פרבולות מהסוג f(x) = ax² + c

נושא המשוואה הריבועית והפונקציה הריבועית הוא נושא ארוך. באתר זה הוא מחולק ל 5 חלקים:

  1. משוואה ריבועית, דרכים שונות לפתרון משוואה ריבועית.
  2. פונקציה ריבועית, כיצד חוקרים פונקציה ריבועית. אלו שאלות שואלים על פונקציה ריבועית.
  3. משפחת הפרבולות – סוגים שונים של פרבולות, הזזות, תרגילים. סיכום הנושא.
  4. בעיות מילוליות עם משוואה ריבועית.
  5. אי שוויונים ריבועיים. כיצד פותרים.

בדף זה הנושא הוא פרבולות מהסוג f(x) = ax² + c.
(דף קודם: פרבולות מהסוג f(x) = ax², הדף הבא:

קודקוד הפרבולה מהסוג f(x) = ax² + c

כאשר מוסיפים את הפרמטר (מספר) c אל משוואת הפרבולה f(x) = ax²  אנו נגרום להעלאה או ירידה של גרף הפרבולה ב c יחידות.

למשל: היכן נמצא קודקוד הפרבולה f(x) = 5x² +2?
בנקודה (0,2).

היכן נמצא קודקוד הפרבולה f(x) = x² – 5?
בנקודה (5-,0)

כיצד c משפיע על מיקום קודקוד הפרבולה

כיצד c משפיע על מיקום קודקוד הפרבולה

תחומי החיוביות והשליליות

תחומי החיוביות והשליליות מושפעים מ a ו c.

כאשר a> 0 הפרבולה עולה מעל לנקודת הקודקוד שלה.
כאשר a<0  הפרבולה יורדת מתחת לנקודת הקודקוד שלה.

לכן על מנת שהפרבולה תהיה חיובית תמיד צריכים להתקיים שני תנאים a>0, c>0.
על מנת שפרבולה תהיה שלילית תמיד צריך להתקיים a<0, c<0.

כאשר a>0, c>0 הפרבולה חיובית תמיד. כאשר a<0, c<0 הפרבולה שלילית תמיד.

כאשר a>0, c>0 הפרבולה חיובית תמיד.
כאשר a<0, c<0 הפרבולה שלילית תמיד.

תרגיל 

הסבירו במילים מדוע לגרפים f(x) = 2x² +3,  g(x) = -2x² +2 אין נקודות חיתוך.
הציעו פרבולה שיש לה נקודת מגע אחת עם הפרבולה f(x) = 2x² +3 ועוד פרבולה שיש לה שתי נקודות חיתוך עם f(x) = 2x² +3

פתרון

קודקוד הפרבולה של f(x) = 2x² +3 היא הנקודה (0,3) וזו פרבולה עם נקודת מינימום, כלומר כל ערכי ה y שלה גדולים או שווים ל 3.

קודקוד הפרבולה של g(x) = -2x² +2 היא הנקודה (0,2) וזו פרבולה עם נקודת מקסימום כלומר על ערכי ה  y שלה קטנים או שווים ל 2.

לכן אין תחום חפיפה בין ערכי ה y של הפונקציות והן אינן נפגשות.

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  g(x) = -2x² +2

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  g(x) = -2x² +2

חלק שני
קודקוד הפרבולה של f(x) = 2x² +3 היא הנקודה (0,3). נמצא פרבולה אחרת עם אותו קודקוד רק שהיא עם נקודת מקסימום. אלו יהיו כל הפרבולות מהצורה h(x) = ax² +3 כאשר a<0. למשל h(x) = -x² +3.

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  h(x) = -x² +3

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  h(x) = -x² +3

חלק שלישי
הדרך הקלה למצוא פרבולה החותכת בשתי נקודות היא להגדיר פרבולה עם קודקוד גבוה מ (0,3) ועם כיוון הפוך מ f(x, במקרה זה פרבולת מקסימום.
למשל h(x) = -x² +5.

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  h(x) = -x² +5

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  h(x) = -x² +5

דרך אחרת יכולה להיות להגדיר פרבולה עם קודקוד נמוך יותר מ (0,3) ובנוסף פרבולת מינימום שעולה בצורה חדה יותר, ולכן פוגשת פעמיים את f(x) = 2x² +3 למשל h(x) = 5x²+1.

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  h(x) = 5x² +1

גרף הפרבולות f(x) = 2x² +3,  h(x) = 5x² +1

קצב השינוי של הפרבולה

קצב השינוי, הקצב בו הפונקציה עולה / יורדת, אינו מושפע מ c אלא רק מ a.
ככול ש a בערכו המוחלט גדול יותר כך קצב השינוי מהיר יותר.

גרף הפרבולה f(x) = 5x² -5 עולה בקצב מהיר יותר מהפרבולה f(x) = x² +2 רק בגלל שערך ה a שלו גדול יותר וללא קשר לערך ה c.

גרף הפרבולה f(x) = 5x² -5 עולה בקצב מהיר יותר מהפרבולה f(x) = x² +2 רק בגלל שערך ה a שלו גדול יותר וללא קשר לערך ה c.

תרגיל

מה ההפרש בין ערכי הפונקציות f(x) =3x² +10, f(x) = 3x²-2 כאשר x=5? וכאשר x= -2?

פתרון

ההבדל בין שתי הפונקציות הללו הוא רק בערכי ה c שלהם. והפער בערכי ה c הוא 12. לכן עבור כל ערך של x הפער בין הפונקציות הוא 12.

עבור כל ערך x שתציבו הפער בין ערכי ה y יהיה 12.

עבור כל ערך x שתציבו הפער בין ערכי ה y יהיה 12.

תרגיל

עבור אלו ערכים של k יש למשוואה 2x² +5 =k- שתי פתרונות? פתרון אחד? 0 פתרונות?

פתרון

הכלל אומר:
x² = k וגם k>0 שתי פתרונות.
k=0 פתרון אחד.
k<0 אין פתרונות.

2x² +5 =k  / -5-
2x² = k-5  /:-2
x² = -0.5k +2.5

שתי פתרונות כאשר:
0.5k +2.5 >0-
0.5k > -2.5  / *-2-
k <5

פתרון אחד כאשר:
0.5k +2.5 =0-
k=5

0 פתרונות כאשר:
0.5k +2.5 <0-
k>5

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.