בעיות אחוזים כיתה ח

הכותרת של דף זה היא "בעיות אחוזים כיתה ח".
אבל הדף הזה התפתח וכולל היום בעיות עד רמת בגרות 4 יחידות.

תלמידי כיתה ח – לא שכחתי אותכם. תרגילים 1-9 מתאימים לכם.
ובנוסף יש את הדף בעיות אחוזים בסיסיות לכיתה ח עם תרגילים נוספים.

תרגילים 10-17 הם תרגילים קשים יותר.
תלמידים טובים בכיתה ח יכולים לפתור אותם, והתרגילים מתאימים גם לתלמידים עד בגרות 4 יחידות.

הדף מתחיל בחזרה והסברים של החומר.
לאחר מיכן יש 20 תרגילים עם פתרונות מלאים.

1. חזרה: שלושת הסוגים הבסיסיים של בעיות אחוזים

1.מציאת חלק מתוך שלם; למשל כמה הם 40% מ 30?
פתרון: מכפילים את החלק כשהוא "מתורגם" לשבר בשלם.
השבר המתאים ל 40% הוא:

לכן 40% מתוך 30 הם:
12 = 30 * 0.4
תשובה: 40% מתוך 30 הם 12.

2. הפיכת חלק לאחוז; למשל על המדף 8 כוסות. ל 3 מתוכם יש ידית. לאיזה אחוז מהכוסות יש ידית?
פתרון: הופכים את החלק לשבר ואז מכפילים ב 100 על מנת להפוך לאחוז.
3/8 הוא החלק של הכוסות עם ידית מתוך כל הכוסות שעל המדף.

3/8 באחוזים הם:

3. נתון גודל של חלק מהקבוצה. צריך למצוא את גודל הקבוצה כולה;
למשל ¾ מהתלמידים בכיתה שהם 24 תלמידים מגיעים עם תיק כבד לבית הספר. כמה תלמידים בכיתה?
הפתרון: מכפילים את המספר (24) בהופכי של השבר.
32 = (4/3) * 24.

מי שמעוניין בהרחבה על שלושת הסוגים הללו יוכל למצוא אותה בקישורים:

2. דברים תאורטיים שתלמידי כיתה ח צריכים לדעת על אחוזים

1.אחוזים הם סוג של שבר. על מנת להכניס אותם למשוואה יחד עם מספרים צריך להפוך אותם למספר על ידי חלוקה ב 100.
למשל:
70%  ⇐ 0.7
48%  ⇐ 0.48

2. כאשר יש עליה 30% במחיר מוצר מחיר המוצר החדש הוא 130% מהמחיר ההתחלתי.
במקרה זה צריך להכפיל את המחיר ההתחלתי 130/100.
אפשרות אחרת היא להכפיל את המספר ההתחלתי ב 1.3.

3. כאשר מחיר עובר מספר שינויים באחוזים סדר השינויים לא משנה.
מוצר שעלה ב 40% ולאחר מיכן ירד ב 10% יגיע לאותו מחיר גם אם ירד ב 10% ולאחר מיכן יעלה ב 40%.
x * 1.4 *0.9= 1.26x   ⇐  קודם עלייה ואז ירידה.

x * 0.9 * 1.4 = 1.26x   ⇐  קודם ירידה ואז עלייה.

4. כאשר מוצר עולה ויורד באותו אחוז תמיד מחירו הסופי יהיה נמוך יותר ממחירו ההתחלתי.
למשל מחיר מוצר שעלה ב 10% ואז ירד ב 10% יהיה נמוך יותר מהמחיר ההתחלתי של אותו מוצר.
x * 1.1 * 0.9 = 0.99x

פירוט נוסף בוידאו שלמעלה.

3. בעיות הוזלה והתייקרות כפולה

מצורפים שני סרטונים.
הסרטון הראשון מסביר כיצד פותרים בעיות עם הוזלה / התייקרות כפולים. הסרטון מסביר שני סוגי שאלות: שאלות בהן המחיר ההתחלתי ידוע ושאלות בהן המחיר ההתחלתי לא ידוע.
הסרטון השני עונה על שלוש שאלות ששואלים (במבחנים) על הוזלה והתייקרות כפולים.
הדף התייקרות כפולה באחוזים כולל את אותו מידע גם בטקסט.

 

עוד באתר:

4. תרגילים לכיתה ח

20 תרגילים מגוונים הכוללים סוגים שונים של שאלות.
תרגילים 1-9 מתאימים לכיתה ח.
תרגילים 10-17 קשים יותר.
תרגילים 18-20 הם בנושא שינוי של מאות אחוזים.

תרגילים קלים יותר תמצאו בדף בעיות אחוזים בסיסיות.

תרגיל 1
מחיר ספר לאחר עלייה של 30% במחיר הוא 52 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הספר?

פתרון
x המחיר ההתחלתי של הספר בשקלים.
130/100 השבר המבטא את השינוי באחוזים.

1.3x = 52  / :1.3

1.3x = 52  / :1.3
x = 40

תרגיל 2
מחיר כרטיס קולנוע עלה מ 40 ל 45 שקלים.

  1. בכמה אחוזים המחיר עלה?
  2. לאחר מיכן המחיר ירד ל 42 שקלים. בכמה אחוזים המחיר ירד?

פתרון
המחיר עלה ב 5 שקלים.
יש לחשב את אחוז העליה מתוך המחיר שלפני השינוי והוא 40 שקלים.

פתרון התרגיל

המחיר עלה ב 12.5%.

חלק שני
המחיר ירד ב 3 שקלים.
יש לחשב את אחוז השינוי מתוך המחיר ממנו הייתה הירידה (45).

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר ירד ב 6.66%.

תרגיל 3
מחיר מחברת גדול ב 30% ממחיר עיפרון.
מחברת ועיפרון עולים ביחד 18.4 שקלים.
כמה עולה מחברת וכמה עולה עיפרון?

פתרון
x מחיר עיפרון.
מחיר מחברת גדול ב 30% לכן מחיר המחברת הוא:

1.3x

סכום המחירים של מחברת ועיפרון הוא 18.4 ולכן המשוואה היא:

x+ 1.3x = 18.4
2.3x = 18.4  / :2.3
x = 8
10.4 = 8 – 18.4

תשובה: מחיר העיפרון 8 שקלים ומחיר המחברת 10.4 שקלים.

תרגיל 4
בחנות הכריזו על על מבצע של 30% על כל החנות.
על מיקרוגל ניתנה הנחה של 48 שקלים.
מה תהיה ההנחה על מוצר הכפול במחירו מהמיקרוגל?

פתרון
פתרון אינטואיטיבי
כאשר מכפילים את מחירו של מוצר ומשאירים את אחוז ההנחה אותו הדבר אז גם גודל ההנחה בשקלים מוכפל.
לכן ההנחה תהיה:
96 = 2 * 48.

פתרון חישובי
נגדיר
x – מחיר המיקרוגל.
ניתנה הנחה של 30% שהיא:

גודל ההנחה הוא 0.3x וגם 48 שקלים.
לכן המשוואה היא:
0.3x = 48

פתור את המשוואה:
0.3x = 48  / :0.3
x = 160
זה המחיר המקורי של המיקרוגל.

המחיר הוכפל ולכן המחיר עכשיו הוא:
320 = 2 * 160

נחשב כמה הם 30% מתוך 320.

תרגיל 5
40% ממחיר בובה הם 28 שקלים.
מה מחיר הבובה?

פתרון
נגדיר:
x  מחיר בובה בשקלים.

השבר המייצג את 40% הוא 0.4.
אם היינו רוצים לדעת כמה הם 0.4 מ 20 אז היינו פותרים את התרגיל:
8 = 0.4 * 20

אבל אנו רוצים לדעת כמה הם 40% מתוך x.
לכן התרגיל שלנו הוא:
x * 0.4 = 0.4x

בניית משוואה ופתרונה
"40% ממחיר בובה הם 28 שקלים".
לכן המשוואה היא:
0.4x = 28
0.4x = 28  / :0.4
x = 70
תשובה: מחיר הבובה 70 שקלים.

תרגיל 6
בכיתה יש שתי קבוצות: אלו שמגיעים ברגל לבית הספר ואלו שנוסעים במכונית לבית ספר.
קבוצת הנוסעים במכונית גדולה ב- 25% מקבוצת ההולכים.
בסך הכל יש 36 תלמידים בכיתה.
מצאו כמה תלמידים הולכים וכמה נוסעים לבית ספר.

פתרון

x  מספר התלמידים שהולכים ברגל.
מכוון שקבוצת הנוסעים גדולה ב 25% מקבוצת ההולכים האחוז המתאים לה הוא 125% מתוך x.
1.25x מספר התלמידים המגיעים במכונית.

סך הכל יש 36 תלמידים לכן המשוואה היא:
x + 1.25x = 36
2.25x = 36  /:2.25
x = 16

תשובה: מספר ההולכים ברגל הוא 16 תלמידים, מספר המגיעים ברכב הוא 20 תלמידים.

תרגיל 7
נתון ריבוע שהגדילו את שתי צלעות נגדיות שלו ב 20% והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הנוספות ב 20%.

  1. האם היקף המלבן שנוצר גדול או קטן מהיקף הריבוע המקורי?
  2. האם שטח המלבן גדול או קטן משטח הריבוע המקורי?

פתרון

נגדיר את צלע הריבוע כ x ס"מ.

היקף הריבוע הוא 4x.
שטח הריבוע הוא x².

אורך צלעות המלבן  החדש שנוצר הוא 0.8x,  1.2x.

היקף המלבן: 0.8x + 0.8x + 1.2x + 1.2x= 4x
שטח המלבן: 0.8x * 1.2x = 0.96x²

4x = 4x  ההיקפים שווים.
0.96x² < x²  שטח המלבן קטן יותר.

תשובה: היקף הריבוע שווה להיקף המלבן. שטח הריבוע גדול משטח המלבן.

שרטוט התרגיל, אחוזים

תרגיל 8
40% משטח גינה הם דשא ו- 30% משטח הגינה הם עצים. בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים.
מה גודל שטח הדשא בגינה? מה גודל הגינה?

פתרון בדרך "מקוצרת"
פער של 10% הוא פער של 15 מטר.
לכן 40% הם 4*15 = 60 מטר. זה שטח הדשא.
15*10 = 150 מטר. זה שטח הגינה כולה.

פתרון בדרך רגילה:
x   שטח הגינה.
0.4x  שטח הדשא.
0.3x  שטח העצים

המשוואה היא:
0.3x + 15 = 0.4x   / – 0.3x
0.1x = 15  / *10
x = 150  זה שטח הגינה.

60 = 150 * 0.4   זה שטח הדשא.
תשובה: שטח הדשא הוא 60 מטר רבוע.

תרגילים קשים

תרגיל 9
בשכבת כיתה ח 3 כיתות.
בכיתה ח1 35 תלמידים. בכיתה ח3 מספר התלמידים גדול פי 2 ממספר התלמידים בכיתה ח2.
אם מגדילים את מספר התלמידים בכיתה ח2 ב 20% מספר התלמידים בשכבת כיתה ח יהיה 115.
(מגדלים את מספר התלמידים ב- ח2 מבלי לשנות את מספר התלמידים ב- ח3).

כמה תלמידים יש עכשיו (ללא ההגדלה) בכיתות ח2 ו ח3?

פתרון

35 מספר התלמידים בכיתה ח1.
x מספר התלמידים עכשיו בכיתה ח2.
2x מספר התלמידים בכיתה ח3.

לאחר התוספת מספר התלמידים בכיתה ח2 יהיה:

1.2x

1.2x מספר התלמידים בכיתה ח2 לאחר השינוי.

אנו יודעים שסכום התלמידים בשלושת הכיתות לאחר השינוי הוא 115 ולכן המשוואה היא:

1.2x + 2x + 35 = 115  / -35
3.2x = 80  /:3.2
x = 25

תשובה: בכיתה ח2 25 תלמידים לפני השינוי. בכיתה ח3 50 תלמידים.

תרגיל 10
בחנות ממתקים שבה 600 מוצרים 30% מהמוצרים הם שוקולד.
בכמה צריך להגדיל את מספר מוצרי השוקולד על מנת שיהיו 50% ממוצרי החנות.

פתרון
צריך לשים לב שכאשר מגדילים את מספר מוצרי השוקולד גם המספר הכללי של המוצרים בחנות עולה.

המספר ההתחלתי של מוצרי השוקולד בחנות הוא 30% מתוך 600.
180 = 600 * (30/100)

x   מספר מוצרי השוקולד שצריך להוסיף על מנת שמספרם יהיה חצי ממספרם בחנות.
x + 180   מספר מוצרי השוקולד לאחר השינוי.
x + 600   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי.
2x + 360   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי (תיאור זה נובע מכך שלאחר השינוי מספר המוצרים בחנות כפול ממספר מוצרי השוקולד).

בעזרת שתי השורות האחרונות נבנה משוואה.
כל צד במשוואה מתאר בדרך אחרת את מספר המוצרים בחנות.
2x + 360 = x+ 600  /-x-360
x = 240

תשובה: צריך להוסיף 240 מוצרי שוקולד למוצרי החנות.

 

תרגיל 11 (קבוצה גדלה וקבוצה קטנה)
56 תלמידים יצאו לטיול בשני אוטובוסים.
אם 30% מהנוסעים מהאוטובוס השני היו עוברים לאוטובוס הראשון מספר התלמידים בכול אחד מהאוטובוסים היה שווה.
כמה תלמידים יש בכול אוטובוס עכשיו?
כמה תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון?

פתרון

x מספר התלמידים באוטובוס השני.
30x / 100 ) = 0.3x) החלק מהתלמידים שמציעים שיעבור לאוטובוס הראשון.
מספר התלמידים באוטובוס הראשון 56 פחות X

המשוואה היא (שימו לב שהחלק שיורד מהאוטובוס השני מתווסף לאוטובוס הראשון):

בניית משוואה

x – 0.3x = 56 – x +0.3x
0.7x = 56 -0.7x  / +0.7x
1.4x = 56  /:1.4
x = 40

40 תלמידים יש באוטובוס השני.
16 = 40 – 56 זה מספר התלמידים באוטובוס הראשון.

חלק שני
30% מתוך 40 הנוסעים באוטובוס השני אמורים לעבור.
12 = 40 * (30/100)

תשובה: 12 תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון.

תרגיל 12 (התייקרות כפולה)
מחיר זוג נעליים עלה ב-15% ולאחר מיכן ירד ב- 20%.
אם המחיר לאחר השינויים הוא 184 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הנעליים?

פתרון
נגדיר
x  המחיר ההתחלתי של הנעליים בשקלים.
מכוון שהייתה עליה של 15% הכפלה ב 1.15 תבטא את העליה הזו.
מכוון שהייתה ירידה של 20% הכפלה ב 0.8 תבטא את הירידה הזו.

184 = 0.8 * 1.15 * x
0.92x = 184  /:0.92
x = 200

תשובה: המחיר ההתחלתי של הנעליים הוא 200 שקלים.

הערה: אם אתם מעדיפים לעבוד עם מספרים של 115% ו 80% ניתן לפתור את השאלה גם בעזרת התרגיל:

אפשרות אחרת לפתרון התרגיל

תרגיל 13 (התייקרות והנחה כפולים כאשר לא ידוע האחוז).
מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב x אחוזים ולאחר מיכן ירד באותו מספר אחוזים.
המחיר הסופי של החולצה לאחר שני השינויים הוא 54.6 שקלים.
מצאו את אחוז העלייה והירידה של החולצה.

פתרון
אם מחיר החולצה היה עולה ב – 10% היינו כותבים שהמחיר לאחר עליה אחת הוא

אז כאשר המחיר עולה ב x אחוזים נרשום x במקום ה- 10 ונקבל:

עבור עלייה וירידה ב x אחוז נרשום:

המכנה המשותף הוא:
10,000 = 100 * 100
נכפיל ב: 10,000 ונקבל:

נפתח סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b² = (a + b) * (a – b

כמו כן נחלק את שני צדדי המשוואה ב- 60 ונקבל:

x² + 10000 = 9100-
x² + 900 = 0  / *-1-
x² -900 = 0
x² = 900
x = 30 או x= -30
מכוון ש x מוגדר כאחוז עלייה הפתרון המתאים הוא x = 30.

תרגיל 14
למחיר ספר הוסיפו 16 שקלים. לאחר מיכן הוזילו את הספר ב- 25%. שבוע אחרי המחיר עלה ב-50% ולאחר עוד שבוע ירד ב- 20 שקלים. מצאו את המחיר ההתחלתי של הספר אם ידוע שמחירו הסופי הוא 88 שקלים.

פתרון

החלק הראשון: הגדרות לפני בניית המשוואה.

פתרון תרגיל

ואנו יודעים ששורה מספר 5 שווה ל 88 לכן המשוואה היא:

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר המקורי של הספר הוא 80 שקלים.

תרגיל 15 (שני נעלמים)
דנה תכננה לרכוש טיסה ובית מלון ל 4 ימים במחיר כולל של 2200 שקלים.
דנה חיכתה מעט ואז מחיר הטיסה עלה ב 20% ואילו מחיר המלון ירד ב 10%.
כתוצאה מכך דנה שילמה 80 שקלים יותר עבור החבילה.
חשבו את מחיר המלון ומחיר הטיסה של דנה.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים ומחירים
נגדיר:
x  מחיר הטיסה לפני העליה.
y  מחיר המלון לפני הירידה.

"מחיר הטיסה עלה ב 20%"
1.2x  מחיר הטיסה לאחר העליה.
"מחיר המלון ירד ב 10%".
0.9y  מחיר המלון לאחר הירידה.

שלב ב: בניית משוואות ופתרונן
בהתחלה "מחיר כולל 2200 שקלים"
לכן המשוואה:
x + y = 2200
y = 2200 -x

לאחר העליה המחיר הכולל הוא 2280 שקלים.
לכן המשוואה:
1.2x + 0.9y = 2280

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
1.2x + 0.9*(2200 -x) = 2280
1.2x + 1980 – 0.9x = 2280
0.3x = 300  / :0.3
x = 1000

מחיר הטיסה הוא:
y = 2200 -x
y = 2200 – 1000 = 1200

תשובה: מחיר הטיסה לפני העלייה הוא 1000 שקלים, מחיר המלון לפני הירידה הוא 1200 שקלים.

תרגיל 16 (שני נעלמים)
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא.
מה המחיר של שולחן ומה המחיר של כיסא?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x מחיר כיסא.
y  מחיר שולחן.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
x + y = 650
(משוואה ראשונה)

"15% ממחיר שולחן " זה:
0.15y
"50% ממחיר כיסא" זה:
0.5x

"15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
0.15y = 0.5x
נכפיל משוואה זו פי 2 ונקבל:
0.3y = x

קיבלנו את שתי המשוואות:
x + y = 650
0.3y = x

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
0.3y + y = 650
1.3y = 650  / :1.3
y = 500

נמצא את x:
x + y = 650
x + 500 = 650  / -500
x = 150
תשובה: מחיר שולחן הוא 500 שקלים, מחיר כיסא 150 שקלים.

תרגיל 17
בחממה יש 800 פרחים.
לבנים או צהובים.
יום אחד נמכרו 40% מהלבנים ו 60% מהצהובים.
סך הכל נמכרו יותר 20 פרחים לבנים.
חשבו כמה פרחים לבנים וצהובים היו בחממה לפני המכירה.

פתרון
נגדיר
x מספר הפרחים הלבנים שהיו בחממה לפני המכירה.
y מספר הפרחים הצהובים שהיו בחממה לפני המכירה.

x + y = 800
x = 800 – y
(משוואה 1)

מספר הפרחים שנמכרו:
0.4x אלו הפרחים הלבנים שנמכרו
0.6y אלו הפרחים הצהובים שנמכרו.

נמכרו 20 לבנים יותר לכן המשוואה היא:
0.6y + 20 = 0.4x
(משוואה 2)

נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
(0.6y + 20 = 0.4(800 – y
0.6y + 20 = 320 -0.4y  / -20 + 0.4y
y = 300

x = 800 – y
x = 800 – 300 = 500
תשובה: בחממה לפני המכירה היו 500 פרחים לבנים ו 300 פרחים צהובים.

 

זהו. מספיק :)
סיימתם את הדף ואם גם פתרתם את התרגילים, כל הכבוד!

עוד באתר:

  1. מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
  2. חישוב בעל פה של אחוזים – ללא דף ונייר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 thoughts on “בעיות אחוזים כיתה ח

  1. אסתי

    דבר ראשון האתר הזה מהמם!! כל הכבוד
    למעלה כתבת על 3 הדרכים הדרך השלישית גם על אחוזים?אפשר לראות דרך
    תודה

  2. לוי.ב

    אתר מעולה!.
    אשמח אם תוכלו לעזור לי בשאלה באחוזים שיש לי, לצערי הנושא הזה ממש מבלבל אותי…
    (השאלה עצמה הוסרה מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום לוי
      אתה צריך להגדיר את מחיר הכיסא והשולחן לפני עליית המחירים ואחרי עליית המחירים באמצעות משתנה אחד.
      נסה לעשות זאת לפני שאתה קורא את התשובה.

      x מחיר שולחן
      x – 300 מחיר כיסא

      0.8x מחיר שולחן לאחר ירידה של 20%.
      x – 300)*1.2) מחיר כיסא לאחר עליה של 30%

      המחירים שווים, לכן המשוואה היא:
      (0.8x = 1.2 (x -300
      פותרים ומגיעים לתשובה.
      בהצלחה.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום לים
      x מחיר הטלפון הזול.
      x + 30 מחיר הטלפון הבינוני.
      x + 30) *1.4) מחיר הטלפון היקר.
      כך הגדרנו את שלושת המחירים באמצעות משתנה אחד x.

      סכום המחירים הוא 344. לכן המשוואה היא:
      x + x+ 30 + 1.4(x + 30) = 344
      פותרים את המשוואה ומוצאים כמה עולה כל אחד מהטלפונים.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.