טרפז שווה שוקיים

בדף זה:

  1. איך מוכיחים שצורה היא טרפז שווה שוקיים ומשפטים שאושרו לבגרות.
  2. תכונות ומצבים בשאלות על טרפז שכדאי להכיר.
  3. תכונות טרפז שווה שוקיים שכדאי לדעת אבל צריך להוכיח אם משתמשים בהן.
  4. תרגילים (13 תרגילים עם פתרונות מלאים. תרגילי מספרים ותרגילי הוכחה).

בנושא טרפז תוכלו ללמוד באתר גם:

ונושאים נוספים:

1. איך מוכיחים שטרפז הוא טרפז שווה שוקיים?

מוכיחים שהצורה היא טרפז ואז צריך להוכיח את אחד משלושת הדברים הבאים:

  1. שהשוקיים שוות.
  2. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות.
  3. שהאלכסונים שווים.

ואלו בדיוק המשפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה:

  1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

תכונות ומשפטים של טרפז שווה שוקיים

תרגילים בנושא איך מוכיחים טרפז שווה שוקיים בקישור.

2. 9 מצבים ותכונות שכדאי להכיר בשאלות על טרפז

אלו מצבים שכדאי להכיר אך צריך להוכיח את המשפט הנובע מהם אם משתמשים בו בחינה.

המצבים נכונים לכל סוגי הטרפזים (ולא רק לטרפז שווה שוקיים).

מצורף כאן וידאו. אם אתם רוצים לראות טקסט הוא נמצא בדף טרפז.

 

3. 9 תכונות ומצבים בשאלות על טרפז שווה שוקיים

עכשיו נעבור על 9 תכונות של טרפז שווה שוקיים שכדאי לדעת אותן אבל אם משתמשים בהם יש להוכיח אותן.
6 הראשונות נראות לי יותר חשובות מהשלוש האחרונות.

3.1 העברת קו מקביל לשוק הטרפז יוצרת מקבילית + משולש שווה שוקיים בתוך הטרפז

מקבילית נוצרת בגלל המשפט: מרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

משולש שווה שוקיים נובע מתכונות הטרפז והמקבילית.

בניית עזר של מקבילית בתוך טרפז

הוכחה:

  1. AE מקביל ל DC נתון.
  2. AD מקביל ל EC. הבסיסים בטרפז מקבילים זה לזה.
  3.  ADCE מקבילית. מרובע שיש בו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

AE=DC=AB על פי תכונות המקבילית והטרפז.

3.2 כאשר מורידים שני גבהים במרכז נוצר מלבן ובצדדים שני משולשים חופפים

אם AE, BF הם גבהים אז:

המרובע AEFB הוא מלבן כי יש בו 3 זוויות של 90 מעלות.

ADE ≅ BCF
כי יש להם צלע שווה (BC)
וכי יש להן 2 זוויות שוות, וניתן להוכיח שגם השלישית שווה.
C = ∠ B,  ∠BFC = ∠AED∠

3.3 בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים שני משולשים שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים שני משולשים שווה שוקיים

תכונה זו נובעת מהסעיף הקודם שבו הוכחנו OBC =∠OCB∠ ולכן משולש BOC הוא שווה שוקיים.
וגם ODA =∠ OAD∠ ולכן משולש AOD הוא משולש שווה שוקיים.

3.4 בטרפז שווה שוקיים גובה העובר דרך מפגש האלכסונים חוצה את הבסיסים

בטרפז שווה שוקיים גובה העובר דרך מפגש האלכסונים חוצה את הבסיסים

הוכחה בקצרה:

  1. משולש DBC ≅ ΔACB על פי צ,ז,צ (או צ.צ.צ).
  2. לכן זווית B1 שווה לזווית C1  – זוויות מתאימות במשולשים חופפים.
  3. משולש ΔOBE ≅ ΔOEC- על פי ז,צ,ז.
  4. לכן BE=CE.

בצורה דומה ניתן להוכיח שהבסיס הקטן של הטרפז נחצה לשניים.

3.5 היחס בין חלקי האלכסונים שווה ליחס בין הבסיסים

זו למעשה ההרחבה השנייה של משפט תאלס.

היחס בין חלקי האלכסונים שווה ליחס בין הבסיסים

הוכחה:

  1. ACB = ∠CAD,  ∠DBC = ∠BDA∠  זוויות מתחלפות בין קווים מקבילים שוות זו לזו.
  2. AOD ∼COB. משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.
  3. AD / BC  = AO / OC  = DO / OB  היחס בין צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה.

3.6 אם טרפז חסום במעגל אז הוא טרפז שווה שוקיים

אם טרפז חסום במעגל אז הוא טרפז שווה שוקיים

 

הוכחה בקצרה:

  1. מעבירים בניית עזר אלכסון CA.
  2. זווית A1 שווה לזווית C1 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. AB=DE – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    מש"ל.

3.7 ניתן לחסום כל טרפז שווה שוקיים במעגל

יש משפט האומר: ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180. משפט זה שייך לרשימת המשפטים שאינם צריכים הוכחה.

נגדיר את זווית הבסיס הגדול בטרפז כ- ∂.
זווית הבסיס קטן תהיה ∂-180 – אלו זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.

מכוון שסכום הזוויות בטרפז זה הן 180 מעלות – ניתן לחסום אותו במעגל.

בטרפז שווה שוקיים סכום זוויות נגדיות שוו ל- 180 מעלות ולכן ניתן לחסום אותו במעגל

בטרפז שווה שוקיים סכום זוויות נגדיות שוו ל- 180 מעלות ולכן ניתן לחסום אותו במעגל

3.8 כאשר טרפז שווה שוקיים חוסם מעגל, השוק שווה לקטע האמצעים

טרפז שווה שוקיים חוסם מעגל

הוכחה:

2AB=AB+CD=AD+BC – בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות.
במרובע החוסם מעגל סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות. לכן סכום השוקיים שווה לסכום הבסיסים.
נחלק את שני אגפי המשוואה שלמעלה ב- 2 ונקבל AB = (AD+BC)/2

EF=(AD+BC)/2 – קטע אמצעים בטרפז שווה שוקיים שווה למחצית סכום הבסיסים.

משתי המשוואות נובע ומתכונות טרפז שווה שוקיים נובע: CD=AD=EF.

3.9 בטרפז שווה שוקיים קטע אמצעים חוצה את האלכסונים

בטרפז שווה שוקיים קטע אמצעים חוצה את האלכסונים

הוכחה בקצרה:

  1. במשולש קו היוצא מאמצע צלע ומקביל לבסיס הוא קטע אמצעים. לכן EF הוא קטע אמצעים במשולש ABD.
  2. לכן F היא אמצע AD.

ניתן להוכיח בצורה דומה לגבי האלכסון AC.

 סיכום תכונות טרפז שווה שוקיים שיש להוכיח עם משתמשים בהן

  1. כאשר מעבירים קו מקביל לשוק מקבלים מקבילית + משולש שווה שוקיים.
  2. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם הבסיסים שני משולשים שווה שוקיים – משפט זה נשען על חפיפת משולשים פשוטה.
  3. גובה העובר דרך מפגש האלכסונים חוצה את הבסיסים – ההוכחה נשענת על חפיפת משולשים.
  4. היחס בין חלקי האלכסונים שווה ליחס בין הבסיסים – זו ההרחבה השנייה של משפט תאלס.
  5. ניתן לחסום טרפז שווה שוקיים במעגל –  ההוכחה נשענת על המשפט ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180.
  6. כאשר טרפז שווה שוקיים חוסם מעגל, השוק שווה לקטע האמצעים. ההוכחה נשענת על שני משפטים:
    -במרובע החוסם מעגל סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות.
    – קטע אמצעים בטרפז שווה שוקיים שווה למחצית סכום הבסיסים.
  7. כאשר טרפז שווה שוקיים חוסם מעגל, השוק שווה לקטע האמצעים
  8. בטרפז שווה שוקיים קטע אמצעים חוצה את האלכסונים – ההוכחה נשענת על תכונות קטע אמצעים במשולש.

4. תרגילים 

מצורפים 11 תרגילים.

תרגיל 1: חישוב זוויות

  1. מצאו את זוויות טרפז שווה השוקיים שסכום 3 זוויות שלו הוא 250.
  2. מצאו את זוויות טרפז שווה שוקיים שבו סכום של 2 זוויות הוא 100.

פתרון חלק ראשון

אם סכום 3 זוויות הוא 250 זה אומר שגודל הזוויות הרביעית היא 110 = 360-250. כי סכום הזוויות במרובע הוא 360.
הזווית שנמצאת על אותו שוק עם 110 משלימה אותה ל 180 מעלות ולכן. 70 = 180-110.
זוויות הטרפז הן 70,110.

פתרון חלק שני
סכום שתי זוויות שנמצאות על בסיסים שונים הוא 180 מעלות.
לכן זוויות שסכומן 100 נמצאות על אותו בסיס וכל אחת מיהן שווה ל- 50.
הזווית המשלימה אותן היא 130.

תרגיל 2: חישוב זוויות

מצאו את זוויות טרפז שווה השוקיים ABCD (השוקיים AD= BC) שבו BDA= 30∠.
A = 2∠BDC∠

טרפז שווה שוקיים שרטוט תרגיל

פתרון

  1. נגדיר BDC = X∠ ולכן A=2X∠.
  2. D + ∠A = 180∠ ולכן X+30+2X=180.
  3. x=50.
  4. D = 80, ∠A=100∠

תרגיל 3: טרפז ישר זוויות ושווה שוקיים

האם טרפז שווה שוקיים יכול להיות טרפז ישר זווית?

פתרון

לא. משום שבטרפז ישר זווית זוויות אחת הזוויות שווה ל90 מעלות. ובטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, לכן גם הזווית הצמודה לה שווה 90 מעלות.
זוויות הבסיס הנוסף משלימות ל 180 מעלות ולכן כל אחת מהן בגודל 90 מעלות.
קיבלנו מרובע עם 4 זוויות בגודל 90 מעלות וזה מלבן.

כאשר ננסה לבנות טרפז ישר זווית ושווה שוקיים נקבל מלבן

כאשר ננסה לבנות טרפז ישר זווית ושווה שוקיים נקבל מלבן

תרגיל 4: הוכחת טרפז שווה שוקיים

בטרפז ABCD ידוע כי A + ∠C = 180∠.
הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

הוכחת טרפז שווה שוקיים, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר A=X∠ ולכן C= 180-X∠.
  2. D = 180-X∠ זווית חד צדדית לזווית A∠ ולכן משלימה אותה ל 180 מעלות.
  3. D = ∠ C = 180-X∠. נובע מ 1 ו 2.
  4. טרפז ABD הוא טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו זוויות בסיס שוות הוא טרפז שווה שוקיים

תרגיל 5: הוכחת טרפז שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים ABC (צלעות AB=AC) מעבירים את הישרים DE,FG כך ששניהם מקבילים ל BC.
הוכיחו כי מרובע FGED הוא טרפז שווה שוקיים.

הוכחת טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח כי המרובע FGED הוא טרפז.

  1. FG מקביל ל DG. אם שני ישרים מקבילים לישר שלישי (BC) אז הם גם מקבילים בניהם.
  2. DF לא מקביל ל GE. משום שהם נפגשים בנקודה A.
  3. FGED הוא טרפז. מרוע שיש בו זוג יחיד של צלעות מקבילות הוא טרפז.

שלב 2: נוכיח שהטרפז הוא שווה שוקיים

  1. B= ∠C∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. FDE= ∠C,  ∠GED =∠B∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. B= ∠C∠  ולכן FDE = ∠GED∠.
  4. FGED טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו זוויות הבסיס שוות הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 6

נתון טרפז שווה שוקיים ABCD (השוקיים AD= BC). מעבירים בו את האלכסונים AC ו BD.

  1. הוכיחו כי BDC = ∠ACD = ∠CAB = ∠DBA∠.
  2. הוכיחו BOC ≅ AOD.

טרפז שווה שוקיים, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח חפיפת משולשים ACD ≅ BDC

  1. AC = BD בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  2. AD = BC בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות.
  3. DC צלע משותפת למשולשים.
  4. ACD ≅ BDC משולשים חופפים על פי צ.צ.צ.

שלב 2: נוכיח שהזוויות שוות

  1. BDC = ∠ACD∠ זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. CAB = ∠ACD,  ∠DBA = ∠BDC∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. BDC = ∠ACD = ∠CAB = ∠DBA∠. נובע מ 5 ו 6.

סעיף ב: הוכחת חפיפת המשולשים ACD ≅ BDC

  1. AO=BO. משולש AOB הוא משולש שווה שוקיים משום שזוויות הבסיס שלו שוות.
  2. DO=CO. משולש COD הוא משולש שווה שוקיים משום שזוויות הבסיס שלו שוות.
  3. BOC = ∠ AOD∠ זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  4. ACD ≅ BDC משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

תרגיל 7: חוצה זווית בטרפז שווה שוקיים

נתון טרפז ABCD שווה שוקיים (השוקיים AB = DC).
מעבירים אלכסון AC החוצה את זווית C.

אורך הבסיס הקטן AD הוא 8 ס"מ.
אורך האלכסון AC=12 ס"מ.

חשבו את שטח משולש ADC.

טרפז שווה שוקיים, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב א: נוכיח כי משולש ADC הוא משולש שווה שוקיים

  1. DAC=∠BCA∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. DAC=∠DCA∠=∠BCA∠ – נתון AC חוצה את זווית C.
  3. DC=DA=8 ס"מ – מול זוויות שוות במשולש DAC מונחות צלעות שוות.(עכשיו כשאנו יודעים שמשולש ADC הוא שווה שוקיים וגם מה הן אורך שוקיו נוכל לחשב את אורך הבסיס ואורך הגובה לבסיס)

שלב ב: נחשב את גובה המשולש בעזרת משפט פיתגורס

  1. נעביר גובה DE במשולש DAC.
  2. AE-EC=12/2=6 ס"מ – במשולש שווה שוקיים DAC הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
  3. במשולש DCE על פי משפט פיתגורס: 8²-6²=DE²
    DE²=64-36=28 ס"מ.
    DE=5.29 ס"מ.

שלב ג: נחשב את שטח המשולש

שטח המשולש הוא
DE*AC)/2).
2/ (5.29*12)
שטח משולש ACD הוא 31.75 סמ"ר

תרגיל 8

במלבן ABCD מעבירים את הישרים DE ו CE הנפגשים מחוץ למלבן בנקודה E.
DE=CE.
הישר DE חותך את הצלע AB בנקודה F, והישר CE חותך את AB בנקודה G.
הוכיחו כי מרובע DFGC הוא טרפז שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח שהמרובע DFGC הוא טרפז

  1. FG מקביל ל DC. צלעות נגדיות במלבן (או חלק מיהן) מקבילות אחת לשנייה.
  2. DF ו CG הן צלעות לא מקבילות כי הן נפגשות בנקודה E.
  3. DFGC הוא טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות הוא טרפז.

שלב 2: נוכיח שהטרפז הוא טרפז שווה שוקיים

  1. EDC משולש שווה שוקיים (נתון).
  2. EDC = ∠ECD∠ במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס שוות.
  3. DFGC הוא טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו זוויות הבסיס שווה הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 9

במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות AB=AC) מעבירים שני גבהים BD, CE.
BD⊥AC,   CE⊥AB.
הוכיחו כי המרובע DEBC הוא טרפז שווה שוקיים.

טרפז, שרטט התרגיל

פתרון

בשלב ראשון: נוכיח חפיפת משולשים DBC ≅ ECB

  1. BDC = ∠CEB= 90∠ נתון.
  2. B=∠C∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. ECB = 180-90-∠B∠  סכום הזוויות במשולש ECB שווה ל 180 מעלות.
  4. DBC = 180-90-∠C∠ סכום הזוויות במשולש DBC שווה ל 180 מעלות.
  5. ECB = ∠DBC∠ נובע מ 3,4.
  6. BC צלע משותפת למשולשים ECB ו DBC.
  7. DBC ≅ ECB חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 2,5,6).

פתרון סעיף א בעזרת תמונות

[Best_Wordpress_Gallery id="1566" gal_title="g-Trapezoid-problems-13-1"]

חלק שני, נוכיח טרפז:
(על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות  C =  ∠ADE∠).

  1. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. AB=AC נתון.
  3. AD = AC – DC
    AE = AB- EB
    AD = AE
    ולכן ADE הוא משולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס שוות.
  4.  
במשולש שווה שוקיים ABC

במשולש שווה שוקיים ABC

 

במשולש שווה שוקיים ADE

במשולש שווה שוקיים ADE

 C  = ∠ADE∠
5. CB מקביל ל DE. אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים (נובע מ 4).
6. CD ו BE אינם מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
7. DEBC טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות וזוג צלעות שאינן מקבילות הוא טרפז.

חלק שלישי, נוכיח טרפז שווה שוקיים:

  1. DBC ≅ ECB הוכחנו בחלק הראשון.
  2. CD = BE צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. DEBC טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 10: טרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים

ABCD הוא טרפז שווה שוקיים (AD=BC).
אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה.
הוכיחו כי גובה הטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.

טרפז שווה שוקיים, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה:

  1. משולש DOC הוא שווה שוקיים. (נובע מחפיפת משולשים BDC ≅ ACD).
  2. נעביר דרך נקודת מפגש האלכסונים (O) גובה EF לצלע CD.
  3. EF הוא גם תיכון לצלע CD בגלל שמשולש DOC הוא שווה שוקיים.
  4. ולכן EF הוא גם תיכון. ותיכון במשולש ישר זווית DOC שווה למחצית היתר (CD) . כלומר הוכחנו OF = 0.5DC.
  5. OE⊥AB בגלל זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
  6. באותו אופן נוכיח OE = O.5AB.

פתרון

  1. כפי שהוכחנו בתרגילים קודמים משולש DOC הוא משולש שווה שוקיים. (נובע מחפיפת משולשים BDC ≅ ACD). לא נחזור על החפיפה גם כאן.
  2. נעביר דרך נקודת מפגש האלכסונים (O) גובה EF לצלע CD.
  3. OF הוא תיכון במשולש DOC. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
  4. OF = 0.5DC.  תיכון לייתר במשולש ישר זווית DOC שווה למחצית היתר (DC).
  5. OE⊥AB זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות.
  6. OE תיכון במשולש ישר זווית  AOB.
  7. OE = 0.5AB התיכון ליתר במשולש ישר זווית AOB שווה למחצית היתר.
  8. (EF = OE + OF = 0.5 (AB+ CD (מש"ל).

תרגיל 11: דמיון משולשים בטרפז

ABCD הוא טרפז שווה שוקיים (AD=BC).
אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה O.
CO / AO = 3.
שטח הטרפז הוא 64 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש AOB.

דמיון משולשים בטרפז שווה שוקיים, שרטוט התרגיל

הערה: כדי לפתור את שאלה זו מספיק לדעת כי המרובע הוא טרפז. הנתון כי זה טרפז שווה שוקיים לא מסייע לפתור את השאלה.

פתרון קצר:

  1. AOB ∼ COD משולשים דומים על פי ז.ז. בגלל זוויות מתחלפות שוות.
  2. יחס הדמיון הוא 3 – ע"פ הנתונים.
  3. למשולשים AOB  ו BOC יש גובה משותף לצלע. וגם למשולשים AOB  ו AOD יש גובה משותף. לכן יחס השטחים שלהם הוא כיחס הצלעות (השווה ל 3).
  4. אם שטח משולש AOB הוא X סמ"ר. אז שטח משולש COD הוא 9X סמ"ר (בגלל דמיון משולשים) ושטחי המשולשים BOC ו AOD הם 3X סמ"ר כל אחד.
  5. סך הכל שטחי כל המשולשים הוא 16X סמ"ר ולכן 64:16 = 4. X=4 סמ"ר.

פתרון

  1. ACD = ∠ CAB,    ∠BDC =∠ DBA∠    זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. AOB ∼ COD משולשים דומים על פי ז.ז.
  3. נגדיר SAOB = X.
  4. SCOD  = 9X נתון שיחס הדמיון הוא 3. ויחס השטחים בין משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון. 3² = 9.
  5. למשולשים AOB  ו BOC יש גובה משותף לצלע. וגם למשולשים AOB  ו AOD יש גובה משותף. לכן מכוון שנוסחת שטח משולש היא גובה כפול צלע לחלק ב 2 אז יחס השטחים שלהם הוא כיחס הצלעות (השווה ל 3).
  6. SBOC = 3X,   SAOD  = 3X.
  7. שטח כל הטרפז הוא X+3X+3X+9X=16X = 64.
  8. לכן X=4.
  9. תשובה: שטח משולש AOB הוא 4 סמ"ר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.