אי שוויונים כיתה ח

האי שוויונות דומים מאוד למשוואות של כיתה ח. סביר להניח שרמת פתרון האי שוויונות שלכם תהיה כרמת פתרון המשוואות. לכן אם תשפרו את היכולת שלכם במשוואות, תשפרו את היכולת שלכם באי שוויונות. ואם תשפרו את היכולת באי שוויונות תשפרו את היכולת שלכם במשוואות.

בדף זה נלמד את הדברים הבסיסיים של אי שוויון:

  1. ההבדל בין אי שוויון למשוואה.
  2. מה ההבדל בין אי שוויון שבו כתוב "גדול מ … " לעומת "גדול שווה ל… "
  3. כיצד לשרטט פתרון אי שוויון על ישר המספרים.
  4. תרגילי אי שיווין בסיסיים.
  5. תרגילי אי שוויון ברמה בינונית.
  6. תרגילי אי שוויון קשים.
  7. אי שוויונות שכל x פותר אותם וללא פתרונות.

בדף ההמשך של דף זה נלמד:

  1. בעיות מילוליות הנפתרות על ידי אי שוויונות.
  2. אי שוויונות בין שני פונקציות קוויות.
  3. כתיבת אי שוויון בהתאם לבעיה מילולית.
  4. מכשולים בפתרון אי שווינות.
  5. תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית.
  6. פתרון גרפי של אי שוויונות.

1.ההבדל בין אי שוויון למשוואה

פתרון אי שוויון דומה מאוד מאוד לפתרון משוואה עם נעלם אחד. עם שני הבדלים:

הבדל ראשון
כאשר מכפילים או מחלקים את האי שוויון במספר שלילי צריך להפוך את הסימן של האי שוויון.
למשל:
2x > 6-
ועכשיו אנו צריכים לחלק ב 2- ומכוון שמחלקים במספר שלילי נהפוך את הסימן.
x < -3

דוגמה נוספת
0.1x < 4-
עכשיו אנו מכפילים פי 10- והפכים את הסימן.
x > -40

מתי לא הופכים את הסימן?
בכול שאר המקרים.
גם אם המספר הנמצא בתוך המשוואה שלילי ואנו לא כופלים / מחלקים במספר שלילי לא נהפוך את הסימן.
למשל:
3x > -12
עכשיו נחלק ב 3 ולא נהפוך את הסימן.
x > -4

הבדל שני
במשוואה לרוב הפתרון הוא יחיד.
x = 4
רק 4 הוא פתרון התרגיל.

באי שוויון פשוט יש אינסוף מספרים הפותרים את התרגיל
x > 4
אז:
4.1
4.2
5
6
7
וכן הלאה… כולם הם פתרון של האי שוויון.

מדוע זה כך? מדוע הופכים את הסימן כאשר מכפילים או מחלקים במספר שלילי?

בואו נסתכל על אי שוויון בין מספרים:
3- < 5
זה אי שוויון נכון. אך מה יקרה כאשר נכפיל את האי שוויון במספר שלילי (נניח 2-) מבלי להפוך את הסימן?
נקבל:
6 < 10-
וזה כבר לא נכון.

לכן כאשר כופלים או מחלקים אי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן.

2. מה ההבדל בין x  > 5 לבין x ≥ 5

x > 5  זה אומר שכל מספר הגדול מ 5 הוא פתרון של האי שוויון אבל 5 הוא לא פתרון.
x ≥ 5 אומר שכל מספר הגדול מ 5 הוא פתרון של האי שוויון וגם 5 הוא פתרון האי שוויון.

3. שרטוט תוצאת האי שוויון על מערכת צירים

דוגמה 1
כאשר האי שוויון נראה כך:
x ≥ 1
יש נקודה מלאה מעל המספר 1.

איך יודעים אם נקודה מקיימת את האי שוויון?
כל נקודה שהחץ נמצא מעליה הוא פתרון של האי שוויון.
למשל: 1,  2,  3,  4   הם פתרונות של האי שוויון.
אבל הנקודות 0,  2-,  6-  הם לא פתרונות של המשוואה.

דוגמה 2
כאשר האי שוויון נראה כך:
x > 1
יש נקודה ריקה מעל המספר 1.

איך יודעים אם נקודה מקיימת את האי שוויון?
כל נקודה שהחץ נמצא מעליה הוא פתרון של האי שוויון.
למשל:  2,  3,  4   הם פתרונות של האי שוויון.
אבל הנקודות 1,  0,  5-,  7-  הם לא פתרונות של המשוואה.

דוגמה 3
כאשר האי שוויון נראה כך:
x < 2
יש נקודה ריקה מעל המספר 2.

איך יודעים אם נקודה מקיימת את האי שוויון?
כל נקודה שהחץ נמצא מעליה הוא פתרון של האי שוויון.
למשל:  2,  1,  0,  3-   הם פתרונות של האי שוויון.
אבל הנקודות 3,  4,  6,  10  הם לא פתרונות של המשוואה.

4.תרגילי אי שוויון בסיסיים

  1.   4x > 8
  2.   4x > 8-
  3.   x-4 ≤ 2
  4.   x+4 < 0
  5.   5x-6 ≤ 4
  6. 2x +3 -4x < 7
  7.   6< (3-)*(2x-1)

פתרונות

תרגיל 1
4x > 8
4x > 8 /:4
x>2

x>2

x>2

תרגיל 2
4x > 8-
4x > 8 / :-4-
x < -2

תרגיל 3
x – 4 ≤ 2
x – 4 ≤ 2   /+4
x ≤ 6 

x ≤ 6 

x ≤ 6

תרגיל 4
x+4 < 0
x+4<0  / -4
x < – 4  

x < - 4  

x < – 4

תרגיל 5
5x – 6 ≤ 4
5x-6 ≤ 4 /+6
5x ≤ 10 /:5
x ≤ 2  

x ≤ 2  

x ≤ 2

תרגיל 6
2x +3 -4x < 7
2x + 3 < 7-
2x < 4-
x > -2

תרגיל 7
6< (3-)*(2x-1)
3-6x  > 6  /-3
6x > 3 / : -6-
x < -0.5

x < -0.5  

x < -0.5

5.אי שוויונות ברמה בינונית

  1. 2x – 1 < x + 5
  2. 7x – 2x + 1 > 5 + 16
  3. 3x +2 – 10 ≤ 2x + 5x
  4. 2x – 4(x+1) < 3x+6

פתרונות

תרגיל 1
2x – 1 < x + 5
2x – 1 < x + 5  / +1 – x
x < 6

תרגיל 2
7x – 2x + 1 > 5 + 16
5x +1 > 21  / -1
5x > 20  / :5
x > 4

תרגיל 3
3x +2 – 10 ≤ 2x + 5x
3x – 8 ≤ 7x  / -7x + 8
4x ≤ 8  / : -4-
x ≥ -2   (שימו לב להפיכת הסימן).

שימו לב לנקודה המלאה

שימו לב לנקודה המלאה

תרגיל 4
2x – 4(x+1) < 3x+6
2x -4x -4 < 3x + 6
2x – 4 < 3x +6-
2x < 3x +10-
5x < 10  / : -5-
x > -2  (שימו לב להפיכת הסימן)

5.אי שוויונות קשים יותר

פתרו את 5 התרגילים הבאים:

תרגילים קשים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

6.אי שוויונות שכל x פותר אותן או ללא פתרון כלל

בחלק מהאי שוויונות שנפתור ה x "יעלם" לנו במהלך הפתרון והשורה האחרונה לא תכלול x.
4 < 8
במקרה זה נסתכל אם הביטוי נכון או לא נכון.
אם הביטוי נכון תמיד אז כל x פותר את המשוואה.
אם הביטוי לא נכון אז אין לאי שוויון שום פתרון.

דוגמה 1
3x + 2 + x < 4x + 5 – 1

פתרון
3x + 2 + x < 4x + 5 – 1
4x + 2 < 4x + 4  / -4x
4 > 2
זה ביטוי שנכון תמיד, לכן כל x פותר את האי שוויון.

אי שוויון שכל x פותר אותו

אי שוויון שכל x פותר אותו

דוגמה 2
2x + 3 < x + x + 1

פתרון
2x + 3 < 2x + 1  / -2x
1 > 3
זה דבר שאף פעם לא נכון. לכן אין לאי השוויון הזה פתרון.

אי שוויון שאין לו פתרון

אי שוויון שאין לו פתרון

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 thoughts on “אי שוויונים כיתה ח

  1. אביגיל וריקי

    הי, ראיתי את הסרטונים שלכם, הם מוסברים בצורה יפה מאד ומובנת.
    אז תודה ובהצלחה.
    יש לי שאלה שלא ראיתי בסרטונים שלכם והיא:
    לדוג': 3 חלקי a + שלוש חלקי שני a, האם זה יהיה שווה ל6 חלקי שני a או ל6 חלקי 3 a.
    אשמח אם תענו לי בקרוב.
    אביגיל וריקי.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      המכנה המשותף הוא 2a.
      לכן השבר 3 חלקי a הופך להיות 6 חלקי 2a.
      עכשיו התרגיל שלנו הופך להיות 6 חלקי 2a ועוד 3 חלקי 2a.
      מחברים את המונים והמכנה נשאר כמו שהוא.
      הפתרון הוא 9 חלקי 2a.
      תרגילים נוספים בנושא של מכנה משותף תמצאו בדף
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/common-diameter-with-variables/
      מקווה שעזרתי.

  2. גיא

    וואו! המון תודה!
    הייתי שמח אם היית שם למעלה קישור לעמוד תרומה לתחזוקת האתר.
    זה עוזר לי המון ואשמח לתרום קצת למטרה החשובה הזאת!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום גיא.
      שמחתי לשמוע שהצלחתי לעזור.
      אם יהיו שאלות בעתיד יש לך כאן כתובת לשאול אותן.
      תודה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.