן לחשב שטח.
  2. ניתן לחשב – 8*5=40 סמ"ר.
    במקבילית 2 נתון אורך גובה (5) ואורך צלע (8) הנמצאת מול הצלע שאליה הגובה מגיע. מכוון שצלעות במקבילית הנמצאות זו מול זו שוות ניתן לחשב את שטח המקבילית.
  3. לא ניתן לחשב – במקבילית 3 הישר הנתון אינו גובה ולכן לא ניתן לחשב את שטח המקבילית.
  4. ניתן לחשב – 5*3=15 סמ"ר.
    במקבילית 4 יש לנו צלע (3) וגובה לצלע (5) לכן ניתן לחשב את השטח.

תרגיל 4: הציעו גדלים לצלע וגובה במקבילית שהשטח שלה ידוע

מה יכולים להיות אורכי צלע והגובה אל הצלע במקבילית ששטחה הוא 12 סמ"ר?

פתרון
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 12.
6,2
4,3
אלו דוגמאות למספרים היכולים להתאים.

תרגיל 5: חישוב שטח מקבילית עם גובה חיצוני

במקבילית ABCD מעברים את הגובה החיצוני BE שאורכו 4 ס"מ.
ידוע כי:
AB= 7,  CE = 2  ס"מ.
חשבו את שטח המקבילית

שרטוט התרגיל

פתרון

DC = AB = 7  צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

כאשר מחשבים שטח מקבילית והגובה הוא חיצוני למקבילית אנו לא מתייחסים לאורך של CE. מה שמעניין אותנו הוא רק אורך צלע המקבילית עצמה ואורך הגובה אל הצלע.
S = DC = * BE = 7 * 4 = 28

תשובה: שטח המקבילית הוא 28 סמ"ר.

תרגיל 6: מציאת אורך צלע המקבילית על פי שטח

נתונה מקבילית ששטחה הוא 30 סמ"ר ואורך אחת מצלעות המקבילית הוא 10 ס"מ.

  1. מצאו את אורך הגובה לצלע המקבילית.
  2. אם היקף המקבילית הוא 30 ס"מ – מצאו את אורך הצלע השנייה של המקבילית.
שרטוט התרגיל

פתרון

שטח המקבילית הוא מכפלת הצלע בגובה.
30 = ___ * 10
המקום הריק מייצג את גודל הגובה.
המספר החסר הוא 3. לכן גודל הגובה הוא 3 סנטימטר.

דרך נוספת לפתור היא בעזרת התרגיל:
3=30:10.

היקף
חישוב היקף מקבילית נעשה על ידי חיבור 4 הצלעות.
ניתן לכתוב זאת כך:
30 = ___ + ___ + 10 + 10
כאשר המקום הריק מייצג את גודל הצלע החסרה.
30 = ___ + ___ + 20
המספר המתאים למקום הוא 5.
תשובה: אורך הצלע החסרה הוא 5 סנטימטר.

הסבר נוסף
היקף המקבילית הוא 30 סנטימטר.
היקף 2 הצלעות הידועות הוא 20 סנטימטר.
ל- 2 הצלעות החסרות נותרו 10 סנטימטר.
ומכוון שהצלעות החסרות שוות כל אחת מיהן היא 5 סנטימטר.

תלמידי כיתה ז ומעלה יכולים לפתור זאת בעזרת משוואה.
x – אורך הצלע השנייה.
20-/ 30=20+2x
2x=10 /:2
x=5
תשובה: אורך הצלע השנייה במקבילית הוא 5 ס"מ.

תרגיל 7

משורטטות שתי מקביליות.
קבעו האם השטח של אחת המקביליות גדול יותר.
השתמשו הריבועים על מנת למדוד את הגדלים.

פתרון
3 הוא אורך הבסיס של שתי המקביליות.
2 הוא אורך הגובה של שתי המקביליות.
ומכוון ששטח מקבילית שווה לצלע כפול הגובה אליה אז שטח שתי המקביליות שווה.

תרגיל 8: נתון היקף המקבילית, חשבו את השטח

היקפה של מקבילית הוא 20 סנטימטר.
אורך צלע אחת במקבילית הוא 3 סנטימטר.
אורך הגובה אל הצלע שאנו לא יודעים את אורכה הוא 2 סנטימטר.
חשבו את שטח המקבילית.

חישוב שטח מקבילית

פתרון

בעזרת ההיקף ניתן לחשב את אורך הצלע החסרה.
לאחר שנדע את אורך הצלע נוכל לחשב את השטח על פי הנוסחה.

20 = ___ + ___  + 3 + 3
המקום הריק מיצג את גודל הצלע החסרה.
20 = ___ + ___ + 6
14 = 6 – 20
אורך שתי הצלעות החסרות הוא 14.
7 = 2 : 14
אורך הצלע החסרה הוא 7 סנטימטר.

שטח המקבילית
צלע כפול הגובה המגיע אליה.
14 = 2 * 7
תשובה: שטח המקבילית הוא 14 סמ"ר.

תרגיל 9: חישוב שטח מקבילית בשתי דרכים

במקבילית אורך צלע הוא 6 סנטימטר ואורך הגובה המגיע אליה הוא 4 סנטימטר.
אורך הצלע השנייה במקבילית הוא 8 סנטימטר. חשבו את אורך הגובה המגיע לצלע זו.

חישוב שטח מקבילית

פתרון

שטח המקבילית הוא:
24 = 4 * 6

אם נחשב בעזרת הצלע השנייה נקבל:
24 = ___ * 8
נפתור את התרגיל:
3 = 8 : 24
תשובה: אורך הגובה הוא 3 סנטימטר.

תרגילים לתלמידי חטיבת הביניים

בחלק זה של הדף 4 תרגילים.
לתרגילים 7,9,10 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 10: הקשר בין שטח משולש לשטח מקבילית

מה היחס בין שטח המשולש BEC לשטח המקבילית ABCD?

שרטוט התרגיל

פתרון:

במשולש BEC נוריד גובה מקודקוד E לצלע BC.
חישוב שטח המשולש הוא:

שטח משולש

על מנת לחשב את שטח המקבילית נוריד גובה AG (שרטוט בסוף הפתרון).
שטח המקבילית הוא
S =BC * AG
נשים לב שנוצר לנו מלבן AEFG (המרובע הוא מלבן כי יש לו 3 זוויות שגודלן 90 מעלות).
לכן
AG = EF (צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו).

נציב את EF במקום AG בנוסחת שטח המקבילית ונקבל.
S = BC * EF

שטח משולש

קיבלנו ששטח המשולש הוא:

ושטח המקבילית הוא:
S = BC * EF

ניתן לראות שהנוסחאות זהות מלבד זה שאת שטח המשולש מחלקים ב 2.
לכן שטח המקבילית גדול פי 2 משטח המשולש.

שרטוט הפתרון

תרגיל 11: שטח מקבילית ושטח משולש

במקבילית ABCD ידוע כי:
AD = 8,  AF = 5 סנטימטר.
AF הוא גובה במקבילית.

על צלע המקבילית בונים משולש DCE כך ש CE = 4 סנטימטר.
חשבו את שטח הצורה כולה (ABED).

פתרון
נחשב את שטח המקבילית ואת שטח המשולש בנפרד.
שטח המקבילית
BC = AD = 8
שטח המקבילית הוא:
S = AF * BC
S = 8 * 5 = 40

שטח המשולש
נוריד במשולש את הגובה DG.
DG = AF = 5 כי צלעות נגדיות במלבן שוות.
נציב DG = 5,  CE = 4 בנוסחת שטח משולש ונקבל:

סכום השטחים הוא:
50 = 10 + 40
תשובה: שטח המרובע ABED הוא 50 סמ"ר.

שרטוט הגובה במשולש
שרטוט הגובה במשולש

תרגיל 12: אחוזים ושטח מקבילית

במקבילית אורך הגובה הוא 130% מאורך הצלע אליה הוא מגיע.
שטח המקבילית הוא 32.5 סמ"ר.
חשבו את אורך צלע וגובה המקבילית.

פתרון
נגדיר:
x אורך צלע המקבילית בסנטימטר.
לכן אורך גובה המקבילית הוא:

נציב את גודל הגובה וגודל הצלע במשוואה של שטח מקבילית ונקבל:
1.3x * x = 32.5   / :1.3
x * x = 25
x = 5  או  x = -5
מכוון שאורך צלע הוא גודל חיובי התשובה היא x = 5.

נחשב את אורך גובה המקבילית.
h = 1.3x
h = 1.3 * 5 = 6.5

תרגיל 13: יחס ושטח מקבילית

במקבילית היחס בין אורך הצלע לגובה המגיע אל הצלע הוא 3:2.
שטח המקבילית הוא 54 סמ"ר.
חשבו את אורך הצלע והגובה המגיע אל הצלע.

פתרון
עלינו להגדיר את הצלע ואת הגובה אל הצלע באמצעות משתנה אחד ואז לבנות משוואה.
נגדיר:
2x אורך הגובה המגיע אל הצלע בסנטימטר.
לכן:
3x אורך הצלע בסנטימטר.

זו הדרך הטובה להגדיר את המשתנים ועליכם ללמוד אותה.
אבל אם קשה לכם יש דרך נוספת.
היחס המקורי הוא  3:2.
נצמצם אותו ל 1.5:1
ואז:
x אורך הגובה אל הצלע בסנטימטר.
1.5x אורך הצלע בסנטימטר.

נמשיך בפתרון על פי ההגדרות:
2x אורך הגובה המגיע אל הצלע בסנטימטר.
3x אורך הצלע בסנטימטר.

נציב את הגדלים הללו בנוסחת שטח מקבילית:
2x * 3x = 54
6x * x = 54  / : 6
x * x = 9
x = 3  או  x = -3
x הוא אורך של צלע ולכן גודלו חיובי. x = 3

נחשב את אורך צלע וגובה המקבילית
אורך הצלע:
3x = 3*3 = 9
אורך הגובה:
2x = 2 * 3 = 6.
תשובה: אורך צלע המקבילית הוא 9, אורך גובה המקבילית הוא 6.

תרגיל 14: משפט פיתגורס במקבילית

במקבילית ABCD מורידים גובה AE.
נתון BE=3 ס"מ.  EC=10 ס"מ.  AB=5 ס"מ.

חשבו את:

  1. אורך הגובה AE.
  2. שטח המקבילית.
שטח מקבילית

פתרון:

סעיף א: חישוב הגובה AE
ב- ΔABE על פי משפט פיתגורס:
AE² = AB² – BE²
AE² = 5²-3²  = 25 – 9
16= AE²
AE=4

סעיף ב: חישוב שטח המקבילית
שטח המקבילית הוא מכפלת צלע בגובה אל אותה צלע.
S=BC * AE = 13*4=52
תשובה: 52 סמ"ר.

* תרגיל 15: תרגיל יחס קשה יחסית

(תרגיל זה דורש לדעת לפתור משוואה שיש לה משתנה במכנה)
על צלע מקבילית ABCD בונים משולש DCE.
BC = 12 סנטימטר.
היחס בין שטח המשולש לשטח המקבילית הוא 1:6.
חשבו את CE.

פתרון
בניית עזר
נוריד גובה במקבילית (AF) וגובה במשולש (DG).
שני הגבהים הללו יוצרים מלבן כי במרובע AFGD יש 3-4 זוויות של 90 מעלות (3 מספיקות להוכיח מלבן).
ולכן AF = DG (צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו).

חישוב שטח המקבילית והמשולש
שטח המקבילית הוא:
S = BC * AF
S = 12AF

שטח המשולש הוא:
S = 0.5DG * CE

אנו יודעים שהיחס בין שטח המשולש לשטח המקבילית הוא 1:6.
לכן ניתן לבנות את המשוואה הבאה:

את DG ו AF ניתן לצמצם במונה ובמכנה (כי הם שווים).

נכפיל את המשוואה פי 12 ונקבל.
0.5CE  = 2  / *2
CE = 4
תשובה: גודלו של CE הוא 4 סנטימטר.

תרגיל 16: דמיון משולשים במקבילית

במקבילית ABCD נתון כי אורכי הצלעות AD=10  ס"מ ו- AB=6 ס"מ.
אורכם של הגבהים הוא AE=2X ו- AF=3X+2.

חשבו את אורכם של הגבהים AF, AE ואת שטח המקבילית.

שרטוט התרגיל

פתרון:

נוכיח את דמיון המשולשים

  1. D=∠ B∠  -במקבילית ABCD זוויות נגדיות שוות.
  2. BEA = ∠DFA∠  – נתון ששני הזוויות הם 90 מעלות.
  3. ΔABE ∼ ΔADF  – דמיון משולשים על פי ז.ז. נובע מ- 1 ו- 2.
יחס הדמיון
יחס הדמיון

נחשב את אורכי הגבהים
על מנת למצוא את אורכי הגבהים עלינו למצוא את יחס הדמיון בין המשולשים הדומים.
על פי דמיון המשולשים:

נציב את הנתונים:
AD =10, AB = 6, AF = 3X +2,  AE = 2X
ונקבל:

זו משוואה עם נעלם אחד שאנו יכולים לפתור (נכפיל ב 12x, ניתן היה להכפיל גם ב 6x)  ונקבל:
20x=18x+12  / -18x
2x=12
x=6

נציב x = 6 על מנת למצוא את AE, AF.
AE=2X=12
AF=3X+2=20
תשובה: AE=12 ס"מ.  AF=20 ס"מ.

חישוב שטח המקבילית
S=AF * DC = 6*20 =120.
תשובה: שטח המקבילית הוא  120 סמ"ר.

תרגיל 17: אלכסוני המקבילית יוצרים משולשים עם שטחים שווים

נתונה מקבילית ABCD. אלכסוני המקבילית מחלקים אותה ל- 4 משולשים.
נתון כי שטח אחד מהמשולשים הוא 20 סמ"ר.
מצאו את שטח המקבילית כולה.

פתרון:
תרגיל זה נמצא פה מסיבה אחת בלבד – על מנת שתדעו שאלכסוני המקבילית מחלקים אותה ל- 4 משולשים שווה שטח.
הרעיון של ההוכחה הוא כזה:
1.כל שני משולשים הנמצאים אחד מול השני הם חופפים ולכן שווים בשטחם.
2.לכל שני משולשים סמוכים במקבילית יש גובה משותף, וגם אורך הבסיס שווה (כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה).

שטח מקבילית

הוכחה זו תכתב בקיצור ולא כפי שעליכם לכתוב אותה בבחינה – בגלל שהיא ארוכה אך פשוטה.

שלב א: נוכיח שמשולשים הנמצאים אחד מול השני הם משולשים חופפים

  1. ΔDOC ≅ ΔBOA – על פי צ.צ.צ (נובע מכך שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה  DO = OB,  CO = AO וגם צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו DC = AB).
  2. ΔDOA ≅ ΔBOC – על פי צ.צ.צ (נובע מכך שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה וגם צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו).

שלב ב: נוכיח שלמשולשים סמוכים במקבילית יש שטח שווה
נוריד גובה מקודקוד C לצלע DB. גובה זה יכול לשמש כגובה במשולש COD וגם במשולש COB.

  1. שטח מקבילית

נרשום את שטחי המשולשים COD,  COB

חישוב שטח משולש

נשים לב שההבדל היחידי בין שטחי המשולשים הוא OB לעומת OD.
אבל אנחנו יודעים:
OD = OB

ולכן שטחי המשולשים COD ו COB שווים.

סיכום הדרך ותשובה
הוכחנו שכל שני שטחים הנמצאים אחד מול השני הם משולשים חופפים ולכן שווים בשטחם.
הוכחנו גם כי משולשים סמוכים שווים בשטחם.
לכן כל ארבעת שטחי המשולשים שווים ושטח המקבילית הוא 80.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 thoughts on “שטח מקבילית

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      צלע המקבילית כפול הגובה המגיע אל אותה הצלע.
      ממליץ לבדוק את התרגילים בתחילת הדף מובנים.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום ליאור.
      מה הכוונה "ובכמה המקבילית איך מחשבים"?
      אם תוכל לכתוב את השאלה מחדש ואם יש בשאלה מספרים הוסף אותם.

  1. ליאור בלומנטת

    אם נתון לי גובה חיצוני למקבילית, אני צריכה להעריך את הצלע שעליה מגיע הגובה ואז לעשות את הגובה× הצלע המוערכת?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום ליאור.
      ראשית הוספתי את שאלה מספר 3 שעוסקת בגובה חיצוני למקבילית ואני חושב שהיא תעזור יותר ממה שאכתוב כאן.
      הביטויים "צלע מוארכת" או "להאריך את הצלע שאליה מגיע הגובה" לא ברורים לי אבל אנסה לענות ממה שאני מבין.
      טעות שעושים הרבה פעמים כאשר יש גובה חיצוני היא לחשב את שטח המקבילית עם צלע המקבילית + אורך הקטע המשלים את צלע המקבילית.
      וזו טעות. שטח מקבילית הוא תמיד אורך צלע המקבילית עצמה (ללא תוספות) כפול הגובה אל הצלע.
      שאלה 3 אמורה להסביר זאת.
      ואם זה לא מסתדר כתוב לי את השאלה שיש לך.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.