שטח טרפז

 

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2.

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז (AB+CB) כפול גובה הטרפז (h) לחלק ב 2.

האם יש הבדל בחישוב שטח טרפז בין טרפז רגיל, טרפז שווה שוקיים או טרפז ישר זווית?

לא. אין הבדל. משתמשים באותה נוסחה לכל סוגי הטרפזים.
גדלי השוקיים אינם חלק מנוסחת הטרפז לכן אין חשיבות אם הטרפז הוא שווה שוקיים או לא.
כאשר הטרפז הוא ישר זווית השוק שיוצרת זוויות ישרה היא גם הגובה. הנוסחה בה משתמשים היא אותה נוסחה.

בדף שני סרטוני וידאו. הוידאו והטקסט שבדף כוללים בדיוק את אותו תוכן.

וידאו: הסבר לנוסחת השטח ופתרון תרגילים בסיסיים

תרגילים 1-3 שבהמשך הדף הם התרגילים המופיעים בוידאו.

תרגילי חישוב שטח טרפז

תרגילים 1-7 מתאימים לבית הספר היסודי.
תרגילים 1-4 מתרגלים את השימוש בנוסח שטח טרפז ומתאימים לתלמידי בית ספר יסודי.
תרגילים 5-7 הם תרגילי שטחים מורכבים הכוללים חישוב שטח של צורה נוספת. מתאימים לבית ספר יסודי.

תרגילים 8-14 מתאימים לחטיבת הביניים.
תרגילים 8-9 נתון שטח טרפז וצריך למצוא את הגובה או הבסיס.
תרגילים 10-12 מתאימים לתלמידי כיתה ח היודעים משפט פיתגורס ו / או יחס.
תרגילים 13-14 מתאימים לתלמידי כיתה ט היודעים לכתוב הוכחה.

תרגיל 1: הצבה בנוסחה

נתון טרפז שאורך הבסיס הקטן AD=8 ס"מ. הבסיס הגדול BC=14 ס"מ. גובה הטרפז הוא 7 ס"מ. מה שטח הטרפז?

נתון טרפז שאורך הבסיס הקטן AD=8 ס"מ. הבסיס הגדול BC=14 ס"מ. גובה הטרפז הוא 7 ס"מ. מה שטח הטרפז?

פתרון:
סכום הבסיסים הוא 14 + 8
הגובה הוא 7.
נציב בנוסחת שטח טרפז ונקבל:

שטח טרפז

S = ((8+14) * 7) /2 = (22*7)/2= 154/2=77

תשובה: שטח הטרפז 77 סמ"ר.

תרגיל 2: הצבה בנוסחה, כמו תרגיל 1

בטרפז אורך הבסיס הקטן AB = 2 סנטימטר.
אורך הבסיס הגדול CD = 8 סנטימטר.
אורך גובה הטרפז AE = 4 סנטימטר.
חשבו את שטח הטרפז.

פתרון
שטח טרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה לחלק ב- 2.

סכום הבסיסים הוא 10 = 8 + 2.
הגובה הוא 4.
לכן השטח הוא:

הצבת המספרים בנוסחת שטח טרפז

הצבת המספרים בנוסחת שטח טרפז

תשובה: שטח הטרפז 20 סמ"ר.

תרגיל 3: שטח טרפז ישר זווית

בטרפז ישר זווית ABCD אורך הבסיס הגדול CD = 10 ס"מ. אורך הבסיס הקטן AB = 6 ס"מ. ואורך השוק הניצבת לבסיסים AD = 8 ס"מ.
חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

בטרפז ישר זווית השוק המאונכת לבסיסים היא הגובה אל הבסיסים.
לכן נציב h =8 בנוסחת שטח הטרפז.

שרטוט הפתרון

תשובה: שטח הטרפז 64 סמ"ר.

תרגיל 4: מעבר מהיקף טרפז לשטח טרפז

היקף טרפז שווה שוקיים הוא 17 סנטימטר. אורך שוק הטרפז 4 סנטימטר וגובה הטרפז 3 סנטימטר.
חשבו את שטח הטרפז.

פתרון
היקף טרפז שווה לסכום אורכי השוקיים  + סכום אורכי הבסיסים.
אורך שני השוקיים הוא: 8 = 4 + 4
לכן סכום אורכי הבסיסים הוא:
9 = 8 – 17

שימו לב שבנוסחת שטח הטרפז אנו לא צריכים לדעת מה אורך של כל בסיס אלא מספיק לדעת את האורך של שני הבסיסים.

נציב בנוסחת שטח טרפז את סכום הבסיסים 9 ואורך הגובה 3 סנטימטר ונקבל:

תשובה: שטח הטרפז הוא 13.5 סנטימטר.

תרגיל 5: שטחים מורכבים (עיגול וטרפז)

בתוך טרפז ABCD נמצא מעגל.
אורך בסיסי הטרפז הוא:
AB = 10, CD = 15   סנטימטר.
אורך קוטר העיגול הוא 6 סנטימטר.
קוטר העיגול שווה לגובה הטרפז.

חשבו את השטח הנמצא בין הטרפז לעיגול (השטח המסומן בקווים ירוקים)

פתרון
על מנת למצוא את השטח המקווקו עלינו למצוא את שטח הטרפז, את שטח העיגול ואז לחסר את שטח העיגול משטח הטרפז.

1.חישוב שטח הטרפז.
סכום הבסיסים הוא 25 = 10 + 15
גובה הטרפז הוא 6
לכן שטח הטרפז הוא:

הצבת המספרים בנוסחת שטח טרפז

הצבת המספרים בנוסחת שטח טרפז

שטח הטרפז הוא 75 סמ"ר.

2. חישוב שטח העיגול
הנוסחה לחישוב שטח העיגול היא:
S=₶r²

ידוע לנו כי אורך קוטר המעגל שווה ל- 6 סנטימטר.
רדיוס המעגל שווה לחצי מהקוטר, 3 סנטימטר.

נציב r = 3 בנוסחה S=₶r².
S=₶3²
S = 9 * 3.14 = 28.26
שטח העיגול הוא 28.26  סמ"ר.

3. חישוב השטח המקווקו.
שטח הטרפז 75 סמ"ר.
שטח העיגול 28.26  סמ"ר.

השטח המקווקו שווה להפרש השטחים.
46.74 = 28.26 – 75
תשובה: גודל השטח המקווקו הוא 46.74 סמ"ר.

תרגיל 6: שטחים מורכבים (טרפז ומשולש)

בטרפז ישר זווית ABCD. חסום משולש ACD.
B = 90∠
אורך בסיסי הטרפז הוא:
AB = 2,  CD = 7
אורך הצלע BC הוא 4 סנטימטר.
חשבו את שטח משולש ACD (השטח המקווקו)

פתרון
אם נדע את שטח משולש ישר זווית ABC וגם את שטח הטרפז נוכל לחשב את שטח שטח משולש ACD על ידי חיסור שטחים.

1.חישוב שטח משולש ABC
שטח משולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ל- 2.

שטח משולש ABC הוא 4 סמ"ר.

2. חישוב שטח טרפז ABCD
סכום הבסיסים הוא   9 = 2 + 7.
גובה הטרפז הוא 4 סנטימטר.

הצבת המספרים בנוסחת שטח טרפז

הצבת המספרים בנוסחת שטח טרפז

שטח הטרפז הוא 18 סמ"ר.

3. חישוב שטח משולש ACD.
שטח הטרפז 18 סמ"ר.
שטח משולש ABC הוא 4 סמ"ר.

לכן שטח המשולש ACD הוא:
14 = 4 – 18
תשובה: שטח משולש ADC הוא 14 סמ"ר.

תרגיל 7: היקף ושטחים מורכבים טרפז ומלבן

על צלע מלבן בנו טרפז.
אורכי צלעות המלבן הם 2 ו- 7 סנטימטר.
גובה הטרפז שווה לאורך הצלע הקצרה במלבן ואורך הבסיס הקטן גדול ב- 1 סנטימטר מאורך גובה הטרפז.
חשבו את היקף ושטח הצורה המשולבת.

פתרון

1.חישוב ההיקף
כתוב שגובה הטרפז שווה לאורך הצלע הקצרה, כלומר ל- 2 סנטימטר.
אורך הבסיס הקטן גדול ב – 1 מגובה הטרפז ולכן שווה ל- 3 סנטימטר.
אורך צלעות נגדיות במלבן שווה ולכן נקבל את השרטוט הבא:

בחישוב ההיקף נתחיל מהצלע התחתונה ונפנה שמאלה:
21 = 2 + 4 + 3 + 3 + 2 + 7
תשובה: היקף הצורה המשולבת הוא 21 סנטימטר.

2. חישוב שטח הצורה המשולבת
נחשב בנפרד את שטח המלבן ושטח הטרפז ואז נחבר.
שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות:
14 = 7 * 2

שטח הטרפז הוא:
10 סמר

24 = 14 + 10
תשובה: שטח הצורה המשולבת הוא 24 סנטימטר.

תרגילים לחטיבת הביניים

תרגילים 8-14 מתאימים לחטיבת הביניים.
חלק מהתרגילים דורשים ידע במשפט פיתגורס ודמיון משולשים הנלמדים בכיתה ח.
תרגילים 13-14 מתאימים בעיקר לתלמידי כיתה ט.
תרגילים 8-9 יכולים להיפתר גם על ידי תלמידים מצטיינים בבית הספר היסודי.

תרגיל 8: חישוב גובה הטרפז על פי השטח

נתון טרפז שאורך הבסיס הגדול שלו הוא 8 ס"מ, אורך הבסיס הקטן 4 ס"מ ושטחו הוא 30 סמ"ר.
מצא את גובה הטרפז.

נתון טרפז שאורך הבסיס הגדול שלו הוא 8 ס"מ, אורך הבסיס הקטן 4 ס"מ ושטחו הוא 30 סמ"ר. מצא את גובה הטרפז.

פתרון:

פתרון התרגיל

30= 2 / ((8+4) * h ) =
=12h/2
6h=30
h=5.

סרטון וידאו עם שלושה תרגילים:

  1. תרגיל שבו נתון היקף טרפז וצריך למצוא את שטחו.
  2. תרגיל שבו נתון שטח טרפז וצריך למצוא את גובהו.
  3. תרגיל שבו צריך לחשב שטח והיקף של צורה משולבת הכוללת מלבן וטרפז.

תרגיל 9: חישוב אורך בסיס הטרפז על פי השטח

נתון טרפז ABCD ששטח 20 סמ"ר.
גובה הטרפז הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הגדול (BC) הוא 8 ס"מ.
חשבו את אורך הבסיס הקטן (DA).

שרטוט התרגיל

 

פתרון

על פי נוסחת שטח טרפז:

((8+AD)*4)/2=20

נכפיל את שני צדדי המשוואה פי 2 ונקבל:
AD + 8)*4 = 40)
4AD + 32 = 40  / -32
4AD = 8  / : 4
AD = 2

תשובה: אורך הבסיס הקטן הוא 2 סנטימטר.

תוספת: כיצד עוברים בין יחידות שטח שונות

אם אתם לא יודעים כמה סנטימטר רבוע יש במטר רבוע הסרטון הזה בשבילכם

הסבר כיצד עוברים בין יחידות שטח שונות

תרגיל 10: שטח טרפז ומשפט פיתגורס

נתון טרפז שבו הגובה שווה לבסיס הקטן (AD=AE).
אורך השוק AB הוא 5 סנטימטר.
אורך הבסיס הגדול (BC) הוא 12 ס"מ
כמו כן: BE = 0.25BC.
חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BE=¼BC=¼*12=3
  2. במשולש ABE על פי משפט פיתגורס:
    AB²-BE²=AE²
    25-9=5²-3²=AE²
    AE²=16
    AE=4
  3. AD=AE=4
  4. שטח הטרפז הוא
    = 2 : (4+12)*4
    2:  16*4
    32=64:2
    תשובה: שטח הטרפז הוא 32 סמ"ר.

תרגיל 11: שטח טרפז ויחס

שטח טרפז ABCD הוא 24 סמ"ר.
מעבירים את הישר AE כך שנוצר משולש AEC ומקבילית AECD.
ידוע כי היחס בין שטח משולש AEC לשטח מקבילית AECD הוא 1:2.

  1. חשבו את שטח משולש AEC ושטח מקבילית AECD.
  2. * מה היחס בין צלעות DE ו- EC?

שרטוט התרגיל

פתרון
נפתור את התרגיל כמו שפותרים בעיה מילולית.
1.נגדיר:
x   שטח המשולש.
שטח המקבילית גדול פי 2 ולכן שווה ל 2x.

2. נבנה משוואה
סכום השטחים הוא 24, לכן המשוואה היא:
x + 2x = 24
3x = 24  / :3
x =  8.

3. נכתוב תשובה
מצאנו ששטח המשולש הוא 8 סמ"ר.
שטח המקבילית כפול ושווה ל- 16 סמ"ר.

סעיף ב
כאשר נוריד גובה AF במקבילית AECB נגלה שהוא גובה משותף גם למשולש AE.

שטח מקבילית שווה לצלע EC כפול הגובה AF.
שטח המשולש שווה לצלע EC כפול הגובה AF לחלק ל- 2.

נובע מכך שאם במקבילית ובמשולש הצלע והגובה שווים אז שטח המקבילית גדול פי 2 משטח המשולש.
וזה בדיוק המצב בשאלה זו, שטח המקבילית גדול פי 2  משטח המשולש.

לכן DE = EC.

דוגמה נוספת לתרגיל הדומה לסעיף ב בשאלה זו תמצאו בוידאו או בדף שטח משולש כיתה ז, הכולל מספר גדול של דוגמאות.

תרגיל 12: שטח טרפז ודמיון משולשים

נתון משולש ישר זווית ΔABC שבו B=90∠.
מעברים את הישר DE כך ש:  DE ΙΙ BC
BC=15  ס"מ.
DE=10 ס"מ.
AB=30 ס"מ.

  1. האם משולש ΔABC דומה למשולש ΔADE?
    אם כן רשמו את דמיון המשולשים – הקפידו על סדר האותיות.
  2. מה הוא יחס הדמיון של המשולשים?
  3. חשבו את אורך הצלעות AD ולאחר מיכן DB.
  4. חשבו את שטח הטרפז.
  5. הציעו דרך לחשב את שטח הטרפז ללא נוסחת שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

1 – האם המשולשים דומים?
ADE=∠ABC=90∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
A∠ – זווית משותפת ושווה לשני המשולשים.
ΔABC∼ΔADE – על פי משפט חפיפה ז.ז.

2 – מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
על מנת למצוא את יחס הדמיון בין משולשים עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות ולחלק אותו זו בזו.
הצלעות BC ו DE הן צלעות מתאימות. (שתיהן נמצאות במקומות 2 ו 3 ברישום הדמיון).
BC:DE=15:10=1.5
יחס הדמיון הוא 1.5. כלומר כל צלע במשולש ΔABC גדולה פי 1.5 מהצלע המתאימה לה במשולש ΔADE.

3 – חישוב אורך הצלעות AD ו DB.
הצלע המתאימה ל AD היא AB.
לכן על פי יחס הדמיון צריך להתקיים:

1.5AD = AB
1.5AD = 30  / : 1.5
AD = 20
AD=30:1.5=20

נמצא את DB:
AB – AD = DB
10 = 20 – 30

תשובה: AD = 20, DB = 10.

4 – חישוב שטח הטרפז.
נוסחת שטח הטרפז היא סכום הבסיסים (10+15=DE+BC) כפול הגובה (DB=10) לחלק ב 2.
2: (25*10)
125=250:2
תשובה: שטח הטרפז הוא 125 סמ"ר.

5 – דרך אחרת לחישוב שטח הטרפז.
ניתן לחשב את שטח הטרפז על ידי חישוב שטח משולש ΔABC ולאחר מיכן חיסור של שטח משולש ΔADE.
ניתן להשתמש בתכונת משולשים דומים שהיא שהשטחים שלהם מתייחסים זה לזה כמו ריבוע יחס הדמיון.
כלומר היחס בין השטחים הוא 1.5²=2.25.
נחשב את שטח משולש ΔABC.
AB * BC :2=450:2=225.
נשתמש ביחס הדמיון ונמצא את שטח משולש ΔADE
225:2.25=100.
שטח משולש ΔADE הוא 100 סמ"ר.
שטח הטרפז DECB.
225-100=125.

תרגיל 13: חישוב שטח בטרפז שווה שוקיים

נתון טרפז שווה שוקיים AB =DC.
A = 135∠.
DE הוא גובה לצלע BC.
EC = 4 ס"מ.
AD = 3  ס"מ.

מצאו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון:

הדרך לפתור את התרגיל

 

  1. נמצא את גובה הטרפז:
    B  = 180 – ∠A = 45∠    – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
  2. C = ∠B = 45∠  – בטרפז שווה שוקיים הזווית הנמצאות ליד אותו בסיס שוות.
  3. EDC  = 180-90-45=45 ∠  – זוויות משלימה ל 180 מעלות במשולש EDC.
  4. EDC = ∠C∠  – נובע מ- 2 ו- 3.
  5. ΔDEF  שווה שוקיים DE=CE=4   – נובע מ- 4.נמצא את FB:
  6. נוריד גובה AF לצלע BC.
  7. ΔAFB ≅ ΔDEC  – על פי ז.צ.ז. (בבחינה נדרש פירוט נוסף).
  8. FB=EC=4  – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

נמצא את EF:

  1. AF מקביל DE  – אם חותך יוצר זוויות מתאימות שוות (זווית F וזוויות E השוות ל- 90 מעלות) אז הישרים מקבילים.
  2. מרובע ADEF הוא מקבילית  – מרובע שיש בו שתי זוגות של ישרים מקבילים הוא מקבילית.
  3. FE=AD=3 ס"מ.  – במקבילית ADEF צלעות נגדיות שוות.
  4. BC = BF+FE+EC = 4+3+4=11.

שטח הטרפז הוא:

תרגיל 14: חישוב שטח בעזרת בניית עזר

נתון טרפז שווה שוקיים שאורך הבסיס הקטן שלו הוא AD=10 ס"מ אורך כל אחת מהשוקיים היא AB=DC=14 ס"מ. אורך הגובה הוא 12 ס"מ.

חשבו את שטח הטרפז.

פתרון:

  1. נעביר את AF כך ש- AF יקביל ל- DC.
  2. AD מקביל ל- CF   –   נתון, המרובע ABCD טרפז.
  3. נובע מ- 1 ו- 2 שמרובע AFCD הוא מקבילית   – מרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  4. CF=AD=10 ס"מ.     –  צלעות מקבילות במקבילית שוות זו לזו.
  5. AF=DC=AB.
  6. משולש ABF שווה שוקיים   – נובע מ- 5.
  7. במשולש ABF נוריד גובה ותיכון AE    –  במשולש שווה שוקיים הגובה הוא גם תיכון.
  8. במשולש AEF על פי פיתגורס AF²=EF²+AE².
    14²=EF²+12²
    EF²=14²-12²=52
    EF=שורש 52 = 7.2
  9. BF=BE+EF=2EF = 2* 7.2=14.4  –  נובע מ- 7.
  10. BC=BF+FC=14.4+10 = 24.4  – נובע מ – 9 ו- 4.
  11. שטח הטרפז   2 / (24.4 + 10) * 12 =2 / 12*34.4 = 206.4  סמ"ר.

עוד באתר:

  1. טרפז ו טרפז שווה שוקיים, קטע אמצעים בטרפז– מידע מפורט על הצורות.
  2. שטח מקבלית, שטח עיגול, שטח משולש.
שאלה שאלות

6 תגובות בנושא “שטח טרפז

  1. VICTURI 4 LIFE

    אבל מה אם לא נתון לי הגובה (יש רק גובה אחדלא כמו שיש שני גבהים בתרגיל 7 שנתון אחד הגבהים) וזה משולש שווה שוקיים?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      אם לא נתון הגובה צריכה להיות דרך למצוא אותו.
      על ידי משפט פיתגורס, הוכחת משולש שווה שוקיים או אם שטח הטרפז ידוע לפעמים ניתן למצוא את הגובה.
      אם זה לא עזר שלח פרטים מדויקים יותר על השאלה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.