אי שוויונים כיתה ח

האי שוויונות דומים מאוד למשוואות של כיתה ח. סביר להניח שרמת פתרון האי שוויונות שלכם תהיה כרמת פתרון המשוואות. לכן אם תשפרו את היכולת שלכם במשוואות, תשפרו את היכולת שלכם באי שוויונות. ואם תשפרו את היכולת באי שוויונות תשפרו את היכולת שלכם במשוואות.

בדף זה:

  1. ההבדל בין אי שוויון למשוואה.
  2. תרגילי אי שיווין.
    2.1 תרגילים בסיסיים.
    2.2 תרגילים קשים יותר.
  3. בעיות מילוליות הנפתרות על ידי אי שוויונות.
  4. אי שוויונות בין שני פונקציות קוויות.
  5. כתיבת אי שוויון בהתאם לבעיה מילולית.

עוד באתר:

1.ההבדל בין אי שוויון למשוואה

אי שוויון פותרים על פי אותן סדר פעולות של משוואה עם נעלם אחד:
2x – 4(x+1) < 3x+6

  1. פותחים סוגריים
  2. מכנסים איברים
  3. מבודדים את המשתנה בצד אחד של האי שוויון ודואגים שהמקדם של המשתנה יהיה אחד.

2x – 4(x+1) < 3x+6
2x -4x -4 < 3x + 6
2x – 4 < 3x +6-
2x < 3x +10-
5x < 10-

יש רק הבדל אחד:
כאשר מכפילים או מחלקים את המשוואה במספר שלילי צריך להפוך את האי שוויון בצורה הזו:
5x < 10  / : -5-
x > -2
(הפכנו את סימן האי שוויון).

מדוע זה כך? מדוע הופכים את הסימן כאשר מכפילים או מחלקים במספר שלילי?

בואו נסתכל על אי שוויון בין מספרים:
3- < 5
זה אי שוויון נכון. אך מה יקרה כאשר נכפיל את האי שוויון במספר שלילי (נניח 2-) מבלי להפוך את הסימן?
נקבל:
6 < 10-
וזה כבר לא נכון.

לכן כאשר כופלים או מחלקים אי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן.

דוגמה לפתרון תרגיל אי שוויון:

2x +3 -4x < 7
2x + 3 < 7-
2x < 4-
x > -2

2. שרטוט תוצאת האי שוויון על מערכת צירים

כאשר האי שוויון נראה כך:
x ≥ 1
יש נקודה מלאה מעל המספר 1.

כאשר האי שוויון נראה כך:
x > 1
יש נקודה ריקה מעל המספר 1.

3. תרגילי אי שוויון

2.1 תרגילים בסיסיים

  1.   4x > 8
  2.   4x > 8-
  3.   x-4 ≤ 2
  4.   x+4 < 0
  5.   5x-6 ≤ 4
  6.   6< (3-)*(2x-1)

פתרונות

תרגיל 1
4x > 8
4x > 8 /:4
x>2

x>2

x>2

תרגיל 2
4x > 8-
4x > 8 / :-4-
x < -2

תרגיל 3
x – 4 ≤ 2
x – 4 ≤ 2   /+4
x ≤ 6 

x ≤ 6 

x ≤ 6

תרגיל 4
x+4 < 0
x+4<0  / -4
x < – 4  

x < - 4  

x < – 4

תרגיל 5
5x – 6 ≤ 4
5x-6 ≤ 4 /+6
5x ≤ 10 /:5
x ≤ 2  

x ≤ 2  

x ≤ 2

תרגיל 6
6< (3-)*(2x-1)
3-6x  > 6  /-3
6x > 3 / : -6-
x < -0.5

x < -0.5  

x < -0.5

2.2 תרגילים יותר קשים

פתרו את 5 התרגילים הבאים:

תרגילים קשים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

4. בעיות מילוליות הנפתרות על יד אי שוויונות

נתונה משוואת הישר y = 4x – 8.
א. מצאו מתי ערכי הפונקציה חיוביים.
ב. מצאו מתי מתקיים x< 0 וגם y<0.

פתרון
סעיף א
כאשר מבקשים "ערכי הפונקציה חיוביים" מתכוונים ל y>0.
נציב y =0 במשוואת הישר ונפתור את האי שוויון.
y = 4x – 8
4x – 8 > 0
4x – 8 > 0 / +8
4x > 8 /:4
x > 2
תשובה: כאשר x>2 ערכי הפונקציה חיוביים.

סעיף ב
נבדוק מתי y<0.
4x-8 < 0
4x – 8< 0 / +8
4x < 8 /:4
x < 2

בשאלה נדרש גם x<0.
וזו מערכת אי שוויונות וגם שנראית כך על ציר המספרים:

החיתוך של מערכת האי שוויונות הוא החלק שאותו מכסים שני החצים האדומים.
חלק זה הוא x< 0

תשובה: x< 0.

5.אי שוויונות בין שתי פונקציות קוויות

לפעמים שואלים את השאלה מתי הפונקציה הקווית (F(X גדולה מהפונקציה הקווית (Y(x.
הפתרון פשוט, פותרים את אי השוויון (F(X)<(Y(x.

תרגיל.
f(x) = 4-2x
y(x) = 4x-2

  1. שרטטו את הגרפים של שתי הפונקציות.
  2. עבור אלו ערכים y (x) >0.
  3. עבור אלו ערכים (f(x) > y(x.
  4. עבור איזה ערך של x מתקיים (f(x) = y(x.

פתרון
על מנת לשרטט משוואת ישר עלינו למצוא 2 או 3 נקודות על הגרף.
נציב x= 0,1,2 בכול אחד מהגרפים

עבור f(x) = 4-2x
f (0) = 4
f (1) =2
f (2) = 0.
(0,4)  (1,2)   (2,0)

עבור y(x) = 4x-2
y (0) = -2
y (1) = 2
y (2) = 6
(2-, 0)  (1,2)   (2,6)

נשרטט את הגרפים:

שרטוט הגרפים

סעיף ב: מתי y (x) >0
y(x) = 4x – 2
נפתור את האי שוויון
4x -2 > 0  / +2
4x >2  /:4
x>0.5
תשובה: y(x) > 0 כאשר x> 0.5.

סעיף ג: מתי (f(x) > y(x
f(x) = 4-2x
y(x) = 4x-2
נציב את הדברים הללו באי שוויון.
4-2x < 4x – 2
6x>6
x>1 .
לכן (f(x)<y(x כאשר x>1.

סעיף ד: מתי (f(x) = y(x
f(x) = 4-2x
y(x) = 4x-2
נציב את הערכים הללו במשוואה.
4-2x = 4x-2  / +2x+2
6x = 6  / :6
x=1
תשובה: (f(x) = y(x כאשר x=1.

6.כתיבת אי שוויון בהתאם לבעיה מילולית

דוגמאות:
תרגיל 1
לאחר שהחסירו ממספר 7 נשאר מספר גדול מ 20.
בנו אי שוויון המייצג את הבעיה.

פתרון
x  המספר ממנו החסירו
x – 7  מה שנשאר מהמספר לאחר החיסור.

מה שנשאר גדול מ- 20 ולכן אי השוויון הוא:
20<x-7.
x > 27
תשובה: כל מספר הגדול מ 27 יכול להתאים לתנאי השאלה.

תרגיל 2
ואם בתרגיל הקודם היה כתוב: לאחר שהחסירו ממספר 7 נשאר מספר גדול או שווה ל 20.
בנו אי שוויון.

פתרון
נשנה את הסימן < לסימן ≤ ונקבל:
20 ≤ x-7.

תרגיל 3
בגינה היו פרחים. גנן אחד הגיע והכפיל פי 2 את מספר הפרחים בגינה.
בא גנן אחר ושתל באותה גינה עוד 8 פרחים.
עכשיו יש בגינה יותר מ 17 פרחים.
בנו אי שוויון.

פתרון
x  מספר הפרחים שהיו בגינה לפני השתילה.
2x  מספר הפרחים בגינה לאחר שהגנן הראשון הכפיל את מספר הפרחים.
2x + 8  מספר הפרחים בגינה לאחר שהגנן השני הוסיף 8.

ואנו יודעים שלאחר השתילה האחרונה מספר הפרחים גדול מ- 17.
לכן האי שוויון הוא:
17 < 2x+8.
2x > 9
x > 4.5

6.מכשולים וכיצד להתגבר עליהם בפתרון אי שוויונות

אם אתם מעוניינים לדעת אי שוויונות מעבר לרמת הבסיס יש מספר מכשולים טכניים שעליכם להכיר. המכשולים הללו משותפים לאי שוויונות ולמשוואות, כך שההכרה שלהם תשפר את היכולת שלכם בשני התחומים.

התוכן הזה קיים רק בוידאו.

7. תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית

תחומי חיוביות ושליליות נקבעים אך ורק על פי ערכי ה- y של הפונקציה.
כאשר ערכי ה- y חיוביים הפונקציה חיובית. (וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מעל ציר ה- x).
כאשר ערכי ה- y שליליים הפונקציה שלילית. (וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מתחת ציר ה- x).

למשל בדוגמה מטה הפונקציה הקווית חיובית כאשר 2<x. ושלילית כאשר x<2.

גרף הפונקציה 2x-4

גרף הפונקציה 2x-4

מה עושים כאשר לא רואים גרף?

  1. מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה- x.
    על מנת לעשות זאת מציבים y=0 בפונקציה.
  2. קובעים עם הפונקציה הקווית עולה או יורדת.
    את זה קובעים על פי המקדם של ה- x בפונקציה. אם הוא חיובי הפונקציה עולה. אם הוא שלילי הפונקציה יורדת.

דוגמה:
נתונה הפונקציה y=3x-6. מצאו מתי הפונקציה חיובית ומתי שלילית.

פתרון
נציב y = 0.
0 = 3x – 6.
3x = 6
x = 2.
נקודת החיתוך עם ציר ה x היא (2,0)

האם הפונקציה עולה או יורדת?
המקדם של ה- x חיובי (3) לכן הפונקציה עולה.

תשובה: עבור 2<x הפונקציה חיובית ועבור  x<2 שלילית.

זו לא חובה על פי התרגיל אבל אני מצרף את גרף הפונקציה y = 3x-6.

גרף הפונקציה 3x-6

גרף הפונקציה 3x-6

אי שליליות ואי חיוביות

אי שליליות היא מצב שבו הפונקציה שווה ל 0 או חיובית.
אי חיוביות הוא מצב שבו הפונקציה שווה ל 0 או שלילית.

לפעמים ישאלו אותכם על המושגים הללו ועליכם להכיר אותם.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

6 thoughts on “אי שוויונים כיתה ח

  1. אביגיל וריקי

    הי, ראיתי את הסרטונים שלכם, הם מוסברים בצורה יפה מאד ומובנת.
    אז תודה ובהצלחה.
    יש לי שאלה שלא ראיתי בסרטונים שלכם והיא:
    לדוג': 3 חלקי a + שלוש חלקי שני a, האם זה יהיה שווה ל6 חלקי שני a או ל6 חלקי 3 a.
    אשמח אם תענו לי בקרוב.
    אביגיל וריקי.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      המכנה המשותף הוא 2a.
      לכן השבר 3 חלקי a הופך להיות 6 חלקי 2a.
      עכשיו התרגיל שלנו הופך להיות 6 חלקי 2a ועוד 3 חלקי 2a.
      מחברים את המונים והמכנה נשאר כמו שהוא.
      הפתרון הוא 9 חלקי 2a.
      תרגילים נוספים בנושא של מכנה משותף תמצאו בדף
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/common-diameter-with-variables/
      מקווה שעזרתי.

  2. גיא

    וואו! המון תודה!
    הייתי שמח אם היית שם למעלה קישור לעמוד תרומה לתחזוקת האתר.
    זה עוזר לי המון ואשמח לתרום קצת למטרה החשובה הזאת!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום גיא.
      שמחתי לשמוע שהצלחתי לעזור.
      אם יהיו שאלות בעתיד יש לך כאן כתובת לשאול אותן.
      תודה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.