בעיות אחוזים כיתה ח

בדף זה נלמד כיצד פותרים בעיות מילוליות בנושא אחוזים ברמה של כיתה ח.

בדף ארבעה חלקים:

  1. חזרה על שלושת הסוגים של בעיות האחוזים – בעיות שנלמדו בכיתה ו.
  2. דברים תאורטיים שתלמידי כיתה ח צריכים לדעת.
  3. כיצד לפתור בעיות של הוזלה / התייקרות כפולים באחוזים.
  4. 15 בעיות אחוזים עם פתרונות מלאים. זה עיקר הדף. בעיות מגוונות מסוגים שונים.

1. חזרה: שלושת הסוגים הבסיסיים של בעיות אחוזים

1.מציאת חלק מתוך שלם; למשל כמה הם 40% מ 30?
פתרון: מכפילים את החלק כשהוא "מתורגם" לשבר בשלם.
12 = 30 * (40/100)

2. הפיכת חלק לאחוז; למשל על המדף 8 כוסות. ל 3 מתוכם יש ידית. לאיזה אחוז מהכוסות יש ידית?
פתרון: הופכים את החלק לשבר ואז מכפילים ב 100 על מנת להפוך לאחוז.
37.5% = 100 * (3/8).

3. נתון גודל של חלק מהקבוצה. צריך למצוא את גודל הקבוצה כולה; למשל ¾ מהתלמידים בכיתה שהם 24 תלמידים מגיעים עם תיק כבד לבית הספר. כמה תלמידים בכיתה?
הפתרון: מכפילים את המספר (24) בהופכי של השבר.
32 = (4/3) * 24.

  • פירוט של כל הנושאים הללו תוכלו למצוא בסרטון או אם אתם רוצים טקסט בדף אחוזים כיתה ו.

2. דברים תאורטיים שתלמידי כיתה ח צריכים לדעת על אחוזים

1.אחוזים הם סוג של שבר. על מנת להכניס אותם למשוואה יחד עם מספרים צריך להפוך אותם למספר על ידי חלוקה ב 100.
למשל 70%  ⇐ 0.7

2. כאשר יש עליה 30% במחיר מוצר מחיר המוצר החדש הוא 130% מהמחיר ההתחלתי.
במקום להכפיל את מחיר המוצר ב 130/100 ניתן להכפיל ב 1.3.

3. כאשר מחיר עובר מספר שינויים באחוזים סדר השינויים לא משנה.
מוצר שעלה ב 40% ולאחר מיכן ירד ב 10% יגיע לאותו מחיר גם אם ירד ב 10% ולאחר מיכן יעלה ב 40%.
x * 1.4 *0.9= 1.26x   ⇐  קודם עלייה ואז ירידה.
x * 0.9 * 1.4 = 1.26x   ⇐  קודם ירידה ואז עלייה.

4. כאשר מוצר עולה ויורד באותו אחוז תמיד מחירו הסופי יהיה נמוך יותר ממחירו ההתחלתי.
למשל מחיר מוצר שעלה ב 10% ואז ירד ב 10% יהיה נמוך יותר מהמחיר ההתחלתי של אותו מוצר.
x * 1.1 * 0.9 = 0.99x

פירוט נוסף בוידאו.

3. שינוי של מאות אחוזים

שינויים של מאות אחוזים לפעמים גורמים לבלבול.
למשל.
מחיר מוצר הוא 100 שקלים.
מחיר מוצר אחר הוא 300 שקלים.
בכמה אחוזים גבוה המחיר של המוצר השני?

פתרון
יש כאלו שיגידו: מחיר המוצר הוא פי 3 ולכן מחירו גבוה ב 300%.
לעומת זאת אנחנו נפתור את השאלה בעזרת חישוב.

המחיר גבוה ב 200 שקלים.
200/100 זה השבר המבטא את ההפרש של המחירים ביחס למחיר המוצר הראשון.
על מנת להפוך את השבר לאחוזים נכפיל את השבר פי 100.

תשובה: מחיר המוצר שמחירו 300 גדול ב 200% ממחיר המוצר שמחירו 100.

  • שאלות 13-15 בהמשך הדף הן בנושא זה.

3. בעיות הוזלה והתייקרות כפולה

מצורפים שני סרטונים.
הסרטון הראשון מסביר כיצד פותרים בעיות עם הוזלה / התייקרות כפולים. הסרטון מסביר שני סוגי שאלות: שאלות בהן המחיר ההתחלתי ידוע ושאלות בהן המחיר ההתחלתי לא ידוע.
הסרטון השני עונה על שלוש שאלות ששואלים (במבחנים) על הוזלה והתייקרות כפולים.

הסבר כיצד לפתור תרגילי הוזלה / התייקרות כפולים באחוזים
הסבר לשאלות תאורטיות ששואלים על הוזלה / התייקרות כפולים

עוד באתר:

4. תרגילים לכיתה ח

15 תרגילים מגוונים המתאימים לכיתה ח.
ל 5 תרגילים יש גם פתרונות וידאו.

התרגילים כולם בינוניים – קשים. אבל יש קשים יותר ויש פחות
תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 4-8 באמצע.
תרגילים 9-14 קשים.
תרגילים 15-17 הם בנושא שינוי של מאות אחוזים.

תרגיל 1
מחיר ספר לאחר עלייה של 30% במחיר הוא 52 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הספר?

פתרון

x המחיר ההתחלתי של הספר בשקלים.
130/100 השבר המבטא את השינוי באחוזים.

1.3x = 52  / :1.3

1.3x = 52  / :1.3
x = 40

תרגיל 2
מחיר כרטיס קולנוע עלה מ 40 ל 45 שקלים.

  1. בכמה אחוזים המחיר עלה?
  2. לאחר מיכן המחיר ירד ל 42 שקלים. בכמה אחוזים המחיר ירד?

פתרון

המחיר עלה ב 5 שקלים.
יש לחשב את אחוז העליה מתוך המחיר שלפני השינוי והוא 40 שקלים.

פתרון התרגיל

המחיר עלה ב 12.5%.

חלק שני
המחיר ירד ב 3 שקלים.
יש לחשב את אחוז השינוי מתוך המחיר ממנו הייתה הירידה (45).

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר ירד ב 6.66%.

תרגיל 3
מחיר מחברת גדול ב 30% ממחיר עיפרון.
מחברת ועיפרון עולים ביחד 18.4 שקלים.
כמה עולה מחברת וכמה עולה עיפרון?

פתרון

x מחיר עיפרון.
מחיר מחברת גדול ב 30% לכן מחיר המחברת הוא:

1.3x

סכום המחירים של מחברת ועיפרון הוא 18.4 ולכן המשוואה היא:

x+ 1.3x = 18.4
2.3x = 18.4  / :2.3
x = 8
10.4 = 8 – 18.4

תשובה: מחיר העיפרון 8 שקלים ומחיר המחברת 10.4 שקלים.

תרגיל 4
בחנות הכריזו על על מבצע של 30% על כל החנות.
על מיקרוגל ניתנה הנחה של 48 שקלים.
מה תהיה ההנחה על מוצר הכפול במחירו מהמיקרוגל?

פתרון
כאשר מכפילים את מחירו של מוצר ומשאירים את אחוז ההנחה אותו הדבר אז גם גודל ההנחה בשקלים מוכפל.
לכן ההנחה תהיה:
96 = 2 * 48.

ניתן להוכיח זאת בדרך הבאה.
נניח שמחיר מוצר הוא x ויש עליו הנחה של 30%.
מה גודל ההנחה?

כאשר נכפיל את מחיר המוצר המחיר יהיה 2x.
וגודל ההנחה תהיה:

אנו רואים שההנחה בשקלים גדלה פי 2. מ 0.3x ל 0.6x.

תרגיל 5
בכיתה יש שתי קבוצות: אלו שמגיעים ברגל לבית הספר ואלו שנוסעים לבית ספר.
קבוצת הנוסעים גדולה ב- 25% מקבוצת ההולכים.
בסך הכל יש 36 תלמידים בכיתה.
מצאו כמה תלמידים הולכים וכמה נוסעים לבית ספר.

פתרון

x  מספר התלמידים שהולכים ברגל.
1.25x מספר התלמידים המגיעים במכונית.

סך הכל יש 36 תלמידים לכן המשוואה היא:
x + 1.25x = 36
2.25x = 36  /:2.25
x = 16

תשובה: מספר ההולכים ברגל הוא 16 תלמידים, מספר המגיעים ברכב הוא 20 תלמידים.

תרגיל 6
נתון ריבוע שהגדילו את שתי צלעות נגדיות שלו ב 20% והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הנוספות ב 20%.

  1. האם היקף המלבן שנוצר גדול או קטן מהיקף הריבוע המקורי?
  2. האם שטח המלבן גדול או קטן משטח הריבוע המקורי?

פתרון

נגדיר את צלע הריבוע כ x ס"מ.

היקף הריבוע הוא 4x.
שטח הריבוע הוא x².

אורך צלעות המלבן  החדש שנוצר הוא 0.8x,  1.2x.

היקף המלבן: 0.8x + 0.8x + 1.2x + 1.2x= 4x
שטח המלבן: 0.8x * 1.2x = 0.96x²

4x = 4x  ההיקפים שווים.
0.96x² < x²  שטח המלבן קטן יותר.

תשובה: היקף הריבוע שווה להיקף המלבן. שטח הריבוע גדול משטח המלבן.

שרטוט התרגיל, אחוזים

תרגיל 7
40% משטח גינה הם דשא ו- 30% משטח הגינה הם עצים. בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים.
מה גודל שטח הדשא בגינה? מה גודל הגינה?

פתרון בדרך "מקוצרת"
פער של 10% הוא פער של 15 מטר.
לכן 40% הם 4*15 = 60 מטר. זה שטח הדשא.
15*10 = 150 מטר. זה שטח הגינה כולה.

פתרון בדרך רגילה:
x   שטח הגינה.
0.4x  שטח הדשא.
0.3x  שטח העצים

המשוואה היא:
0.3x + 15 = 0.4x   / – 0.3x
0.1x = 15  / *10
x = 150  זה שטח הגינה.

60 = 150 * 0.4   זה שטח הדשא.
תשובה: שטח הדשא הוא 60 מטר רבוע.

תרגיל 8
בשכבת כיתה ח 3 כיתות.
בכיתה ח1 35 תלמידים. בכיתה ח3 מספר התלמידים גדול פי 2 ממספר התלמידים בכיתה ח2.
אם מגדילים את מספר התלמידים בכיתה ח2 ב 20% מספר התלמידים בשכבת כיתה ח יהיה 115.
(מגדלים את מספר התלמידים ב- ח2 מבלי לשנות את מספר התלמידים ב- ח3).

כמה תלמידים יש עכשיו (ללא ההגדלה) בכיתות ח2 ו ח3?

פתרון

35 מספר התלמידים בכיתה ח1.
x מספר התלמידים עכשיו בכיתה ח2.
2x מספר התלמידים בכיתה ח3.

לאחר התוספת מספר התלמידים בכיתה ח2 יהיה:

1.2x

1.2x מספר התלמידים בכיתה ח2 לאחר השינוי.

אנו יודעים שסכום התלמידים בשלושת הכיתות לאחר השינוי הוא 115 ולכן המשוואה היא:

1.2x + 2x + 35 = 115  / -35
3.2x = 80  /:3.2
x = 25

תשובה: בכיתה ח2 25 תלמידים לפני השינוי. בכיתה ח3 50 תלמידים.

תרגיל 9
בחממה יש 800 פרחים.
לבנים או צהובים.
יום אחד נמכרו 40% מהלבנים ו 60% מהצהובים.
סך הכל נמכרו יותר 20 פרחים לבנים.
חשבו כמה פרחים לבנים וצהובים היו בחממה לפני המכירה.

פתרון
נגדיר
x מספר הפרחים הלבנים שהיו בחממה.
y מספר הפרחים הצהובים שהיו בחממה.

x + y = 800
x = 800 – y
(משוואה 1)

מספר הפרחים שנמכרו:
0.4x אלו הפרחים הלבנים שנמכרו
0.6y אלו הפרחים הצהובים שנמכרו.

נמכרו 20 לבנים יותר לכן המשוואה היא:
0.6y + 20 = 0.4x
(משוואה 2)

נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
(0.6y + 20 = 0.4(800 – y
0.6y + 20 = 320 -0.4y  / -20 + 0.4y
y = 300

x = 800 – y
x = 800 – 300 = 500
תשובה: בחממה לפני המכירה היו 500 פרחים לבנים ו 300 פרחים צהובים.

תרגיל 10
בחנות ממתקים שבה 600 מוצרים 30% מהמוצרים הם שוקולד.
בכמה צריך להגדיל את מספר מוצרי השוקולד על מנת שיהיו 50% ממוצרי החנות.

פתרון
צריך לשים לב שכאשר מגדילים את מספר מוצרי השוקולד גם המספר הכללי של המוצרים בחנות עולה.

המספר ההתחלתי של מוצרי השוקולד בחנות הוא 30% מתוך 600.
180 = 600 * (30/100)

x   מספר מוצרי השוקולד שצריך להוסיף על מנת שמספרם יהיה חצי ממספרם בחנות.
x + 180   מספר מוצרי השוקולד לאחר השינוי.
x + 600   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי.
2x + 360   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי (תיאור זה נובע מכך שלאחר השינוי מספר המוצרים בחנות כפול ממספר מוצרי השוקולד).

בעזרת שתי השורות האחרונות נבנה משוואה.
כל צד במשוואה מתאר בדרך אחרת את מספר המוצרים בחנות.
2x + 360 = x+ 600  /-x-360
x = 240

תשובה: צריך להוסיף 240 מוצרי שוקולד למוצרי החנות.

תרגיל 11 (קבוצה גדלה וקבוצה קטנה)
56 תלמידים יצאו לטיול בשני אוטובוסים.
אם 30% מהנוסעים מהאוטובוס השני היו עוברים לאוטובוס הראשון מספר התלמידים בכול אחד מהאוטובוסים היה שווה.
כמה תלמידים יש בכול אוטובוס עכשיו?
כמה תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון?

פתרון

x מספר התלמידים באוטובוס השני.
30x / 100 ) = 0.3x) החלק מהתלמידים שמציעים שיעבור לאוטובוס הראשון.
מספר התלמידים באוטובוס הראשון 56 פחות X

המשוואה היא (שימו לב שהחלק שיורד מהאוטובוס השני מתווסף לאוטובוס הראשון):

בניית משוואה

x – 0.3x = 56 – x +0.3x
0.7x = 56 -0.7x  / +0.7x
1.4x = 56  /:1.4
x = 40

40 תלמידים יש באוטובוס השני.
16 = 40 – 56 זה מספר התלמידים באוטובוס הראשון.

חלק שני
30% מתוך 40 הנוסעים באוטובוס השני אמורים לעבור.
12 = 40 * (30/100)

תשובה: 12 תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון.

תרגיל 12 (התייקרות כפולה)
מחיר זוג נעליים עלה ב-15% ולאחר מיכן ירד ב- 20%.
אם המחיר לאחר השינויים הוא 184 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הנעליים?

פתרון
נגדיר
x  המחיר ההתחלתי של הנעליים בשקלים.
מכוון שהייתה עליה של 15% הכפלה ב 1.15 תבטא את העליה הזו.
מכוון שהייתה ירידה של 20% הכפלה ב 0.8 תבטא את הירידה הזו.

184 = 0.8 * 1.15 * x
0.92x = 184  /:0.92
x = 200

תשובה: המחיר ההתחלתי של הנעליים הוא 200 שקלים.

הערה: אם אתם מעדיפים לעבוד עם מספרים של 115% ו 80% ניתן לפתור את השאלה גם בעזרת התרגיל:

אפשרות אחרת לפתרון התרגיל

תרגיל 13 (התייקרות והנחה כפולים כאשר לא ידוע האחוז).
מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב x אחוזים ולאחר מיכן ירד באותו מספר אחוזים.
המחיר הסופי של החולצה לאחר שני השינויים הוא 54.6 שקלים.
מצאו את אחוז העלייה והירידה של החולצה.

פתרון
אם מחיר החולצה היה עולה ב – 10% היינו כותבים שהמחיר לאחר עליה אחת הוא

אז כאשר המחיר עולה ב x אחוזים נרשום x במקום ה- 10 ונקבל:

עבור עלייה וירידה ב x אחוז נרשום:

המכנה המשותף הוא:
10,000 = 100 * 100
נכפיל ב: 10,000 ונקבל:

נפתח סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b² = (a + b) * (a – b

כמו כן נחלק את שני צדדי המשוואה ב- 60 ונקבל:

x² -900 = 0
x² = 900
x = 30 או x= -30
מכוון ש x מוגדר כאחוז עלייה הפתרון המתאים הוא x = 30.

תרגיל 14
למחיר ספר הוסיפו 16 שקלים. לאחר מיכן הוזילו את הספר ב- 25%. שבוע אחרי המחיר עלה ב-50% ולאחר עוד שבוע ירד ב- 20 שקלים. מצאו את המחיר ההתחלתי של הספר אם ידוע שמחירו הסופי הוא 88 שקלים.

פתרון

החלק הראשון: הגדרות לפני בניית המשוואה.

פתרון תרגיל

ואנו יודעים ששורה מספר 5 שווה ל 88 לכן המשוואה היא:

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר המקורי של הספר הוא 80 שקלים.

תרגילים המבטאים שינוי של מאות אחוזים

תרגיל 15
מחיר מוצר הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב 300%.
מה המחיר החדש של המוצר?

פתרון
נחשב את עליית המחיר של המוצר.

מחיר המוצר עלה ב 180 שקלים.
לכו מחירו החדש:
240 = 180 + 60
תשובה: המחיר החדש הוא 240 שקלים.

תרגיל 16
מחיר מוצר עלה עלה ב 500% ועכשיו מחירו 4200 שקלים.
מה היה מחיר המוצר לפני עליית המחיר?

פתרון
נגדיר:
x המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.
עליה של 500% היא עלייה של 5x.

לכן המחיר לאחר העלייה הוא:
x + 5x = 6x

המחיר לאחר העלייה הוא גם 4200 שקלים.
לכן המשוואה היא:
6x = 4200 / :6
x = 700

תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 700 שקלים.

תרגיל 17
היחס בין מחירי שני מוצרים הוא 2:5
בכמה אחוזים גדול מחיר המוצר היקר ממחיר המוצר הזול?

פתרון
נגדיר את המחיר של שני המוצרים בעזרת x ואז נחשב את אחוז ההפרש במחיר.
2x מחיר המוצר הזול.
5x מחיר המוצר היקר

ההפרש במחיר של שני המוצרים הוא 3x.
נבדוק מה גודלו של הפרש זה באחוזים.
3x/2x זה השבר המבטא את ההפרש.

תשובה: מחיר המוצר היקר גדול ב 150% ממחיר המוצר הזול.

זהו. מספיק :)
סיימתם את הדף ואם גם פתרתם את התרגילים, כל הכבוד!

עוד באתר:

  1. מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
  2. חישוב בעל פה של אחוזים – ללא דף ונייר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

באתר זה פועל צ'אט! (אנושי)
ימים א-ה 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר.

10 thoughts on “בעיות אחוזים כיתה ח

  1. אסתי

    דבר ראשון האתר הזה מהמם!! כל הכבוד
    למעלה כתבת על 3 הדרכים הדרך השלישית גם על אחוזים?אפשר לראות דרך
    תודה

  2. לוי.ב

    אתר מעולה!.
    אשמח אם תוכלו לעזור לי בשאלה באחוזים שיש לי, לצערי הנושא הזה ממש מבלבל אותי…
    (השאלה עצמה הוסרה מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום לוי
      אתה צריך להגדיר את מחיר הכיסא והשולחן לפני עליית המחירים ואחרי עליית המחירים באמצעות משתנה אחד.
      נסה לעשות זאת לפני שאתה קורא את התשובה.

      x מחיר שולחן
      x – 300 מחיר כיסא

      0.8x מחיר שולחן לאחר ירידה של 20%.
      x – 300)*1.2) מחיר כיסא לאחר עליה של 30%

      המחירים שווים, לכן המשוואה היא:
      (0.8x = 1.2 (x -300
      פותרים ומגיעים לתשובה.
      בהצלחה.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום לים
      x מחיר הטלפון הזול.
      x + 30 מחיר הטלפון הבינוני.
      x + 30) *1.4) מחיר הטלפון היקר.
      כך הגדרנו את שלושת המחירים באמצעות משתנה אחד x.

      סכום המחירים הוא 344. לכן המשוואה היא:
      x + x+ 30 + 1.4(x + 30) = 344
      פותרים את המשוואה ומוצאים כמה עולה כל אחד מהטלפונים.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.