שטח טרפז

 

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2.

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז (AB+CB) כפול גובה הטרפז (h) לחלק ב 2.

האם יש הבדל בחישוב שטח טרפז בין טרפז רגיל, טרפז שווה שוקיים או טרפז ישר זווית?

לא. אין הבדל. משתמשים באותה נוסחה לכל סוגי הטרפזים.
גדלי השוקיים אינם חלק מנוסחת הטרפז לכן אין חשיבות אם הטרפז הוא שווה שוקיים או לא.
כאשר הטרפז הוא ישר זווית השוק שיוצרת זוויות ישרה היא גם הגובה. הנוסחה בה משתמשים היא אותה נוסחה.

בדף שני סרטוני וידאו. הוידאו והטקסט שבדף כוללים בדיוק את אותו תוכן.

וידאו: הסבר לנוסחת השטח ופתרון תרגילים בסיסיים

תרגילים 1-3 שבהמשך הדף הם התרגילים המופיעים בוידאו.

תרגילי חישוב שטח טרפז

מצורפים 8 תרגילים לחישוב שטח טרפז.
תרגילים 1-3 מתאימים לכל מי שלומד שטח טרפז.
תרגילים 4-6 יכולים להתחיל לפתור תלמידי אמצע כיתה ז ועד סוף כיתה ח.
תרגילים 7-8 יכולים להתחיל לפתור תלמידי כיתה ט ומעלה.
תרגילים קשים יותר המתאימים לכיתות ט-י נמצאים בדף שטח טרפז תרגילים קשים.

תרגיל 1: הצבה בנוסחה

נתון טרפז שאורך הבסיס הקטן AD=8 ס"מ. הבסיס הגדול BC=14 ס"מ. גובה הטרפז הוא 7 ס"מ. מה שטח הטרפז?

נתון טרפז שאורך הבסיס הקטן AD=8 ס"מ. הבסיס הגדול BC=14 ס"מ. גובה הטרפז הוא 7 ס"מ. מה שטח הטרפז?

פתרון:

שטח טרפז

נציב בנוסחה ונקבל:
S = ((8+14) * 7) /2 = (22*7)/2= 154/2=77

תשובה: שטח הטרפז 77 סמ"ר.

תרגיל 2: שטח טרפז ישר זווית

בטרפז ישר זווית ABCD אורך הבסיס הגדול CD = 10 ס"מ. אורך הבסיס הקטן AB = 6 ס"מ. ואורך השוק הניצבת לבסיסים AD = 8 ס"מ.
חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

בטרפז ישר זווית השוק המאונכת לבסיסים היא הגובה אל הבסיסים.
לכן נציב h =8 בנוסחת שטח הטרפז.

שרטוט הפתרון

תשובה: שטח הטרפז 64 סמ"ר.

תרגיל 3: חישוב גובה הטרפז על פי השטח

נתון טרפז שאורך הבסיס הגדול שלו הוא 8 ס"מ, אורך הבסיס הקטן 4 ס"מ ושטחו הוא 30 סמ"ר.
מצא את גובה הטרפז.

נתון טרפז שאורך הבסיס הגדול שלו הוא 8 ס"מ, אורך הבסיס הקטן 4 ס"מ ושטחו הוא 30 סמ"ר. מצא את גובה הטרפז.

פתרון:

פתרון התרגיל

30= 2 / ((8+4) * h ) =
=12h/2
6h=30
h=5.

סרטון וידאו עם שלושה תרגילים:

  1. תרגיל שבו נתון היקף טרפז וצריך למצוא את שטחו.
  2. תרגיל שבו נתון שטח טרפז וצריך למצוא את גובהו.
  3. תרגיל שבו צריך לחשב שטח והיקף של צורה משולבת הכוללת מלבן וטרפז.

תרגיל 4: חישוב אורך בסיס הטרפז על פי השטח

נתון טרפז ABCD ששטח 20 סמ"ר.
גובה הטרפז הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הגדול (BC) הוא 8 ס"מ.
חשבו את אורך הבסיס הקטן (DA).

שרטוט התרגיל

 

פתרון

על פי נוסחת שטח טרפז:

((8+AD)*4)/2=20

אם עדיין לא למדתם משוואות השאלה תיחשב "כשאלה למצטיינים"  וניתן לראות שעל מנת שהתוצאה תהיה נכונה 8+AD צריך להיות שווה ל 10.  לכן AD=2.
אם למדתם משוואות פתרו משוואה זו ותגיעו לאותה תוצאה.

תרגיל 5: שטח טרפז ומשפט פיתגורס

נתון טרפז שבו הגובה שווה לבסיס הקטן (AD=AE). אורך הבסיס הגדול (BC) הוא 12 ס"מ ואורך הקטע BE הוא BC ¼.
חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BE=¼BC=¼*12=3
  2. במשולש ABE על פי משפט פיתגורס:
    AB²-BE²=AE²
    25-9=5²-3²=AE²
    AE²=16
    AE=4
  3. AD=AE=4
  4. שטח הטרפז הוא
    = 2 : (4+12)*4
    2:  16*4
    32=64:2
    תשובה: שטח הטרפז הוא 32 סמ"ר.

תרגיל 6: שטח טרפז ודמיון משולשים

נתון משולש ישר זווית ΔABC שבו B=90∠.
מעברים את הישר DE כך ש:  DE ΙΙ BC
BC=15  ס"מ.
DE=10 ס"מ.
AB=30 ס"מ.

  1. האם משולש ΔABC דומה למשולש ΔADE?
    אם כן רשמו את דמיון המשולשים – הקפידו על סדר האותיות.
  2. מה הוא יחס הדמיון של המשולשים?
  3. חשבו את אורך הצלעות AD ולאחר מיכן DB.
  4. חשבו את שטח הטרפז.
  5. הציעו דרך לחשב את שטח הטרפז ללא נוסחת שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

1 – האם המשולשים דומים?
ADE=∠ABC=90∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
A∠ – זווית משותפת ושווה לשני המשולשים.
ΔABC∼ΔADE – על משפט חפיפה ז.ז.

2 – מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
על מנת למצוא את יחס הדמיון בין משולשים עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות ולחלק אותו זו בזו.
הצלעות BC ו DE הן צלעות מתאימות. (שתיהן נמצאות במקומות 2 ו 3 ברישום הדמיון).
BC:DE=15:10=1.5
יחס הדמיון הוא 1.5. כלומר כל צלע במשולש ΔABC גדולה פי 1.5 מהצלע המתאימה לה במשולש ΔADE.

3 – חישוב אורך הצלעות AD ו DB.
הצלע המתאימה ל AD היא AB. לכן צריך להתקיים:
AB:AD=1.5
AD=AB:1.5
AD=30:1.5=20

DB=AB-AD=30-20=10
תשובה: AD= 20 ס"מ. DB=10 ס"מ.

4 – חישוב שטח הטרפז.
נוסחת שטח הטרפז היא סכום הבסיסים (10+15=DE+BC) כפול הגובה (DB=10) לחלק ב 2.
2: (25*10)
125=250:2
תשובה: שטח הטרפז הוא 125 סמ"ר.

5 – דרך אחרת לחישוב שטח הטרפז.
ניתן לחשב את שטח הטרפז על ידי חישוב שטח משולש ΔABC ולאחר מיכן חיסור של שטח משולש ΔADE.
ניתן להשתמש בתכונת משולשים דומים שהיא שהשטחים שלהם מתייחסים זה לזה כמו ריבוע יחס הדמיון.
כלומר היחס בין השטחים הוא 1.5²=2.25.
נחשב את שטח משולש ΔABC.
AB * BC :2=450:2=225.
נשתמש ביחס הדמיון ונמצא את שטח משולש ΔADE
225:2.25=100.
שטח משולש ΔADE הוא 100 סמ"ר.
שטח הטרפז DECB.
225-100=125.

תרגיל 7: חישוב שטח בטרפז שווה שוקיים

נתון טרפז שווה שוקיים AD מקביל ל- BC.
A = 135∠.
DE הוא גובה לצלע BC.
EC = 4 ס"מ.
AD = 3  ס"מ.

מצאו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון:

הדרך לפתור את התרגיל

 

  1. נמצא את גובה הטרפז:
    B  = 180 – ∠A = 45∠    – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
  2. C = ∠B = 45∠  – בטרפז שווה שוקיים הזווית הנמצאות ליד אותו בסיס שוות.
  3. EDC  = 180-90-45=45 ∠  – זוויות משלימה ל 180 מעלות במשולש EDC.
  4. EDC = ∠C∠  – נובע מ- 2 ו- 3.
  5. ΔDEF  שווה שוקיים DE=CE=4   – נובע מ- 4.נמצא את FB:
  6. נוריד גובה AF לצלע BC.
  7. ΔAFB ≅ ΔDEC  – על פי ז.צ.ז. (בבחינה נדרש פירוט נוסף).
  8. FB=EC=4  – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

נמצא את EF:

  1. AF מקביל DE  – אם חותך יוצר זוויות מתאימות שוות (זווית F וזוויות E השוות ל- 90 מעלות) אז הישרים מקבילים.
  2. מרובע ADEF הוא מקבילית  – מרובע שיש בו שתי זוגות של ישרים מקבילים הוא מקבילית.
  3. FE=AD=3 ס"מ.  – במקבילית ADEF צלעות נגדיות שוות.
  4. BC = BF+FE+EC = 4+3+4=11.
  5. שטח הטרפז הוא: 56/2  = 2/(AD + BC) * DE / 2) = (11+3) * 4
    =28 סמ"ר.

תרגיל 8: בניית עזר היוצרת מקבילית בטרפז

נתון טרפז שווה שוקיים שאורך הבסיס הקטן שלו הוא AD=10 ס"מ אורך כל אחת מהשוקיים היא AB=DC=14 ס"מ. אורך הגובה הוא 12 ס"מ.

חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

 

פתרון:

  1. נעביר את AF כך ש- AF יקביל ל- DC.
  2. AD מקביל ל- CF   –   נתון, המרובע ABCD טרפז.
  3. נובע מ- 1 ו- 2 שמרובע AFCD הוא מקבילית   – מרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  4. CF=AD=10 ס"מ.     –  צלעות מקבילות במקבילית שוות זו לזו.
  5. AF=DC=AB.
  6. משולש ABF שווה שוקיים   – נובע מ- 5.
  7. במשולש ABF נוריד גובה ותיכון AE    –  במשולש שווה שוקיים הגובה הוא גם תיכון.
  8. במשולש AEF על פי פיתגורס AF²=EF²+AE².
    14²=EF²+12²
    EF²=14²-12²=52
    EF=שורש 52 = 7.2
  9. BF=BE+EF=2EF = 2* 7.2=14.4  –  נובע מ- 7.
  10. BC=BF+FC=14.4+10 = 24.4  – נובע מ – 9 ו- 4.
  11. שטח הטרפז   2 / (24.4 + 10) * 12 =2 / 12*34.4 = 206.4  סמ"ר.

עוד באתר:

  1. טרפז ו טרפז שווה שוקיים, קטע אמצעים בטרפז– מידע מפורט על הצורות.
  2. שטח מקבלית, שטח עיגול, שטח משולש.
שאלה שאלות

4 תגובות בנושא “שטח טרפז

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.