פונקציה קווית כיתה ח

דף זה כולל 10 תרגילים מסכמים של החומר עבור תלמידי כיתה ח, וגם תלמידים גדולים יותר.

על מנת לפתור את התרגילים הללו עליכם ללמוד למצוא משוואת פונקציה קווית, נקודות חיתוך ועוד.
על מנת להקטין את העומס על הדף כל הדברים הללו יצאו מהדף ואתם יכולים ללמוד אותם דרך הדף קורס פונקציה קווית הכולל את כל הטכניקות שאתם צריכים לגעת על מנת לפתור שאלות בנושא.

10 תרגילים מסכמים של החומר

תרגילים המיועדים לאלו שיודעים את החומר ורוצים לחזור עליו.

התרגילים מחולקים לנושאים שונים, הנושא מופיע בכותרת התרגיל, ועוברים על הרוב המוחלט של החומר הנלמד.

למרבית התרגילים פתרונות וידאו המופיעים לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1: בנושא קצב השינוי, נקודות שעל הגרף, שרטוט גרף

נתונה פונקציה קווית y = 3x – 3.

  1. מה קצב השינוי של הפונקציה.
  2. שרטטו טבלה עם 3 נקודות שעל הפונקציה.
  3. מה ערך הפונקציה כאשר x = 0?
  4. מה הערך של x כאשר y =0 ?
  5. האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
  6. שרטטו גרף של הפונקציה (אם לא למדתם תלמדו בהמשך).

פתרון

1.הנוסחה של משוואת הישר היא y = mx + n
המקדם של x שהוא m מייצג את קצב השינוי.
קצב השינוי הוא 3, m = 3.

2. נבחר  את הנקודות x=0,1,2 כי הן קלות.
נציב כל אחת מהנקודות הללו במשוואת הישר.
y =3x – 3
כאשר x = 0 ערך ה y הוא:
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

כאשר x = 1
y = 3 * 1 – 3 = 3 – 3 = 0
הנקודה: 1,0

כאשר x = 2
y = 3 * 2 -3 = 6 – 6 = 3
הנקודה 3, 2

שלושת הנקודות הללו בטבלה נראות כך:

2 1 0 x
3 0 3- y

3. על מנת למצוא את ערך הפונקציה הקווית כאשר y=0 נציב y=0 במשוואת הפונקציה y = 3x – 3.
3x -3 = 0  / +3
3x = 3  /:3
x = 1
תשובה: כאשר y= 0 אז x = 1.

5. האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
כלומר דרך הנקודה 0,0.
נציב 0,0 במשוואת הפונקציה ונראה.
0 = 3 – 3*0
0 = 3-
זה לא נכון ולכן הפונקציה אינה עוברת דרך ראשית הצירים.

6. שרטוט גרף הפונקציה.

  1. נשים 3 נקודות מהטבלה על גרף.
  2. ואז נחבר בניהן באמצעות קו (ונמשיך את הקו גם מעבר להן). זה גרף הפונקציה.
2 1 0 x
3 0 3- y
נשים את שלושת הנקודות שמצאנו בטבלה על מערכת צירים והקו העובר בניהן הוא גרף הישר

נשים את שלושת הנקודות שמצאנו בטבלה על מערכת צירים והקו העובר בניהן הוא גרף הישר

תרגיל 2: מעבר בין משוואה לגרף

נתונה הפונקציה הקווית y = -2x + 3.

  1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y (מסומנת בשרטוט כנקודה A).
  2. על ציר ה y  נמצאת הנקודה (B (0, -4. חשבו את המרחק בין הנקודות A ו B.
  3. דרך הנקודה B מעבירים ישר המקביל לציר ה x . מצאו מה ערכי הנקודה שבה הישר המקביל את הפונקציה הקווית y = -2x + 3 (הנקודה C שבגרף).
  4. חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א: מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה y.
מציבים x = 0 במשוואת הפונקציה.
y = -2x + 3.
y = -2*0 +3 = 3
(A (0, 3

סעיף ב: חישוב מרחק
(B (0, -4
לכן אורכו של AB הוא
7 = (4-) – 3

סעיף ג: מציאת הנקודה C.
ישר המקביל לציר ה x הוא ישר עם ערך  y קבוע לכול אורכו.
בנקודה B מתקיים y = -4 ולכן גם בנקודה C מתקיים y = -4.

נציב y= -4 במשוואת הישר ונקבל את ערך ה x בנקודה C.
2x + 3 = -4  / -3-
2x = -7  /:2-
x = 3.5
תשובה: הנקודה (C (3.5, -4

סעיף ד: חישוב שטח משולש
מצאנו בסעיף ב שאורך הצלע AB הוא 7.
המרחק בין הנקודות (B (0, -4  ו (C (3.5, -4 הוא:
3.5 = 0 – 3.5

שטח המשולש הוא:
= 2 : (7 * 3.5)
12.25 = 2 : 24.5
תשובה: שטח המשולש הוא 12.25 יחידות ריבועיות.

תרגיל 3: בנושא משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, שיפוע ישרים מקבילים

  1. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (2,4-) ושיפועו 1-.
  2. מה משוואת הישר המקביל לישר שמצאתם בסעיף 1 ועובר דרך הנקודה 0,0.

פתרון

נציב את הנתונים במשוואה:
(y – y1 = m(x-x1

((y – 4 = -1(x-(-2
(y-4 = -1(x+2
y -4 = -x -2  / +4
y = -x +2

חלק 2
שיפוע ישרים מקבילים שווה.
לכן שיפוע הישר המקביל 1-.
והוא עובר דרך 0,0.
זה למעשה עוד תרגיל של מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

(y – y1 = m(x-x1
(y – 0 = -1(x-0
y = -x

הגרף של שני הישרים נראה כך:

הגרפים של הישרים

תרגיל 4: משוואת ישר על פי שתי נקודות

  1. מצאו את משוואת הישר העובר
    דרך הנקודות (1,0) (3, 2-).
  2. מה קצב ההשתנות של ישר זה?
  3. מהסתכלות במשוואת הישר בלבד.
    מה היא נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר ה Y?

פתרון

שיפוע ישר על פי שתי נקודות נתון על ידי הנוסחה

נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:

השיפוע הוא 1-

עכשיו נמצא משוואת ישר על פי נקודה (0, 1) ושיפוע 1-.
(y – y1 = m(x-x1
(y – 0 = -1(x-1
y = -x +  1

חלק שני
במשוואת ישר סטנדרטית קצב ההשתנות או השיפוע הם המקדם של x.
במקרה הזה 1-.

הערה: משוואת ישר סטנדרטית היא מהצורה
y = mx + n
והשיפוע / קצב ההשתנות הוא m.
משוואת ישר לא סטנדרטית היא כאשר המבנה הוא אחר, למשל:
y + 2x = 4
2y = 5x + 1
y – 1 = 2x
ואת המשוואות הללו יש להעביר למצב סטנדרטי על מנת למצוא את השיפוע.

חלק שלישי
ערך ה y בנקודת החיתוך עם ציר ה  y הוא n.
לכן נקודת החיתוך היא (1, 0).

תרגיל 5: מציאת נקודת החיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות

  1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם הצירים.
  2. מצאו את התחום שבו הישר חיובי והתחום שבו הישר שלילי.

פתרון

מציאת נקודות חיתוך
חיתוך של ישר עם ציר ה y מציבים x = 0
חיתוך של ישר עם ציר ה x מציבים  y =0

חיתוך עם ציר ה y
x = 0
y = 0.5*0 – 2 = -2
(2- , 0) נקודת החיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x
y=0
0.5x – 2 = 0  / +2
0.5x = 2  / *2
x = 4
(0,  4) נקודת חיתוך עם ציר ה x.

חלק שני: תחומי חיוביות ושליליות
הפונקציה חותכת את ציר ה x בנקודה (0,  4).
הפונקציה היא פונקציה עולה.
לכן הפונקציה חיובית כאשר x>4 ושלילית כאשר x<4.

שרטוט הישר y = 0.5x -2 ונקודות החיתוך של הישר עם הצירים

שרטוט הישר y = 0.5x -2 ונקודות החיתוך של הישר עם הצירים

תרגיל 6: הקשר שבין בעיה מציאותית לפונקציה קווית

שני פועלים מעמיסים שתי משאיות שונות. שתי המשאיות לא היו ריקות בזמן תחילת המילוי.
שתי פונקציות קוויות מתארות את כמות הארגזים בכול משאית כפונקציה של הזמן.
f (x ) = 20 + 3x  (פועל א).
g (x ) = 50 + 2x   (פועל ב).

  1. קצב המילוי של איזה פועל מהיר יותר?
  2. כמה ארגזים היו בכל אחת מהמשאיות כאשר הפועלים התחילו למלא?
  3. כעבר כמה זמן כמות הארגזים במשאיות תהיה שווה?

פתרון
קצב המילוי של פועל א מהיר יותר.
קצב המילוי נקבע על ידי המקדם של x. ואצל פועל א המקדם הוא 3 לעומת 2 אצל פועל ב.
למשל:
ב x = 5.
כמות הארגזים אצל פועל א היא:
35 = 5 * 3 + 20
ואצל פועל ב היא:
60 = 5 * 2 + 50

ב x = 6
אצל פועל א
38 = 6*3 + 20
ואצל פועל ב:
62 = 6 *2 + 50

כלומר לפועל א נוספו 3 ארגזים ולפועל ב נוספו 2 ארגזים.
קצב המילוי של פועל א גבוה יותר.

סעיף ב: מספר הארגזים לפני המילוי
על מנת למצוא את המספר ההתחלתי של הארגזים מציבים x = 0.
f (x ) = 20 + 3x
f (0 ) = 20 + 3*0 = 20

g (x ) = 50 + 2x
g (0) = 50 + 2*0 = 50

תשובה: מספר הארגזים לפני המילוי במשאית של פועל א היה 20.
ואצל פועל ב 50.

סעיף ג: כמות שווה
כמות השווה של הארגזים תהיה כאשר
(f (x) = g (x
3x + 20 = 2x + 50  / -2x – 20
x = 30
בזמן x=30 כמות הארגזים בשתי המשאיות תהיה שווה.

תרגיל 7: בניית פונקציה קווית על פי נתונים

בפארק שעשועים מחיר הכניסה לאתר הוא 20 שקלים
ולאחר מיכן צריך לשלם 15 שקלים עבור כל מתקן עליו עולים.
כתבו פונקציה קווית המתארת את הקשר שבין מספר
המתקנים שעליהם עולים לבין הסכום לתשלום

פתרון
אם x הוא מספר המתקנים עליו עולים.
אז 15x הוא הסכום שמשלמים עבור העליה למתקנים.
למי שזה לא ברור ניתן להסתכל הטבלה הבאה:

מספר המתקנים 1 2 3
הסכום לתשלום 15 30 45

20 שקלים לתשלום בכניסה.
סך הכל לתשלום 15x+20.
y=15x+20 – זו הפונקציה הקווית.

אם היה לכם קושי במציאת הפונקציה ניתן לבנות טבלה  ובעזרתה לבנות את הפונקציה.

מספר המתקנים עליהם עולים 1 2 3
הסכום לתשלום 35 50 65

דרך אחרת להבין את הפתרון
משוואת ישר נראית כך:
y = mx + n
הרכיב n הוא מספר קבוע שאינו משתנה ולכן מתאים להוצאה הקבועה של כניסה לפארק.
n = 20.
לעומת זאת mx הוא רכיב המשתנה כאשר x משתנה ולכן זה מתאים להוצאה המשתנה כאשר עולים על מספר שונה של מתקנים.
mx = 15x.
y = 15x + 20

הסבר מפורט לדרך זו בסרטון הוידאו.

תרגיל 8: בניית פונקציה קווית על פי טבלה

נתונות שתי טבלאות של ערכי x וערכי y.
ידוע כי הטבלאות הללו מייצגות פונקציה קווית.
התאימו לכל אחת מהטבלאות משוואה של פונקציה קווית.

טבלה ראשונה

x 2 4 10
y 10 11 14

טבלה שנייה

x 2- 2 5
y 0 10- 25-

פתרון

נבנה משוואת ישר עבור הטבלה הראשונה.

x 2 4 10
y 10 11 14

בניית משוואת ישר היא בעצם מציאת m,n במשוואה:
y = mx + n
m מבטא את השיפוע או קצב השינוי.
n הוא הערך של y כאשר x = 0.

מציאת m
אנו רואים שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x גדל ב 1 ערך ה y גדל ב 0.5.
קצב השינוי הוא 0.5
m= 0.5.

מציאת n
ערך ה n הוא ערך ה y כאשר x= 0.
כאשר x =2 אז y = 10.
לכן כאשר x = 0 אז y = 9.
n = 9.

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = 0.5x + 9

הטבלה השנייה.

x 2- 2 5
y 0 10- 25-

מציאת m
אנו רואים שכאשר ה x גדל ב 4 ערך ה y קטן ב 10.
לכן כאשר ערך ה x גדל ב 1 ערך ה y קטן ב 2.5.
2.5 – = 4 : 10-
לכן m = -2.5

מציאת n
עלינו למצוא את הערך של y כאשר x = 0.
כאשר x = -2 ערך ה y הוא 0.
לכן כאשר x = 0 ערך ה y הוא 5-.
n = -5

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = -2.5x – 5

תרגיל 9: אי שוויונית קווים, משמעות גרפית

נתונים הגרפים של הפונקציות
g (x)= -5x  ו   f(x) = -2x +2.

  1. מצאו את הנקודה A.
  2. עבור אלו ערכים (g(x) >f (x.
    הסבירו באמצעות גרף ולא באמצעות חישוב.

שרטוט גרפים

פתרון

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הגרפים נקודה זו  ערכי ה X וה Y שווים.
(f(x) = g (x
2x + 2 = -5x  / +2x –
3x = 2  / : -3-
x = – 0.666

מצאנו את ערך ה x בנקודה A. עכשיו עלינו למצוא את ערך ה y בנקודה:
y = -5 * -0.666 = 3.333

(A (-0.666, 3.333

חלק שני
בהתבוננות בגרף ניתן לראות שהגרף (g(x  נמצא מעל גרף (f(x משמאל לנקודת החיתוך A.
כלומר כאשר x< -0.666.

תרגיל 10: בעיה מילולית, בעיית גרף ופונקציה קווית

ברז א ממלא את בריכה א  וברז ב מרוקן את בריכה ב.
הגרף הבא מתאר את כמות המים בליטרים שיש בכול אחת מהבריכות כפונקציה של הזמן.

גרף מילוי וריקון הברזים.

  1. מה מתארות הנקודות A,B,C,D?
  2. מה הקצב שבו ברז א ממלא את הבריכה ומה הקצב שבו ברז ב מרוקן את הבריכה?
  3. בנו משוואת ישר המתארת את כמות המים בכול אחת מהבריכות.

פתרון

סעיף א

  1. A היא הנקודה שבה ברז א התחיל למלא את הבריכה.
  2. B היא הנקודה שבה כמות המים שבשתי הבריכות הייתה שווה.
  3. C היא הנקודה שבה ברז א סיים למלא 500 ליטרים בבריכה.
  4. D היא הנקודה שבה ברז ב סיים לרוקן את בריכה ב.

סעיף ב

ברז א ממלא 500 ליטרים תוך 3 שעות
לכן הקצב שבו הוא ממלא הוא
166.66 = 3 : 500
166.66 ליטרים בשעה.

ברז ב מרוקן 500 ליטרים תוך 5 שעות
לכן הקצב שבו הוא מרוקן הוא
100 = 5 : 500
100 ליטרים בשעה.

סעיף ג

3.  כמות המים בכול אחת מהבריכות מתוארת בגרף על יד קו ישר.
ניתן להגיד שהמשוואה של כל אחד מהישרים היא: y = mx + n.
כאשר y זו כמות המים בבריכה בכול זמן נתון (מתואר על ידי ציר ה y)
ו- x זה הזמן שעבר מתחילת מילוי / ריקון הבריכה (מתואר על ידי ציר ה x).

כאשר נציב זמן 0 (כלומר x= 0) במשוואת הישר נקבל:
y = m * 0 + n
y =n
נקודת החיתוך עם ציר ה y מייצגת את x =0, נקודת ההתחלה מבחינת הזמן.
לכן עבור בריכה א n =0 ועבור בריכה ב n = 500.

כמו כן השיפוע של הישר הוא קצב המילוי / ריקון של הבריכה.

בריכה א מתחילה מ 0 לכן n=0. השיפוע הוא קצב המילוי m=166.66. לכן y =116.66x.
בריכה ב מתחילה מ 500 לכן n=500. השיפוע הוא קצב המילוי לכן m= -100. (סימן המינוס מבטא את זה שהברז מרוקן). לכן y = -100 +500.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

10 thoughts on “פונקציה קווית כיתה ח

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      תודה מנחם. אני מעוניין לשפר את האתר.
      הסתכלתי בדף וראיתי מושג אחד שנראה בלשון "גבוהה" והוא קצב השינוי. האם אליו הכוונה? או שיש גם אחרים?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      תודה על השאלה.
      האם את / אתה יודעים שנקודת החיתוך של ישר עם ציר ה y היא בעצם ערך ה n במשוואה y = mx n?
      אם כן זו התשובה הקצרה לשאלה הזו. אם לא יש באתר דף "גרף פונקציה קווית" ובו יש הסבר גם על זה
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-graph/

      וזו התשובה המפורטת לשאלה:
      כמות המים בכול אחת מהבריכות מתוארת בגרף על יד קו ישר.
      ניתן להגיד שהמשוואה של כל אחד מהישרים היא: y = mx + n.
      כאשר y זו כמות המים בבריכה בכול זמן נתון (מתואר על ידי ציר ה y)
      ו- x זה הזמן שעבר מתחילת מילוי / ריקון הבריכה (מתואר על ידי ציר ה x).
      כאשר נציב זמן 0 (כלומר x= 0) במשוואת הישר נקבל:
      y = m * 0 + n
      y =n
      נקודת החיתוך עם ציר ה y מייצגת את x =0, נקודת ההתחלה מבחינת הזמן.
      לכן עבור בריכה א n =0 ועבור בריכה ב n = 500.
      מקווה שעזרתי
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום ארגמן
      (f(x זה שם כללי של פונקציה וגם ערך ה Y של הפונקציה.
      למה הכוונה?
      אם יש פונקציה:
      f(x) = x + 3
      זה אומר שעבור x = 2 ערך ה y של הפונקציה הוא 5.
      עבור x = -6 ערך ה y הוא 3-.
      ובקיצור ערך ה Y גדול תמיד מ 3 מערך ה x.
      ואם יש פונקציה:
      f(x) = x^2 +9
      זה אומר שאם x = 2 אז ערך ה Y הוא:
      13 = 9 + 2^ 2
      אני מקווה שזה יותר מובן.
      ואם לא תשאיר כאן תרגיל שאתה לא מצליח לפתור וננסה להבין יחד דרך פתרון תרגילים.
      בהצלחה

  1. דבי

    תודה רבה על האתר הנפלא!!!
    החלוקה לנושאים, ההסברים הבהירים, השרטוטים הברורים והתרגול מעולה, ותמיד אפשר לתרגל עוד…
    תודה ענקית!!!!
    אתם עוזרים לי מאוד!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.