בעיות אחוזים כיתה ח

בדף זה נלמד כיצד פותרים בעיות מילוליות בנושא אחוזים ברמה של כיתה ח.

בדף ארבעה חלקים:

  1. חזרה על שלושת הסוגים של בעיות האחוזים – בעיות שנלמדו בכיתה ו.
  2. דברים תאורטיים שתלמידי כיתה ח צריכים לדעת.
  3. כיצד לפתור בעיות של הוזלה / התייקרות כפולים באחוזים.
  4. 10 בעיות אחוזים עם פתרונות מלאים. זה עיקר הדף. בעיות מגוונות מסוגים שונים.

1. חזרה: שלושת הסוגים הבסיסיים של בעיות אחוזים

1.מציאת חלק מתוך שלם; למשל כמה הם 40% מ 30?
פתרון: מכפילים את החלק כשהוא "מתורגם" לשבר בשלם.
12 = 30 * (40/100)

2. הפיכת חלק לאחוז; למשל על המדף 8 כוסות. ל 3 מתוכם יש ידית. לאיזה אחוז מהכוסות יש ידית?
פתרון: הופכים את החלק לשבר ואז מכפילים ב 100 על מנת להפוך לאחוז.
37.5% = 100 * (3/8).

3. נתון גודל של חלק מהקבוצה. צריך למצוא את גודל הקבוצה כולה; למשל ¾ מהתלמידים בכיתה שהם 24 תלמידים מגיעים עם תיק כבד לבית הספר. כמה תלמידים בכיתה?
הפתרון: מכפילים את המספר (24) בהופכי של השבר.
32 = (4/3) * 24.

פירוט של כל הנושאים הללו תוכלו למצוא בסרטון או אם אתם רוצים טקסט בדף אחוזים כיתה ו.

2. דברים תאורטיים שתלמידי כיתה ח צריכים לדעת על אחוזים

1.אחוזים הם סוג של שבר. על מנת להכניס אותם למשוואה יחד עם מספרים צריך להפוך אותם למספר על ידי חלוקה ב 100.
למשל 70%  ⇐ 0.7

2. כאשר יש עליה 30% במחיר מוצר מחיר המוצר החדש הוא 130% מהמחיר ההתחלתי.
במקום להכפיל את מחיר המוצר ב 130/100 ניתן להכפיל ב 1.3.

3. כאשר מחיר עובר מספר שינויים באחוזים סדר השינויים לא משנה.
מוצר שעלה ב 40% ולאחר מיכן ירד ב 10% יגיע לאותו מחיר גם אם ירד ב 10% ולאחר מיכן יעלה ב 40%.
x * 1.4 *0.9= 1.26x   ⇐  קודם עלייה ואז ירידה.
x * 0.9 * 1.4 = 1.26x   ⇐  קודם ירידה ואז עלייה.

4. כאשר מוצר עולה ויורד באותו אחוז תמיד מחירו הסופי יהיה נמוך יותר ממחירו ההתחלתי.
למשל מחיר מוצר שעלה ב 10% ואז ירד ב 10% יהיה נמוך יותר מהמחיר ההתחלתי של אותו מוצר.
x * 1.1 * 0.9 = 0.99x

פירוט נוסף בוידאו.

3. בעיות הוזלה והתייקרות כפולה

מצורפים שני סרטונים.
הסרטון הראשון מסביר כיצד פותרים בעיות עם הוזלה / התייקרות כפולים. הסרטון מסביר שני סוגי שאלות: שאלות בהן המחיר ההתחלתי ידוע ושאלות בהן המחיר ההתחלתי לא ידוע.
הסרטון השני עונה על שלוש שאלות ששואלים (במבחנים) על הוזלה והתייקרות כפולים.

הסבר כיצד לפתור תרגילי הוזלה / התייקרות כפולים באחוזים
הסבר לשאלות תאורטיות ששואלים על הוזלה / התייקרות כפולים

עוד באתר:

4. תרגילים לכיתה ח

11 תרגילים מגוונים המתאימים לכיתה ח.
ל 5 תרגילים יש גם פתרונות וידאו.

התרגילים כולם בינוניים – קשים. אבל יש קשים יותר ויש פחות
תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 4-7 באמצע.
תרגילים 8-11 קשים.

תרגיל 1

מחיר ספר לאחר עלייה של 30% במחיר הוא 52 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הספר?

פתרון

x המחיר ההתחלתי של הספר בשקלים.
130/100 השבר המבטא את השינוי באחוזים.

1.3x = 52  / :1.3

1.3x = 52  / :1.3
x = 40

תרגיל 2

מחיר כרטיס קולנוע עלה מ 40 ל 45 שקלים.

  1. בכמה אחוזים המחיר עלה?
  2. לאחר מיכן המחיר ירד ל 42 שקלים. בכמה אחוזים המחיר ירד?

פתרון

המחיר עלה ב 5 שקלים.
יש לחשב את אחוז העליה מתוך המחיר שלפני השינוי והוא 40 שקלים.

פתרון התרגיל

המחיר עלה ב 12.5%.

חלק שני
המחיר ירד ב 3 שקלים.
יש לחשב את אחוז השינוי מתוך המחיר ממנו הייתה הירידה (45).

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר ירד ב 6.66%.

תרגיל 3

מחיר מחברת גדול ב 30% ממחיר עיפרון.
מחברת ועיפרון עולים ביחד 18.4 שקלים.
כמה עולה מחברת וכמה עולה עיפרון?

פתרון

x מחיר עיפרון.
מחיר מחברת גדול ב 30% לכן מחיר המחברת הוא:

1.3x

סכום המחירים של מחברת ועיפרון הוא 18.4 ולכן המשוואה היא:

x+ 1.3x = 18.4
2.3x = 18.4  / :2.3
x = 8
10.4 = 8 – 18.4

תשובה: מחיר העיפרון 8 שקלים ומחיר המחברת 10.4 שקלים.

תרגיל 4

בכיתה יש שתי קבוצות: אלו שמגיעים ברגל לבית הספר ואלו שנוסעים לבית ספר.
קבוצת הנוסעים גדולה ב- 25% מקבוצת ההולכים.
בסך הכל יש 36 תלמידים בכיתה.
מצאו כמה תלמידים הולכים וכמה נוסעים לבית ספר.

פתרון

x  מספר התלמידים שהולכים ברגל.
1.25x מספר התלמידים המגיעים במכונית.

סך הכל יש 36 תלמידים לכן המשוואה היא:
x + 1.25x = 36
2.25x = 36  /:2.25
x = 16

תשובה: מספר ההולכים ברגל הוא 16 תלמידים, מספר המגיעים ברכב הוא 20 תלמידים.

תרגיל 5

בשכבת כיתה ח 3 כיתות.
בכיתה ח1 35 תלמידים. בכיתה ח3 מספר התלמידים גדול פי 2 ממספר התלמידים בכיתה ח2.
אם מגדילים את מספר התלמידים בכיתה ח2 ב 20% מספר התלמידים בשכבת כיתה ח יהיה 115.

כמה תלמידים יש עכשיו בכיתות ח2 ו ח3?

פתרון

x מספר התלמידים בכיתה ח2.
2x מספר התלמידים בכיתה ח3.

לאחר התוספת מספר התלמידים בכיתה ח2 יהיה:

1.2x

1.2x מספר התלמידים בכיתה ח2 לאחר השינוי.

אנו יודעים שסכום התלמידים בשלושת הכיתות לאחר השינוי הוא 115 ולכן המשוואה היא:

1.2x + 2x + 35 = 115  / -35
3.2x = 80  /:3.2
x = 25

תשובה: בכיתה ח2 25 תלמידים לפני השינוי. בכיתה ח3 50 תלמידים.

תרגיל 6

נתון ריבוע שהגדילו את שתי צלעות נגדיות שלו ב 20% והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הנוספות ב 20%.

  1. האם היקף המלבן שנוצר גדול או קטן מהיקף הריבוע המקורי?
  2. האם שטח המלבן גדול או קטן משטח הריבוע המקורי?

פתרון

נגדיר את צלע הריבוע כ x ס"מ.

היקף הריבוע הוא 4x.
שטח הריבוע הוא x².

אורך צלעות המלבן  החדש שנוצר הוא 0.8x,  1.2x.

היקף המלבן: 0.8x + 0.8x + 1.2x + 1.2x= 4x
שטח המלבן: 0.8x * 1.2x = 0.96x²

4x = 4x  ההיקפים שווים.
0.96x² < x²  שטח המלבן קטן יותר.

תשובה: היקף הריבוע שווה להיקף המלבן. שטח הריבוע גדול משטח המלבן.

שרטוט התרגיל, אחוזים

תרגיל 7

40% משטח גינה הם דשא ואילו 30% הם עצים. בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים.
מה גודל שטח הדשא בגינה? מה גודל הגינה?

פתרון
פער של 10% הוא פער של 15 מטר.
לכן 40% הם 4*15 = 60 מטר. זה שטח הדשא.
15*10 = 150 מטר. זה שטח הגינה כולה.

פתרון בדרך נוספת:
x   שטח הגינה.
0.4x  שטח הדשא.
0.3x  שטח העצים

המשוואה היא:
0.3x + 15 = 0.4x   / – 0.3x
0.1x = 15  / *10
x = 150  זה שטח הגינה.

60 = 150 * 0.4   זה שטח הדשא.

תרגיל 8

בחנות ממתקים שבה 600 מוצרים 30% מהמוצרים הם שוקולד.
בכמה צריך להגדיל את מספר מוצרי השוקולד על מנת שיהיו 50% ממוצרי החנות.

פתרון

צריך לשים לב שכאשר מעלים את מספר מוצרי השוקולד גם המספר הכללי של המוצרים בחנות עולה.

המספר ההתחלתי של מוצרי השוקולד בחנות הוא:
180 = 600 * (30/100)

x   מספר מוצרי השוקולד שצריך להוסיף על מנת שמספרם יהיה חצי ממספרם בחנות.
x + 180   מספר מוצרי השוקולד לאחר השינוי.
2x + 360   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי (זה המספר הכפול ממוצרי השוקולד, כפי שנדרש בשאלה).
x + 600   דרך אחרת לתאר את מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי.

2x + 360 = x+ 600  /-x-360
x = 240

תשובה: צריך להוסיף 240 מוצרי שוקולד למוצרי החנות.

תרגיל 9 (קבוצה גדלה וקבוצה קטנה)

56 תלמידים יצאו לטיול בשני אוטובוסים.
אם 30% מהנוסעים מהאוטובוס השני היו עוברים לאוטובוס הראשון מספר התלמידים בכול אחד מהאוטובוסים היה שווה.
כמה תלמידים יש בכול אוטובוס עכשיו?
כמה תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון?

פתרון

פתרון תרגיל 8 בבעיות אחוזים
פתרון תרגיל 8 בבעיות אחוזים

x מספר התלמידים באוטובוס השני.
30x / 100 ) = 0.3x) החלק מהתלמידים שמציעים שיעבור לאוטובוס הראשון.
מספר התלמידים באוטובוס הראשון 56 פחות X

המשוואה היא (שימו לב שהחלק שיורד מהאוטובוס השני מתווסף לאוטובוס הראשון):

בניית משוואה

x – 0.3x = 56 – x +0.3x
0.7x = 56 -0.7x  / +0.7x
1.4x = 56  /:1.4
x = 40

40 תלמידים יש באוטובוס השני.
16 = 40 – 56 זה מספר התלמידים באוטובוס הראשון.

חלק שני
30% מתוך 40 הנוסעים באוטובוס השני אמורים לעבור.
12 = 40 * (30/100)

תשובה: 12 תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון.

תרגיל 10 (התייקרות כפולה)

מחיר זוג נעליים עלה ב-15% ולאחר מיכן ירד ב- 20%.
אם המחיר לאחר השינויים הוא 184 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הנעליים?

פתרון

נגדיר
x  המחיר ההתחלתי של הנעליים בשקלים.
מכוון שהייתה עליה של 15% הכפלה ב 1.15 תבטא את העליה הזו.
מכוון שהייתה ירידה של 20% הכפלה ב 0.8 תבטא את הירידה הזו.

184 = 0.8 * 1.15 * x
0.92x = 184  /:0.92
x = 200

תשובה: המחיר ההתחלתי של הנעליים הוא 200 שקלים.

הערה: אם אתם מעדיפים לעבוד עם מספרים של 115% ו 80% ניתן לפתור את השאלה גם בעזרת התרגיל:

אפשרות אחרת לפתרון התרגיל

תרגיל 11

למחיר ספר הוסיפו 16 שקלים. לאחר מיכן הוזילו את הספר ב- 25%. שבוע אחרי המחיר עלה ב-50% ולאחר עוד שבוע ירד ב- 20 שקלים. מצאו את המחיר ההתחלתי של הספר אם ידוע שמחירו הסופי הוא 88 שקלים.

פתרון

החלק הראשון: הגדרות לפני בניית המשוואה.

פתרון תרגיל

ואנו יודעים ששורה מספר 5 שווה ל 88 לכן המשוואה היא:

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר המקורי של הספר הוא 80 שקלים.

זהו. מספיק :)
סיימתם את הדף ואם גם פתרתם את התרגילים, כל הכבוד!
בהמשך הדף נספח המציג בעיות פשוטת של הנחה והתייקרות.

נספח: הסבר לבעיות פשוטות של הנחה והתייקרות

בבעיות הנחה והתייקרות עלינו לשים לב למספר דברים:

1.כאשר מחיר עולה ב 20% המחיר החדש הוא 120% מהמחיר המקורי.
כאשר המחיר יורד ב 15% המחיר הוא 85% מהמחיר המקורי.

2. בשאלות קשות יותר יש לבצע חישוב מקדים.
למשל, מחיר חולצה הוא 80 שקלים ועלה ל 90 שקלים. בכמה אחוזים המחיר עלה?
פתרון
השאלה היא על ה 10 שקלים של העליה.
עלינו לחשב כמה אחוזים זה 10 מתוך 80.
12.5 = 100 * (10/80).

10 מתוך 80 הם 10/80 * 100 = 12.5%

דוגמאות לתרגילים בסיסיים

שלושת התרגילים הראשונים לא דורשים שימוש במשתנה.

תרגיל 1

מחיר ספר 60 שקלים. מחירו עלה ב- 20% מה מחירו החדש?

פתרון

המחיר החדש הוא 120% מהמחיר המקורי.
השבר המייצג את 120% הוא:
1.2 = 120/100

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר החדש של הספר 72 שקלים.

תרגיל 2

מחיר ספר 60 שקלים. המחיר ירד ב 10%.

  1. מה המחיר חדש?
  2. בכמה המחיר ירד?

פתרון

המחיר החדש הוא 90% מהמחיר המקורי.
השבר המבטא את 90% הוא:
0.9 = 90/100

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר החדש של הספר הוא 54 שקלים.
ולכן המחיר ירד ב 6 שקלים.

תרגיל 3 (שונה משני הראשונים)

מחיר ספר 50 שקלים ולאחר הנחה מחירו 47 שקלים.
מה אחוז ההנחה?

פתרון

ההנחה היא של 3 שקלים.
החלק של ההנחה מהמחיר הכולל הוא 3/50
על מנת להפוך את החלק של ההנחה לאחוזים נכפיל ב 100.

פתרון התרגיל

תשובה: 6% הנחה.

 הנחה והתייקרות כפולים

כאשר מחיר של מוצר משתנה פעמיים אתם עושים בדיוק את אותה פעולה שהייתם עושים בבעיות שבהם יש עלייה או התייקרות אחת.
בדיוק אותה פעולה – רק עושים אותה פעמיים.
למשל:
מחיר חגורה הוא 50 שקלים. המחיר עולה ב 40% ולאחר מיכן יורד ב 20%. מה המחיר הסופי של חגורה.
פתרון
כאשר מחיר עולה ב 40% מה אתם עושים כדי לדעת את המחיר החדש? מכפילים ב 140:100 = 1.4.
כאשר מחיר יורד ב 20% מה אתם עושים? מכפילים ב 80:100 = 0.8.
לכן כדי לפתור את התרגיל הזה נעשה את שתי הפעולות:
56 = 0.8 * 1.4 * 50
תשובה: המחיר הסופי הוא 56 שקלים.

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “בעיות אחוזים כיתה ח

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.