אי שוויונים כיתה ח

האי שוויונות דומים מאוד למשוואות של כיתה ח. סביר להניח שרמת פתרון האי שוויונות שלכם תהיה כרמת פתרון המשוואות. לכן אם תשפרו את היכולת שלכם במשוואות, תשפרו את היכולת שלכם באי שוויונות. ואם תשפרו את היכולת באי שוויונות תשפרו את היכולת שלכם במשוואות.

בדף זה:

  1. ההבדל בין אי שוויון למשוואה.
  2. תרגילי אי שיווין.
    2.1 תרגילים בסיסיים.
    2.2 תרגילים קשים יותר.
  3. בעיות מילוליות הנפתרות על ידי אי שוויונות.
  4. אי שוויונים בין שני פונקציות קוויות.
  5. כתיבת אי שוויון בהתאם לבעיה מילולית.

עוד באתר:

1.ההבדל בין אי שוויון למשוואה

אי שוויון פותרים על פי אותן סדר פעולות של משוואה עם נעלם אחד:
2x – 4(x+1) < 3x+2

  1. פותחים סוגריים
  2. מכנסים איברים
  3. מבודדים את המשתנה בצד אחד של האי שוויון ודואגים שהמקדם של המשתנה יהיה אחד.

יש רק שני הבדלים:

1. במשוואה הפתרון הוא לרוב מספר יחיד לעומת זאת באי שוויון לרוב יש אינסוף מספרים הפותרים אותו. למשל:
x = 5 הפתרון הוא אחד.
x > 5 הפתרון הוא אינסוף מספרים למשל 7,6, 7.5 ועוד.

שרטוט x>5

2. כאשר אנחנו מכפילים או מחלקים אי שוויון במספר שלילי אנחנו צריכים להפוך את הסימן של האי שוויון. למשל:
2x  < 6  / :-2-
x > -3

ולמה זה כך?
בואו נסתכל על אי שוויון בין מספרים:
3- < 5
זה אי שוויון נכון. אך מה יקרה כאשר נכפיל את האי שוויון במספר שלילי (נניח 2-) מבלי להפוך את הסימן?
6 < 10-
וזה כבר לא נכון.
על כן כאשר כופלים או מחלקים אי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן.

(כאשר כופלים או מחלקים במספר חיובי סימן האי שוויון נשאר כמו שהוא).

דוגמה לפתרון תרגיל אי שוויון:

2x – 4(x+1) < 3x+2   (צריך לפתוח סוגריים)
2x -4x – 4 < 3x + 2  (צריך לכנס איברים)
2x – 4 < 3x + 2  / -3x +4-   (לבודד את המשתנה)
5x <6  / : -5-   (מחלקים במספר שלילי ולכן הופכים את האי שוויון)
x  > -1.2

x  > -1.2

2. תרגילי אי שוויון

2.1 תרגילים בסיסיים

  1. 4x>8
  2. 4x>8-
  3. x-4<2
  4. 5x-6>4
  5. 6< (3-)*(2x-1)

פתרונות

1.
4x>8 /:4
x>2 – תשובה סופית.

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

2.
4x>8 / :-4-
x<-2 – תשובה סופית.

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

3.
x-4<2 /+4
x<6  תשובה סופית.

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

4.
x+4<0  / -4
x<-4  תשובה סופית.

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

5.
5x-6>4 /+6
5x>10 /:5
x>2   תשובה סופית.

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

6.
6< (3-)*(2x-1)
3-6x >6 /-3
6x>3 / :-6-
x<-0.5   תשובה סופית

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

שרטוט הפתרון על ציר המספרים

2.2 תרגילים קצת יותר קשים

תרגילים קשים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

3. בעיות מילוליות הנפתרות על יד אי שוויונות

נתונה משוואת הישר y=4x-8.
א. מצאו מתי ערכי הפונקציה חיוביים.
ב. מצאו מתי מתקיים x< 0 וגם y<0.

פתרון
א. כאשר מבקשים "ערכי הפונקציה חיוביים" מתכוונים ל y>0.
4x-8>0 / +8
4x>8 /:4
x>2.
תשובה: כאשר x>2 ערכי הפונקציה חיוביים.

ב. נבדוק מתי y<0.
4x-8<0 / +8
4x<8 /:4
x<2
בשאלה נדרש גם x<0 וזו מערכת אי שוויונות וגם שנראית כך על ציר המספרים:

שרטוט האי שוויונות על ציר המספרים

תשובה: x< 0 הוא תחום החיתוך של שתי האי שוויונות.

4.אי שוויונות בין שני פונקציות קוויות

לפעמים שואלים את השאלה מתי הפונקציה הקווית (F(X גדולה מהפונקציה הקווית (Y(x.
הפתרון פשוט, פותרים את אי השוויון (F(X)<(Y(x.

תרגיל.
f(x)=4-2X
y(x)=4X-2

  1. שרטטו את הגרפים של שתי הפונקציות.
  2. עבור אלו ערכים y (x) >0.
  3. עבור אלו ערכים (f(x) > y(x.
  4. עבור איזה ערך של x מתקיים (f(x) = y(x.

פתרון

על מנת לשרטט משוואת ישר עלינו למצוא 2 או 3 נקודות על הגרף.
נציב x= 0,1,2 בכול אחד מהגרפים

עבור f(x)=4-2X
f (0) = 4
f (1) =2
f (2) = 0.
(0,4)  (1,2)   (2,0)

עבור y(x)=4X-2
y (0) = -2
y (1) = 2
y (2) = 6
(2-, 0)  (1,2)   (2,6)

נשרטט את הגרפים:

שרטוט הגרפים

 

חלק שני:
y(x)=4X-2
נפתור את האי שוויון
4x -2>0  / +2
4x >2  /:4
x>0.5
תשובה: y(x) > 0 כאשר x> 0.5.

חלק שלישי:
(f(x) > y(x.
4-2x<4x-2
6x>6
x>1 .
לכן (f(x)<y(x כאשר x>1.

חלק רביעי
4-2x=4x-2  / +2x+2
6x = 6  / :6
x=1
תשובה: (f(x) = y(x כאשר x=1.

4.כתיבת אי שוויון בהתאם לבעיה מילולית

דוגמאות:

תרגיל 1

לאחר שהחסירו ממספר 7 נשאר מספר גדול מ 20.
בנו אי שוויון המייצג את הבעיה.

פתרון

X – המספר ממנו החסירו
X-7 – מה שנשאר מהמספר לאחר החיסור.

ואנו יודעים שמה שנשאר גדול מ- 20 לכן:
20<X-7.

תרגיל 2

ואם בתרגיל הקודם היה כתוב: לאחר שהחסירו ממספר 7 נשאר מספר גדול או שווה ל 20.
בנו אי שוויון.

פתרון

20≤X-7.

תרגיל 3

בגינה היו פרחים. גנן אחד הגיע והכפיל ב 2 את מספר הפרחים בגינה. בא גנן אחר ושתל בגינה עוד 8 פרחים. עכשיו יש בגינה יותר מ 17 פרחים.
בנו אי שוויון.

פתרון

X – מספר הפרחים שהיו בגינה לפני השתילה.
2X – מספר הפרחים בגינה לאחר הגנן הראשון.
2X+8 – מספר הפרחים בגינה לאחר הגנן השני.

ואנו יודעים שלאחר השתילה האחרונה מספר הפרחים גדול מ- 17 לכן:
17<2X+8.

5.מכשולים וכיצד להתגבר עליהם בפתרון אי שוויונים

אם אתם מעוניינים לדעת אי שוויונות מעבר לרמת הבסיס יש מספר מכשולים טכניים שעליכם להכיר. המכשולים הללו משותפים לאי שוויונות ולמשוואות, כך שההכרה שלהם תשפר את היכולת שלכם בשני התחומים.

 

תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית

תחומי חיוביות ושליליות נקבעים אך ורק על פי ערכי ה- Y של הפונקציה.
כאשר ערכי ה- Y חיוביים הפונקציה חיובית. (וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מעל ציר ה- X).
כאשר ערכי ה- Y שליליים הפונקציה שלילית. (וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מתחת ציר ה- X).

למשל בדוגמה מטה הפונקציה חיובית כאשר 2<X. ושלילית כאשר X<2.

גרף הפונקציה 2x-4

גרף הפונקציה 2x-4

מה עושים כאשר לא רואים גרף?

  1. מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה- X.
    על מנת לעשות זאת מציבים Y=0 בפונקציה.
  2. קובעים עם הפונקציה הקווית עולה או יורדת.
    את זה קובעים על פי המקדם של ה- X בפונקציה. אם הוא חיובי הפונקציה עולה. אם הוא שלילי הפונקציה יורדת.

דוגמה:
נתונה הפונקציה y=3x-6. מצאו מתי הפונקציה חיובית ומתי שלילית.

פתרון
נציב Y=0.
0=3X-6.
3X=6
X=2.
נקודת החיתוך עם ציר ה X היא (2,0)

האם הפונקציה עולה או יורדת?
המקדם של ה- X חיובי (3) לכן הפונקציה עולה.

תשובה: עבור 2<X הפונקציה חיובית ועבור  X<2 שלילית.

זו לא חובה על פי התרגיל אבל אני מצרף את גרף הפונקציה y=3x-6.

גרף הפונקציה 3x-6

גרף הפונקציה 3x-6

אי שליליות ואי חיוביות

אי שליליות היא מצב שבו הפונקציה שווה ל 0 או חיובית.
אי חיוביות הוא מצב שבו הפונקציה שווה ל 0 או שלילית.

לפעמים ישאלו אותכם על המושגים הללו ועליכם להכיר אותם.

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “אי שוויונים כיתה ח

  1. גיא

    וואו! המון תודה!
    הייתי שמח אם היית שם למעלה קישור לעמוד תרומה לתחזוקת האתר.
    זה עוזר לי המון ואשמח לתרום קצת למטרה החשובה הזאת!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום גיא.
      שמחתי לשמוע שהצלחתי לעזור.
      אם יהיו שאלות בעתיד יש לך כאן כתובת לשאול אותן.
      תודה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.