איך מוכיחים שישרים מקבילים

לדף זה 5 חלקים:

  1. מבוא: כיצד מזהים בצורה נכונה זוויות מתאימות וזוויות מתחלפות.
  2. כיצד מוכיחים שישרים הם מקבילים כאשר גדלי הזוויות מופיעים בשאלה כמספרים או כמשתנים.
  3. כיצד מוכיחים שישרים הם מקבילים כאשר יש יותר משני ישרים.
  4. שילוב בין הוכחת ישרים מקבילים וסכום זוויות במשולש.
  5. תרגילים נוספים.

את היסודות של ישרים מקבילים, כלומר כיצד משתמשים בתכונות הישרים המקבילים תוכלו ללמוד בקישור.

1. מבוא: זיהוי נכון של זוויות מתאימות ומתחלפות

בסרטון מוסבר כיצד מזהים זוויות מתאימות וזוויות מתחלפות.
תזכורת זוויות מתאימות נמצאות באותו צד ואותו גובה.  זוויות מתחלפות לא באותו צד ולא באותו גובה.

2. כיצד מוכיחים שישרים הם מקבילים כאשר נתון לנו
גודל של זווית במספרים או במשתנים

המשפט שבעזרתו מוכיחים שישרים הם מקבילים:
אם בין שני ישרים וישר שלישי שחותך אותם יש זוויות מתאימות שוות או זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.

יש בתי ספר המלמדים גם זוויות חד צדדיות. ואז יש משפט נוסף האומר:
אם זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות אז הישרים מקבילים.

 

תרגילים

תרגיל 1
האם הישרים הכחולים הללו מקבילים?

הוכחת ישרים מקבילים

פתרון

  1. בשרטוט זוויות מתחלפות שאינן שוות לכן הישרים לא מקבילים.
  2. בשרטוט זוויות מתאימות שוות לכן הישרים מקבילים.

תרגיל 2

קבעו האם הישרים הבאים מקבילים:

תרגיל בישרים מקבילים

פתרון

שרטוט 1
הזוויות הירוקה צמודה לזווית שגודלה 50.
לכן גודל הזוויות הירוקה 130.
יש שתי מתאימות שגודלן 130 לכן הישרים מקבילים.

פתרון בעזרת זוויות חד צדדיות
בשרטוט זוויות חד צדדיות שגודלן 130 ו 50.
כלומר הן משלימות ל 180 מעלות ולכן הישרים מקבילים.

שרטוט 2
גודל הזוויות הירוקה הוא 120 מעלות (בגלל זוויות צמודות).
ועכשיו יש לנו זוויות מתאימות שגודל האחת 120 מעלות והשנייה 60 מעלות.
הן אינן שוות ולכן הישרים לא מקבילים.

שרטוט 3
בשרטוט שני זוויות מתאימות שגודלן 140 מעלות.
הזוויות המתאימות שוות ולכן הישרים מקבילים.

שרטוט 4
בשרטוט שתי זוויות שגודלן 60 מעלות. שימו לב שהן לא נוצרו על ידי אותו חותך.
לכן אין משמעות לכך שהזוויות שוות.
לא ניתן לדעת אם הקווים מקבילים או לא.

תרגיל 3

  1. עבור איזה ערך של x הישרים מקבילים?
  2. מצאו את הגודל של כל אחת מהזוויות כאשר הן שוות.

שרטוט התרגיל ישרים מקבילים

פתרון

סעיף א: מציאת ערך x עבורו הזוויות שוות
בשרטוט זוויות מתחלפות שאחת שווה x+40 והשנייה 2x-20.
על מנת שהישרים יהיו שווים הזוויות צריכות להיות שוות.
נכתוב את שוויון הזוויות במשוואה.
x+40 = 2x-20 / +20-x
60=x
תשובה: עבור ערך של x=60 מעלות הישרים מקבילים.

סעיף ב: מציאת גודל הזוויות
גודל הזווית העליונה הוא:
x + 40
100 = 40 + 60
גודל הזוויות העליונה הוא 100 מעלות.
הזוויות התחתונה שווה לזווית העליונה ולכן גם גודלה 100 מעלות.

3. הוכחת ישרים מקבילים כאשר יש יותר משני ישרים

תרגיל 4

האם הישרים בצבע כחול מקבילים?

האם הישרים מקבילים?

פתרון

בין ישרים 1 ו 2 יש שתי זוויות מתחלפות שגודלן 100 מעלות.
זוויות מתחלפות שוות ולכן הישרים מקבילים.

בישר 2 ניתן למצוא שהזוויות הירוקה שווה 80 (על ידי זוויות צמודות).
ואז בין ישר 2 ל 3 יש זוויות מתאימות שאחת שווה 100 ואחת 80.
זוויות מתאימות לא שוות ולכן ישרים 2 ו 3 לא מקבילים.

ביון ישר 1 לישר 3 יש זוויות חד צדדיות שגודל כל אחת מיהן הוא 100.
סכומן 200.
זוויות חד צדדיות לא משלימות ל 180 מעלות ולכן הקווים לא מקבילים.

לסיכום:
1 ו 2 מקבילים.
2 ו 3 לא מקבילים.
1 ו 3 לא מקבילים.

תרגיל 5

נתון שהישרים הכחולים מקבילים.
האם הישרים האדומים מקבילים?

שרטוט התרגיל

פתרון
הזוויות התחתונה שגודלה 40 היא זווית מתחלפת שווה עם הזווית המסומנת בשחור.
לכן גודל הזווית המסומנת בשחור גודלה 40 מעלות.

הזווית השחורה היא זווית מתחלפת שווה עם הזווית העליונה שגודלה 40.
לכן שני הישרים האדומים מקבילים, כי יש בניהם זו זוויות מתחלפות שוות.

4. הוכחת ישרים מקבילים וסכום זוויות במשולש

תרגיל 6

האם הישרים האדומים שבשרטוט מקבילים?

האם הישרים מקבילים?

פתרון

שלב א: השלמת הזוויות במשולש
נשלים את זווית B במשולש ABC על פי סכום זוויות במשולש.
B=180 – 60 – 50 = 70∠

שלב ב: מציאת זוויות מתאימות או מתחלפות בין הישרים החשודים כמקבילים
זווית B מתחלפת עם זווית שגודלה 40 מעלות.
זוויות מתחלפות לא שוות ולכן הישרים לא מקבילים.

תרגיל 7

האם הישרים הכחולים המופיעים בשרטוט מקבילים.

האם הישרים מקבילים?

על מנת לפתור את התרגיל יש להמשיך את אחד הישרים האדומים (לא חשוב איזה), ולהשלים את זוויות המשולש.
עלינו לחפש לאורך הישר החותך שתי זוויות מתאימות או מתחלפות.

  1. גודל זווית 1 הוא 80 (סכום זוויות צמודות הוא 180).
  2. גודל זווית 2 הוא 60 מעלות (סכום זוויות צמודות הוא 180).
  3. גודל זוויות 3 הוא 40 מעלות (בגלל סכום זוויות במשולש).
  4. גודל זוויות 4 הוא 80 מעלות בגלל זוויות צמודות.

זווית 3 וזווית 4 הן זוויות מתאימות.
מכוון שהן לא שוות הישרים לא מקבילים.

5. הוכחת ישרים מקבילים: תרגילים נוספים

תרגיל 8 יכול להיפטר אל ידי תלמידי כיתה ח שלמדו חפיפת משולשים.
תרגיל 9 מיועד לתלמידי כיתה ט.

תרגיל 8

הישרים AB ו CD נפגשים ונחצים על ידי הנקודה E.
(הערה: נחצים זה אומר AE=EB, CE=ED).
הוכיחו כי AC מקביל ל BD.

שרטוט התרגיל

פתרון

שלב א: נוכיח AEC ≅ BED

  1. AE=EB, CE=ED נתון.
  2. AEC = ∠BED∠ זוויות קודקודיות שוות.
  3. AEC ≅ BED משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

שלב ב: נמצא זווית מתאימות או מתחלפות בין הישרים ונבדוק אם הן שוות

  1. EBD = ∠EAC∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. זוויות EAC ו  EBD אלו הן זוויות מתחלפות.
    מכוון שהזוויות המתחלפות שוות הישרים מקבילים.

תרגיל 9

(תרגיל זה מיועד לאלו היודעים את 3 תכונות טרפז שווה שוקיים).

בטרפז שווה שוקיים (AD=BC) מעבירים ישר AE כך ש AED הוא משולש שווה שוקיים (AE = AD).
הוכיחו כי AE מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AED = ∠ADE∠ במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  2. ADE = ∠BCE∠ בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  3. AED = ∠BCE∠  נובע מ 1 ו 2.
  4. AE מקביל ל BC. אם זוויות מתאימות שוות (AED = ∠BCE∠) אז הישרים מקבילים.

וידאו: סיכום הנושאים בדף

סיכום של 6 דקות המסביר את הנושאים בדף (לא כולל קווים מקבילים יחד עם תכונות של צורות המודגמים בשאלות 7-8).


עוד באתר:

  1. מתמטיקה לכיתה ח.
  2. מתמטיקה לחטיבת הביניים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.