תיכון במשולש

בדף זה:

  1. תיאוריה שצריך לדעת.
  2. תרגילים עם פתרונות מלאים.
  3. דפים נוספים באתר:
    משולש – הדף המרכזי הכולל מידע + קישורים על נושאים רבים.
    תיכון במשולש ישר זווית.
    חפיפת משולשים – מידע ותרגילים.
    משולש ישר זווית – מידע ותרגילים.
    מתמטיקה לכיתה ח – סיכום חומר הלימודים + תרגילים עם פתרונות מלאים.

1. תיאוריה שצריך לדעת

1.תיכון – קטע המחבר את קודקוד המשולש עם אמצע הצלע שמולו.

אם מבקשים ממכם להוכיח שקטע הוא תיכון עליכם להוכיח שהוא חוצה את הצלע ל- 2.

תיכון במשולש

2. לכול משולש 3 תיכונים והם נפגשים בנקודה אחת.

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

3. תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווה שטח.

תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח

הדבר נובע מכך שעבור המשולשים ADC ו- ADB. הבסיס שווה באורכו BA=DC וגם הגובה לבסיס הוא אותו גובה (AE משמש כגובה לבסיס עבור שני המשולשים).
ומכוון שהשטח הוא מכפלת הגובה בבסיס חלקי שתיים שטח המשולשים שווה.

SABD = SACD

שטח שני המשולשים הנוצרים על ידי תיכון שווה

2. משפטים בנושא תיכון במשולש

לתיכון במשולש יש שני משפטים בולטים:

  1. שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
  2. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
    (וגם להפך: אם התיכון ליתר שווה למחצית היתר אז המשולש ישר זווית).

שרטוט של שני המשפטים

3. תרגילים עם פתרונות מלאים

 

תרגיל 1

במשולש ABC נתון כי AD תיכון לצלע BC.
כמו כן BC=AB, BD=4 ס"מ.
מצאו את אורך הצלע AB.

שרטוט השאלה

פתרון
1. BD=CD=4 ס"מ – נתון AD תיכון.
2. BC=BD+CD=4+4=8.
3. AB=BD=8 – נתון. הוכחנו את הדרוש.

תרגיל 2

במשולש ABC הישר BD הוא תיכון לצלע AC.
והישר BE הוא תיכון לצלע DC.
AC= 12 ס"מ.

  1. חשבו את אורך הקטע DE.
  2. איזה חלק הוא שטח משולש BEC משטח משולש ABC?

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. DC = AC :2 = 6   – תיכון מחלק צלע לשני חלקים שווים.
  2. DE = CD :2 = 3   – תיכון מחלק צלע לשני חלקים שווים.
    תשובה: DE=3 ס"מ.

חלק שני

  1. BD הוא תיכון במשולש ABC ולכן מחלק את שטח משולש ABC לשני חלקים שווים.
  2. BE הוא תיכון במשולש BDC ולכן מחלק את שטחו לשני חלקים שווים.
  3. כלומר אם שטח משולש BEC הוא X אז גם שטח משולש BED הוא X ושטח משולש BAD הוא 2X.
  4. לכן שטח משולש BEC הוא רבע משטח משולש ABC.

תרגיל 3

נתון משולש ABC שבו AB= 7 ס"מ ו AC = 4 ס"מ.
AD הוא התיכון לצלע BC.
מה הקשר בין היקף משולש ADC להיקף משולש ADB?

שרטוט התרגיל

 

פתרון

היקף משולש ABD הוא:
7 + BD + AD
היקף משולש ACD הוא:
4 + CD + AD
מכוון ש CD=BD אז ההפרש בין היקפי המשולשים הוא 3 ס"מ.
תשובה: היקף משולש ABD גדול ב 3 ס"מ מהיקף משולש ACD.

תרגיל 4

במשולש ABC הישר AD הוא הגובה לצלע BC.
CE הוא התיכון לצלע AB.
AD =4, BC=9 ס"מ.
חשבו את שטח משולש CEB.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נחשב את שטח משולש ABC:
    18 = 2 : (9*4)
    18 סמ"ר.
  2. תיכון חוצה משולש לשני משולשים שווה שטח. לכן CE חוצה את שטח משולש ABC לשני משולשים ששטחם שווה.
    SCEB  = 18:2 = 9
    תשובה: שטח משולש CEB הוא 9 סמ"ר.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.