פרבולות מהסוג f(x) = ax², f(x) =x²

נושא הפונקציה הריבועית הוא נושא ארוך. באתר זה הוא מחולק ל 5 חלקים:

  1. משוואה ריבועית, דרכים שונות לפתרון משוואה ריבועית.
  2. פונקציה ריבועית, כיצד חוקרים פונקציה ריבועית. אלו שאלות שואלים על פונקציה ריבועית.
  3. משפחת הפרבולות – סוגים שונים של פרבולות, הזזות, תרגילים. סיכום הנושא.
  4. בעיות מילוליות עם משוואה ריבועית.
  5. אי שוויונים ריבועיים. כיצד פותרים.

 

הפונקציה f(x) =x² ומשפחת הפונקציות  f(x) =ax² הi הפונקציות הריבועית הראשונות שאתם לומדים.

בדף זה נעבור על התכונות וסוגי השאלות שיכולים לשאול אותכם.

1.הפונקציה  f(x) =x² היא אי שלילית תמיד.

כלומר זה לא משנה איזה ערך של x תציבו בפונקציה הערך של (f(x (חלקכם רגילים לקרוא ל f(x) = y) תמיד יהיה חיובי. (חוץ מהנקודה 0,0 שהיא אי שלילית).

דבר זה נובע מכך שכל מספר שתעלו בריבוע (²) (x²( הוא חיובי.

למשל:

f(3) = 3²
f(-4) = (-4)² = 16
f(0) = 0²

בגרף זה נראה כך, כל הגרף מעל ציר ה x למעט הנקודה (0,0).

גרף הפונקציה f(x) =x²

גרף הפונקציה f(x) =x²

הערה: עבור הפרבולות מהסוג f(x) = ax² ערך הפונקציה חיובי תמיד כאשר a>0 ושלילי תמיד כאשר a<0. (למעט הנקודה 0,0 שהיא לא שלילית ולא חיובית וקיימת בכול הפונקציות הללו).

2.  (f(x) = f (-x  ולכן הפונקציה סימטרית ביחס לציר ה y

f (5) = f(-5) =25
f(-1) = f(1) =1

המשמעות של "סימטרית ביחס לציר ה y" זה   (f(x) = f (-x אלו שתי דרכים להגיד את אותו דבר.

3. בשונה מפונקציה קווית קצב השתנות הפונקציה אינו קבוע. הפונקציה עולה בצורה חדה יותר כאשר הערך המוחלט של x גדול יותר

לפונקציה קווית יש קצב שינוי קבוע.

עבור הפונקציה f(x) =x² וגם עבור הפונקציה f(x) =ax² הקצב שבו ה y משתנה משתנה כאשר ערכי ה x משתנים. הקצב גדל ככול שהערך המוחלט של x גדל יותר.

למשל ניקח את משוואת הישר f(x) =2x והפונקציה f(x) =x² ונראה את קצב ההשתנות כאשר מציבים בהן 1,2,3.

ערך x 1 2 3
f(x) =2x 2 4 6
f(x) =x² 1 4 9

אנו רואים שעבור הפונקציה f(x) =2x  כאשר אנו מעלים את ערך ה x ערך ה y עולה באופן קבוע ב 2.
עבור הפונקציה  f(x) =x² כאשר ערך ה x עולה מ 1 ל 2 ה y עולה ב 3. וכאשר ערך ה x עולה מ 2 ל 3 ערך ה x עולה ב 5.

טבלה נוספת עבור ערכים שליליים.

ערך x 2- 3- 4-
f(x) =2x 4- 6- 8-
f(x) =x² 4 9 16

 

פתרון משוואה ריבועית פשוטה. x² =9. באמצעים אלגבריים וגרפים. אין פתרון כאשר אין נקודות חיתוך וכאשר

4. איך יודעים האם נקודה נמצאת על גרף הפרבולה?

מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה ואם מתקבל משהוא נכון אז הנקודה נמצאת על הפרבולה. אם מתקבל משהוא לא נכון הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.

כך בודקים האם נקודה נמצאת על משוואת ישר או האם נקודה נמצאת על כל פונקציה אחרת; מציבים את ערכי הנקודה ובודקים אם יצא משהוא נכון או לא נכון.

נבדוק האם הנקודות (1,1) ו (4,12) נמצאות על f(x) =x².
1²=1 זה נכון ולכן (1,1) נמצאת על הפרבולה.

4² =12
16 = 12 זה לא נכון ולכן (4,12) לא נמצאת על הפרבולה.

תרגיל

הנקודה (2,20) נמצאת על גרף הפונקציה f(x) = ax² מצאו את ערכו של a ואת משוואת הפונקציה.

פתרון

נציב את הנקודה במשוואת הפונקציה ונקבל:
a2² = 20
4a =20
a=5
משוואת הפונקציה היא f(x) = 5x².

5. הנקודה 0,0 היא קודקוד הפרבולה

זה נכון עבור f(x) =x² וגם עבור f(x) =ax²

עבור f(x) =ax² היא נקודת מינימום כאשר a>0 ונקודת מקסימום עבור a<0.

6. גרף הפונקציה f(x) =x² עולה כאשר x>0 ויורד כאשר x>0

מהתבוננות בגרף הפונקציה f(x) =x² ניתן לראות שהגרף עולה עבור x>0 ויורד עבור x<0.

משפחת הפונקציות f(x) =ax² עולה או יורדת בהתאם לערך ה a. כאשר a חיובי הפונקציות מתנהגות כמו f(x) =x² . כאשר a<0 משפחת הפונקציות מתנהגת הפוך ויורדת עבור x> 0 ויורדת עבור x<0.

7. כיצד מוצאים פתרונות ל f(x) =x² =k ומה המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

k  מייצג מספר כלשהו.

למשוואה x² =k יש שתי פתרונות.

אם x² = 25
אז x=5 או x=-5.

אם x²=9
אז x=3 או x=-3.

בגרף זה נראה כך:

עבור f(x) =x² =k עבור כל k יש שתי ערכי x הפותרים את המשווה. למעט k=0 שלו יש פתרון אחד.

עבור f(x) =x² =k עבור כל k יש שתי ערכי x הפותרים את המשווה. למעט k=0 שלו יש פתרון אחד.

כאשר נתונה המשוואה ax²=k (כאשר k מספר כלשהו).

אם יש לנו שתי פתרונות זה אומר שהישר y = k חותך את הפונקציה  f(x) =ax² בשתי נקודות.
אם יש פתרון אחד זה אומר שהישר y = k משיק לפונקציה  f(x) =ax² בנקודה אחת. וזה קורה כאשר y=k עובר דרך קודקוד הפרבולה.
אם אין נקודות חיתוך זה אומר שהישר y=k אינו פוגש את הפונקציה f(x) =ax².

ולמה זה כך?
נקודה משתופת לישר ולפרבולה זה אומר שהנקודה מקיימת את משוואת הישר והפרבולה ומכוון שגרף זה אוסף הנקודות שמקיים את כל אחת מהמשוואות הנקודה צריכה להיות על שני הגרפים.

דוגמה ניקח את הפרבולה f (x) = 4x² ונבדוק אותה מול שלושה ישרים:

  1. y =12x
  2. y=0
  3. y= -4

4x² =12x /:4
x³=3x /-3x
x – 3x =0
x(x-3)=0
x=0, x = 3
לאחר שנמצא את ערך ה y נמצא כי נקודות החיתוך הם (3,36)  (0,0).

עבור הישר y=0.
4x²=0 / 4
x²=0
x=0
נקודת החיתוך (0,0).

עבור הישר y =-4.
4x² = -4 /:4
x² = -1
משוואה זו לא נכונה אף פעם כי מספר בחזקה זוגית אף פעם לא שלילי.
לכן אין נקודת חיתוך.

הפרבולה ושלושת משוואות הישר נראות כך בגרף:

שרטוט הפרבולה ושלושת הישרים

שרטוט הפרבולה ושלושת הישרים

עוד דוגמאות:

 

7. כיצד ערך a בגרף הפונקציה f(x) =ax² משפיע על גרף הפונקציה?

ערך ה a משפיע בשתי דרכים;

  1. האם זאת תהיה פרבולה עם נקודת מינימום או מקסימום.
  2. עד כמה קצב העלייה / ירידה של הפרבולה יהיה תלול.

1.האם זאת תהיה פרבולה עם נקודת מינימום או מקסימום.

כאשר a>0 זו פרבולה עם נקודת מינימום, פרבולה מחייכת.

כאשר a<0 זו פרבולה עם נקודת מקסימום, פרבולה בוכה.

ההשפעה של a על גרף הפונקציה f(x) =ax²

ההשפעה של a על גרף הפונקציה f(x) =ax²

2. עד כמה קצב העלייה / ירידה של הפרבולה יהיה תלול.

ככול שערך ה a בגרף הפונקציה גדול יותר בערכו המוחלט כך הפונקציה f(x) =ax² תלולה יותר.

כלומר, כאשר a>0 ככול ש a גדול יותר הפונקציה תלולה יותר.
כאשר a<0 ככול ש a קטן יותר הפונקציה תלולה יותר.

תרגיל

זהו את הפונקציות הבאות בגרפים:

3x², 0.4x². -0.3x² , -2x², 7x²

זהו את הגרפים של הפונקציות הבאות

זהו את הגרפים של הפונקציות הבאות

 

פתרון

פתרון זיהוי גרפים

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.