בעיות תנועה כיתה ח

בדף זה בעיות תנועה המתאימות לכיתה ח. הבעיות הן ברמה יחסית גבוהה. אם אתם צריכים חזרה יסודית יותר על החומר תוכלו למצוא אותה בדף בעיות תנועה.

הבעיות מסודרות מהקל לקשה.

הבעיות מייצגות סגנונות שונים בבעיות תנועה. כך שאם תבינו אותם תוכלו להתמודד בהצלחה עם מרבית המוקשים שקיימים בבעיות מסוג זה.

בעיות שוויון דרכים

תרגיל 1: אותה דרך נעשית פעמיים

רכב נסע מעיר א לעיר ב והגיע לאחר  4 שעות.
בדרך חזרה הרכב האט ב- 20 קמ"ש והדרך נמשכה 5 שעות.
מה הייתה מהירות הרכב בדרך הלוך? מה המרחק מעיר א לעיר ב?

פתרון

v המהירות בדרך הלוך בקמ"ש.
v – 20 המהירות בדרך חזור בקמ"ש.

פתרון בטבלה (באדום המידע שנוסף על ידי חישוב)

מהירות זמן דרך
הלוך v 4 4v
חזור v-20 5 v-20)* 5)

פתרון ללא טבלה:

  • v – מהירות הרכב בדרך הלוך בקמ"ש.
  • 4v – המרחק שהרכב עבר בדרך הלוך.
  • v-20 – מהירות הרכב בדרך חזור בקמ"ש.
  • v-20)* 5)  – המרחק שהרכב עבר בחזור.

בניית משוואה (נדרשת בשני הדרכים)
המרחק בהלוך ובחזור שווה ולכן המשוואה היא:

(4v = 5(v-20
4v = 5v -100  / +100 – 4v
v=100

המהירות בדרך הלוך היא 100 קמ"ש.
המרחק בין הנקודות הוא 4*100=400.

תשובה: מהירות הרכב בדרך הלוך הייתה 100 קמ"ש.
המרחק מעיר א לעיר ב הוא 400 ק"מ.

תרגיל 2: נותנים זמן כולל לדרך הלוך וחזור

הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

t זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.

זמן מהירות דרך
דרך הלוך t 4 4t
דרך חזור t -6 8 8(6-t)

פתרון ללא טבלה.

  1. t – זמן ההליכה מהבית לים.
  2. 4t – הדרך מהבית לים.
  3. t – 6 – זמן ההליכה מהים לבית.
  4. 8(6-t) – הדרך מהים לבית.

מכוון שאורך הדרך הוא אותו דבר המשוואה תשווה את שורות 2 ו- 4

(4t=8(6-t
4t=48-8t
12t=48
t=4

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.
המרחק מהבית לים הוא 4*4=16 ק"מ

תרגיל 3: שני כלי רכב הנוסעים בכיוונים מנוגדים

משני ערים במרחק 470 ק"מ יצאו זו לקראת זו שני מכוניות. המהירה מבניהן נסעה 20 קמ"ש מהר יותר מהאיטית. כעבור 2 שעות נסיעה המרחק בניהן היה 150 ק"מ.
מצאו את מהירות המכוניות.

שרטוט הבעיה

פתרון

מבחינת הבנת התרגיל המפתח הוא להבין כי שתי המכוניות ביחד עברו 320 = 150 – 470 ק"מ.
לכן נחשב את הדרך של כל אחת מיהן ונבנה משוואה.

פתרון בעזרת טבלה (בשחור הנתונים, באדום נתונים שנוספו על ידי חישובים)

מהירות זמן דרך
מכונית איטית v 2 2v
מכונית מהירה v + 20 2 2v + 40

פתרון ללא טבלה.

  1. v- מהירות המכונית האיטית.
  2. 2v – הדרך שעברה המכונית האיטית בשעתיים.
  3. V+20 – מהירות המכונית המהירה.
  4. 2(v+20) – הדרך שעברה המכונית המהירה בשעתיים.

הדרך ששתי המכוניות עברו ביחד בשעתיים היא 470-150=320 ק"מ.
המשוואה היא:
2v+2(v+20)=320
2v+2v+40=320
4v=280
v=70

תשובה: מהירות המכונית האיטית היא 70 קמ"ש ומהירות המכונית המהירה היא 90 קמ"ש.

תרגיל 4: כלי רכב היוצאים בזמנים שונים (ובכיוונים מנוגדים)

המרחק מים המלח לים התיכון הוא 200 ק"מ.
ב- 10 בבוקר יצאה מכונית מים המלח לכיוון הים התיכון במהירות 40 קמ"ש. ב- 12:30 יצאה מכונית בכיוון ההפוך במהירות 60 קמ"ש.
מתי המכוניות יפגשו?

פתרון

מהירות זמן דרך
מכונית שיצאה ראשונה 40 t 40t
מכונית שיצאה שנייה 60 t-2.5 60t – 150

פתרון ללא טבלה

  1. t- זמן הנסיעה בשעות של המכונית שיצאה ראשונה.
  2. 40t- הדרך שעברה המכונית הראשונה בק"מ עד הפגישה.
  3. t-2.5 – הזמן שנסעה המכונית שיצאה שנייה.
  4. 60(t-2.5) – הדרך שעברה המכונית השנייה עד הפגישה.

בניית משוואה
המשוואה מבוססת על כך שבנקודת הפגישה המרחק שהם עברו ביחד הוא 200 ק"מ
40t+60(t-2.5)=200
40t+60t-150=200
100t=350
t=3.5
תשובה: המכוניות יפגשו כעבור 3.5 שעות מיציאת מכונית הראשונה – בשעה 13:30.

תרגיל 5: הפרש דרכים

מכונית יצאה מאילת לכיוון צפון במהירות 80 קמ"ש. חצי שעה לאחר מיכן יצאה מאילת לכיוון צפון משאית במהירות 65 קמ"ש. כעבר כמה זמן מצאת המכונית המרחק בין המכונית למשאית יהיה 100 ק"מ?

פתרון
שימו לב שבשאלה זו המרחק הולך וגדל. כאשר המשאית יוצאת המרחק הוא פחות מ- 100 קילומטר ולאט לאט המכונית צוברת מרחק המגיע ל- 100 קילומטר.

t הזמן בשעות שנסעה המכונית עד המרחק בין המכונית למשאית היה 100 ק"מ.
t – 0.5 הזמן בשעות שבו המשאית נסעה.

נבנה טבלה ונשלים את המרחקים שהמכונית והמשאית עברו.

מהירות זמן דרך
מכונית 80 t 80t
משאית 65  t- 0.5 65t – 32.5

 

ההפרש בין הדרכים הוא:
80t – (65t – 32.5) = 100
80t -65t +32.5 = 100  / -32.5
15t = 67.5  / :15
t = 4.5
תשובה: כעבר 4.5 שעות מצאת המכונית המרחק בין המכונית למשאית יהיה 100 ק"מ.

תרגיל 6: כלי רכב המבצעים עצירות ומשנים מהירות

מכונית לבנה ומכונית צהובה נוסעות ממטולה לאילת. המכונית הלבנה נסעה במהירות 70 קמ"ש כל הדרך. המכונית הצהובה נסעה 2 שעות במהירות 60 קמ"ש. עצרה במשך שעתיים והמשיכה עד סוף הדרך במהירות 90 קמ"ש.
המכונית הלבנה הגיעה שעה לפני המכונית הצהובה.
מה המרחק ממטולה לאילת?

פתרון

t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.

מהירות זמן דרך
לבנה 70 t 70t
צהובה שעתיים ראשונות 60 2 120
צהובה עצירה 0 2 0
צהובה סיום 90 t-3 90t – 270

הסבר מדוע זמן הנסיעה של המכונית הצהובה בשלב האחרון הוא t-3:

  1. נתון שהמכונית הלבנה הגיעה 1 שעה לפני הצהובה. כלומר זמן הנסיעה הכללי של הצהובה הוא t+1.
  2. מכוון שהצהובה הייתה בדרך 4 שעות בשני השלבים הקודמים הזמן שנותר לה לנסוע הוא:
    t +1 – 4 = t-3

סך הכל הדרך שהמכונית הצהובה עברה היא 90t -270 + 120 והדרך הזו שווה לדרך שהמכונית הלבנה עברה.
ולכן המשוואה היא:
70t=120+90t-270  / -90t
20t=-150-  / : -20
t=7.5
נחשב את המרחק ע"פ הנתונים של המכונית הלבנה (70t):
7.5*70=525
תשובה: המרחק ממטולה לאילת הוא 525 ק"מ.

 

עוד באתר:

שאלה שאלות

4 תגובות בנושא “בעיות תנועה כיתה ח

  1. שימי

    למה אתה מחסר בתרגיל 5 אתה חיסרת כשאמרו שחצי שעה לאחר מכן יצאה המשאית, אז צריך להוסיף חצי שעה לא לחסר לא?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום שימי
      מה שכתוב שם זו התשובה הנכונה.
      t הזמן שהמכונית נמצאת בנסיעה.
      אז כמה זמן המשאית נמצאת בנסיעה?
      חצי שעה פחות. וכותבים זאת כך
      t- 0.5
      נציב לדוגמה מספרים. המכונית נמצאת 5 שעות בנסיעה.
      כמה זמן המשאית בנסיעה?
      4.5 = 0.5 – 5
      אם היינו פועלים בדרך שלך היינו מקבלים 5.5 וזה לא מתאים לשאלה.

      מה שנכון הוא שאם היינו בונים משוואה של זמנים. אז היינו צריכים להוסיף 0.5 שעות למשאית כדי שהזמנים יהיו שווים.
      זמן נסיעת המכונית = 0.5 + זמן נסיעת המשאית.
      אבל השאלה זו אין משוואה של זמנים, המשוואה היא של הפרש מרחקים השווה ל- 100.
      מקווה שמובן ובהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.