איך מוכיחים שישרים מקבילים

דף זה הוא אחד משני דפים שחשוב שתקראו אם אתם רוצים לדעת טוב את נושא הישרים המקבילים.
הדף הראשון על ישרים מקבילים מקבל כנתון את העובדה שישרים מקבילים והתרגילים בודקים האם אתם יודעים להפיק מכך נתונים.

בדף זה תרגילים שבהם בעזרת נתונים אתם צריכים להוכיח שישרים הם מקבילים.

המשפט שבעזרתו מוכיחים שישרים הם מקבילים

המשפט אומר: אם בין שני ישרים וישר שלישי שחותך אותם יש זוויות מתאימות שוות או זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.

תזכורת זוויות מתאימות נמצאות באותו צד ואותו גובה.  זוויות מתחלפות לא באותו צד ולא באותו גובה.

ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 5 או 3 ו 7 הן מתאימות.
זוויות 1 ו 7 או 4 ו 6 הן מתחלפות.

חזרה מפורטת על שני סוגי הזוויות בדף זוויות מתאימות.

יש בתי ספר המלמדים גם זוויות חד צדדיות. אם זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות אז הישרים מקבילים.

בקיצור:
על מנת להוכיח שישרים הם מקבילים עליכם למצוא זוויות מתאימות או מתחלפות שוות. חלק מבתי הספר ניתן להוסיף חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות.

לדוגמה:
האם הישרים הללו מקבילים?

הוכחת ישרים מקבילים

פתרון

  1. בשרטוט זוויות מתחלפות שאינן שוות לכן הישרים לא מקבילים.
  2. בשרטוט זוויות מתאימות שוות לכן הישרים מקבילים.

תרגילים

תרגיל 1

קבעו האם הישרים הבאים מקבילים:

תרגיל בישרים מקבילים

פתרון

  1. בשרטוט זוויות חד צדדיות שגודלן 130 ו 50.
    כלומר הן משלימות ל 180 מעלות ולכן הישרים מקבילים.
    מי שלא למד זוויות חד צדדיות יכול למצוא שהזווית המסומנת בירוק גודלה 130 מעלות (בגלל זוויות צמודות). ואז יש לו זוויות מתאימות שוות ולכן הישרים מקבילים.
  2. גודל הזוויות הירוקה הוא 120 מעלות (בגלל זוויות צמודות). ועכשיו יש לנו זוויות מתאימות שגודל האחת 120 מעלות והשנייה 60 מעלות.
    הן אינן שוות ולכן הישרים לא מקבילים.
  3. בשרטוט שני זוויות מתאימות שגודלן 140 מעלות.
    הזוויות המתאימות שוות ולכן הישרים מקבילים.
  4. בשרטוט שתי זוויות שגודלן 60 מעלות. שימו לב שהן לא נוצרו על ידי אותו חותך. ולכן אין משמעות לכך שהזוויות שוות. לא ניתן לדעת אם הקווים מקבילים או לא.

תרגיל 2

עבור איזה ערך של x הישרים מקבילים?

שרטוט התרגיל ישרים מקבילים

פתרון

בשרטוט זוויות מתחלפות שאחת שווה x+40 והשנייה 2x-20.
על מנת שהישרים יהיו שווים הזוויות צריכות להיות שוות.
x+40 = 2x-20 / +20-x
60=x
תשובה: עבור ערך של x=60 מעלות הישרים מקבילים.

הערה: ניתן למצוא גם שעבור ערך זה שתי הזוויות שוות 100 מעלות – כלומר שוות.

תרגיל 3

האם הישרים האדומים שבשרטוט מקבילים?

האם הישרים מקבילים?

פתרון

נשלים את זווית B במשולש ABC.
B=70∠
זווית B מתחלפת עם זווית שגודלה 40 מעלות.
זוויות מתחלפות לא שוות ולכן הישרים לא מקבילים.

תרגיל 4

האם הישרים בצבע כחול מקבילים?

האם הישרים מקבילים?

פתרון

בין ישרים 1 ו 2 יש שתי זוויות מתחלפות שגודלן 100 מעלות.
זוויות מתחלפות שוות ולכן הישרים מקבילים.

בישר 2 ניתן למצוא שהזוויות הירוקה שווה 80 (על ידי זוויות צמודות).
ואז בין ישר 2 ל 3 יש זוויות מתאימות שאחת שווה 100 ואחת 80.
זוויות מתאימות לא שוות ולכן ישרים 2 ו 3 לא מקבילים.

ביון ישר 1 לישר 3 יש זוויות חד צדדיות שגודל כל אחת מיהן הוא 100.
סכומן 200.
זוויות חד צדדיות לא משלימות ל 180 מעלות ולכן הקווים לא מקבילים.

לסיכום:
1 ו 2 מקבילים.
2 ו 3 לא מקבילים.
1 ו 3 לא מקבילים.

תרגיל 5

האם הקווים האדומים מקבילים?

שרטוט התרגיל. ישרים מקבילים.

פתרון

לא ניתן לדעת. מכוון שהזוויות שגודלן 40 מעלות נוצרו על ידי שני חותכים שונים אין משמעות לכך שהזוויות שוות.

תרגיל 6

האם הישרים מקבילים?

על מנת לפתור את התרגיל יש להמשיך את אחד הישרים האדומים (לא חשוב איזה), ולהשלים את זוויות המשולש.

שרטוט השלמת הזוויות. האם הישרים מקבילים?

 

עכשיו אנו שיש לנו זוויות מתאימות שגודלן 140 ו 100 מעלות.
הזוויות המתאימות אינן שוות לכן הישרים אינם מקבילים.

תרגיל 7

(תרגיל זה מיועד לאלו היודעים את 3 תכונות טרפז שווה שוקיים).

בטרפז שווה שוקיים (AD=BC) מעבירים ישר AE כך ש AED הוא משולש שווה שוקיים.
הוכיחו כי AE מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AED = ∠ADE∠ במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  2. ADE = ∠BCE∠ בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  3. AED = ∠BCE∠  נובע מ 1 ו 2.
  4. AE מקביל ל BC. אם זוויות מתאימות שוות (AED = ∠BCE∠) אז הישרים מקבילים.

תרגיל 8

הישרים AB ו CD נפגשים ונחצים על ידי הנקודה E.
(הערה: נחצים זה אומר AE=EB, CE=ED).
הוכיחו כי AC מקביל ל BD.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AE=EB, CE=ED נתון.
  2. AEC = ∠BED∠ זוויות קודקודיות שוות.
  3. AEC ≅ BED משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

וידאו: סיכום הנושאים בדף

סיכום של 6 דקות המסביר את הנושאים בדף (לא כולל קווים מקבילים יחד עם תכונות של צורות המודגמים בשאלות 7-8).


עוד באתר:

  1. מתמטיקה לכיתה ח.
  2. מתמטיקה לחטיבת הביניים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.