משוואות עם נעלם במכנה

בדף זה נלמד כיצד פותרים משוואות שיש להם נעלם במכנה. על מנת לפתור אותם עליכם לשלוט באופן שבו מוצאים מכנה משותף ולהכיר את הנושא הפשוט של תחום הצבה.

דף זה הוא החלק החמישי מתוך 6 בנושא פתרון משוואה עם נעלם אחד. בקישור מידע על כל החלקים האחרים.

דף זה נועד לתלמידי כיתות ח-י ברמת 4-5 יחידות לימוד.

בדף זה:

  1. מציאת תחום ההצבה.
  2. מציאת מכנה משותף – בעיניי זה החלק החשוב בדף, זה הדבר החדש שאתם צריכים ללמוד.
  3. פתרון מלא של תרגילים.
  4. פתרון בעיות מילוליות הדורשות בניית משוואה עם משתנה במכנה.

1. תחום הצבה

כאשר יש לנו נעלם במכנה המכנה יכול להיות שווה ל- 0 – וזה אסור במתמטיקה.

לכן עלינו לבדוק מתי המכנה שווה 0 ולהגדיר את תחום ההצבה ככול המספרים שאינם נותנים 0 במכנה.
למשל:

תרגיל 1

5 לחלק ב- x

במקרה הזה x לא יכול להיות 0.
תחום ההצבה: x ≠ 0.

תרגיל 2

במקרה הזה x – 1 לא יכול להיות שווה ל- 0.
x – 1 ≠ 0   / +1
x ≠ 1
תחום ההצבה: x ≠ 1

תרגיל 3

במקרה הזה x + 3 וגם x צריכים להיות שונים מ- 0. לכן תחום ההצבה הוא:
תחום ההצבה: x ≠ -3,  x ≠ 0.

שימו לב שבכול המקרים מה שרשום במונה לא משפיע על תחום ההצבה.

2. כיצד מוצאים מכנה משותף

מכנה משותף של שני מספרים

מכנה משותף של שני מספרים הוא מספר אשר ניתן להביא את שני המכנים אליו על ידי פעולת כפל.

למשל:
3 ו- 5 – מכנה משותף 15.
2 ו- 4 – מכנה משותף 4.

דוגמאות נוספות והסבר למציאת מכנה משותף בין מספרים (ללא משתנים) ניתן למצוא בדף איך למצוא מכנה משותף.

כאשר יש משתנה במכנה הרעיון הוא אותו רעיון : למצוא ביטוי ששני המכנים יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל.

מכנה משותף של מספרים ומשתנה

דוגמה 1

מה המכנה המשותף של 7 ו x

פתרון
המכנה המשותף הוא 7x.
אם נכפיל את כל אחד מהביטויים ב 7x המכנה יעלם.

דוגמה 2

פתרון
המכנה המשותף של המספרים הוא 4 ו- 6 הוא 12.
לכן המכנה המשותף הכללי הוא 12*(x+2)

ממכנה משותף של מספר משתנים

דוגמה 3

פתרון

המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים:
(2x + 4) (x – 2)
(כי אין בין המכנים שום גורם משותף).

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

דוגמה 4

פתרון

שימו לב שעבור הביטוי מצד ימין ניתן להוציא 2 כגורם משותף ואז נקבל:
x + 1) * 2)
כמו כן המכנה המשותף של:
x + 1  ו   x + 1)²)
הוא:
x + 1)²)

לכן המכנה המשותף של שלושת המכנים הוא:
x + 1)² * 2)

הכפלה במכנה המשותף

הכפלה במכנה המשותף

דוגמה 5

פתרון

עבור הביטוי השמאלי ניתן לבצע פירוק טרינום, עבור הביטוי הימני ניתן להוציא גורם משותף 3.

כמו כן נשים לב שניתן להוציא מינוס מהביטוי האמצעי על מנת לקבל x – 8:

לכן בסופו של דבר נקבל:

המכנה המשותף הוא:
x – 8) * (x + 2) * 3)
היה ניתן גם להוסיף מינוס למכנה המשותף האבל זה עניין של בחירה, לא חובה.

הכפלה במכנה המשותף

הכפלה במכנה המשותף

3. פתרון משוואות עם נעלם במכנה

מצורפים 5 תרגילים עם פתרונות מלאים.
תרגילים 1-3 הם תרגילים פשוטים.
תרגיל 4 קשה יותר.
תרגילים 5-6 מיועדים לתלמידי כיתה ט.
תרגיל 5 דורש הוצאת מכנה משותף.
תרגיל 6 דורש ידע בפירוק טרינום.

פתרונות וידאו לתרגילים 1-4:

תרגיל 1

משוואה עם נעלם במכנה

פתרון
תחום ההצבה: x ≠ 0.

נכפיל את המשוואה ב- x

נכפיל את המשוואה ב- x

1+8x=8.5x   / -8x
0.5x = 1  /*2
2=x

נבדוק אם x= 2 נמצא בתחום ההצבה: והוא נמצא.
תשובה: לכן x = 2 הוא הפתרון.

תרגיל 2

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 2.
פעולה ראשונה: קודם כל נעביר את ה- 2 אגף.
על מנת שכאשר נבצע כפל (בשלב הבא) יהיו לנו פחות איברים להכפיל.

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

תשובה: x= 3 נמצא בתוך תחום ההצבה, לכן x = 3 הוא הפתרון.

תרגיל 3

פתרון

תחום ההצבה הוא x ≠ -3,  x ≠ 7.

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

x-7)*4 +2(x+3)=0)
4x – 28 + 2x + 6 = 0 / +22
6x=22 /:6
x=3.66

תשובה: x=3.66 נמצא בתחום ההצבה, לכן x=3.66 הוא הפתרון.

תרגיל 4

פתרון

תחום ההצבה x ≠ 0

מכפילים במכנה משותף

מכפילים במכנה משותף

המשך פתרון המשוואה

המשך פתרון המשוואה

תרגילים 5-6 מיועדים לתלמידי כיתה ט ומעלה

לשני התרגילים יש פתרון וידאו ופתרון כתוב.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 5

התרגיל

פתרון

תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5)
(4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10
8x -44 = 5x² -15x -50-
5x² -7x -6 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1.
נראה כאן את הדרך השנייה.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-.
המספרים הללו הם 10- , 3.
5x² -10x + 3x -6 = 0
5x (x – 2) +3 (x -2)= 0
5x + 3) (x -2) = 0)
אפשרויות הפתרון הן:
5x + 3 = 0
x = -0.6
או
x – 2 = 0
x = 2
הפתרונות של המשוואה הם:
x = 2,  x = -0.6

פתרון וידאו לתרגיל 5:

תרגיל 6

תרגיל

פתרון

במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6.
המספרים הללו הם 5 ו- 1.
x² + 6x +5
x +x + 5x + 5
(x(x + 1) +5(x + 1
(x + 1) (x + 5)
נציב זאת במשוואה.

פירוק הטרינום

פירוק הטרינום

בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה.
קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1.

נכפיל במכנה המשותף:

(x + 1 + 7x + 7 = 2(x² + 6x + 5
8x + 8 = 2x² +12x +10
2x² +4x + 2 = 0 / :2
x² +2x + 1 = 0
נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע (ניתן גם בנוסחת השורשים).
x + 1)² = 0)
x = -1

נשים לב שקבוצת ההצבה היא x ≠ -5,  x ≠ -1.
לכן הפתרון x = -1 לא שייך לקבוצת ההצבה והתשובה הסופית היא שאין למשוואה פתרון.

פתרון וידאו לתרגיל 6:

5. בעיות מילוליות

5 בעיות מילוליות שעל מנת לפתור אותם יש להרכיב משוואה עם נעלם במכנה.

תרגיל 1

אם מחלקים את המספר 22 במספר אחר מקבלים את המנה 5 ושארית 2. מצאו את המספר המחלק.

פתרון

x הוא המספר המחלק.

בניית משוואה ופתרונה:

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

בגינה 120 פרחים המחולקים באופן שווה לערוגות.
אם קוטפים מערוגה אחת 7 פרחים יישארו בה 8 פרחים.
מצאו (בעזרת משוואה) כמה ערוגות יש וכמה פרחים יש בכול ערוגה.

פתרון

X הוא מספר הערוגות

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 2 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 3

מספר אחד גדול ממספר שני ב- 12. היחס בין המספרים הוא 4.
מצאו את המספרים.

פתרון

X – המספר הקטן.
X+12 – המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 3 בניית משוואה ופתרונה

 

תרגיל 4

ההפרש בין שני מספרים הוא 5.
אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן מקבלים 2 ושארית 1.
מצאו את המספרים.

פתרון

X – המספר הקטן.
אם ההפרש בין המספרים הוא 5 אז x + 5 הוא המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 5 (קשה מהרגיל)

מכונית נסעה מנקודה A לנקודה B מרחק של 150 ק"מ. לאחר מיכן נסעה לנקודה C מרחק של 210 ק"מ.
מנקודה B לנקודה C מהירותה הייתה  גבוהה ב- 20 קמ"ש ממהירותה בין A ל B.

המכונית עברה באותו פרק זמן את שני הקטעים.
מצאו את מהירות המכונית.

פתרון

X מהירות המכונית בקטע AB בקמ"ש.
X+20 – מהירות המכונית בקטע BC בקמ"ש.

תרגיל 5 הגדרת משתנים

בניית משוואה ופתרונה:
מכוון שהזמנים שווים המשוואה היא:

תרגיל 5 בניית משוואה ופתרונה

החלק הבא במדריך, משוואה עם אינסוף או ללא פתרונות.
החלק הקודם במדריך, משוואות עם מכנה שהוא מספר.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.