משוואות עם נעלם במכנה

דף זה נועד לתלמידי כיתות ח-י ברמת 4-5 יחידות לימוד.

בדף זה שני חלקים מרכזיים.

  1. לתלמידי כיתה ח משוואות שבהם אין צורך למצוא מכנה משותף (13 תרגילים).
  2. תרגילים בהם צריך למצוא מכנה משותף על מנת לפתור.

לאחר מיכן יש בעיות מילוליות היוצרות משוואה עם משתנה במכנה.

נושאים שאתם צריכים לדעת לפני שאתם פותרים תרגילים בדף זה:

  1.  פתרון משוואה עם נעלם אחד.
  2. פתרון משוואה עם מספר במכנה.

1. תחום הצבה

כאשר יש לנו נעלם במכנה המכנה יכול להיות שווה ל- 0 – וזה אסור במתמטיקה.

לכן עלינו לבדוק מתי המכנה שווה 0 ולהגדיר את תחום ההצבה ככול המספרים שאינם נותנים 0 במכנה.
למשל:

תרגיל 1

5 לחלק ב- x

במקרה הזה x לא יכול להיות 0.
תחום ההצבה: x ≠ 0.

תרגיל 2

במקרה הזה המכנה שהוא (x – 1) לא יכול להיות שווה ל- 0.
x – 1 ≠ 0   / +1
x ≠ 1
תחום ההצבה: x ≠ 1

תרגיל 3

במקרה הזה המכנים שהם (x + 3) וגם x צריכים להיות שונים מ- 0. לכן תחום ההצבה הוא:
תחום ההצבה: x ≠ -3,  x ≠ 0.

שימו לב שבכול המקרים מה שרשום במונה לא משפיע על תחום ההצבה.

2. תרגילים ללא מכנה משותף

תרגילים 1-6 הם תרגילים פשוטים.
תרגילים 7-9 הם תרגילים שבהם צריך לעשות כינוס איברים לפני הכפל במכנה.
תרגילים 10-13 הם עם מכנה משותף אבל הוא פשוט יחסית.

תרגיל 1

פתרון
קבוצת הצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x ≠ 0

פתרון התרגיל
נכפיל את שני צדדי המשוואה במכנה שהוא x.
נקבל:
4x =2
4x =2  / :4
x = 0.5

תשובה: x = 0.5 שיך לקבוצת ההצבה של התרגיל ולכן הוא הפתרון.

תרגיל 2

פתרון
קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x ≠ 0

פתרון התרגיל
נכפיל את שני צדדי המשוואה במכנה שהוא x.
נקבל:
10x = 30
10x = 30  / :10
x = 3

תרגיל 3

פתרון
קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x +1 ≠ 0
x  ≠ -1

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא x +1
נקבל:
6x + 6 = -3
6x + 6 = -3  / -6
6x = -9  / :6
x = -1.5

תשובה: x = -1.5 נמצא בקבוצת ההצבה לכן הוא הפתרון.

תרגיל 4

פתרון
קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x – 4 ≠ 0
x  ≠ 4

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא x – 4
נקבל:
2x – 8 = 10
2x – 8 = 10  / +8
2x = 18  / :2
x = 9

תרגיל 5

פתרון
קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x – 1 ≠ 0
x  ≠ 1

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא x – 1
נקבל:
3x -3 = 2x +2
3x -3 = 2x +2  / -2x + 3
x = 5

תשובה: x = 5 נמצא בקבוצת ההצבה לכן הוא פתרון התרגיל.

תרגיל 6

קבוצת ההצבה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
2x + 2 ≠ 0
x  ≠ -1

פתרון התרגיל
נכפיל במכנה שהוא 2x +2
נקבל:
4x + 4 = 40 -8x
4x + 4 = 40 -8x   / +8x – 4
12x = 36  / :12
x = 3

תשובה: x = 3 נמצא בקבוצת ההצבה לכן הוא פתרון התרגיל.

תרגילים 7-9

בתרגיל 7-10 יש לנו 3 איברים, נבצע קודם כינוס איברים ולאחר מיכן נכפיל במכנה המשותף.

תרגיל 7

פתרון
תחום ההצבה: x ≠ 0.

נכנס איברים לפני שנכפיל במכנה משותף.

נקבל:

נבדוק אם x= 2 נמצא בתחום ההצבה: והוא נמצא.
תשובה: לכן x = 2 הוא הפתרון.

תרגיל 8

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 2.
פעולה ראשונה: קודם כל נעביר את ה- 2 אגף.
על מנת שכאשר נבצע כפל (בשלב הבא) יהיו לנו פחות איברים להכפיל.

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

תשובה: x= 3 נמצא בתוך תחום ההצבה, לכן x = 3 הוא הפתרון.

תרגיל 9

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 3.

נעביר את ה 5 אגף.

נכפיל במכנה המשותף x -3 ונפתור את התרגיל.

תרגילים 10-13

בתרגילים 10-12 צריך למצוא מכנה משותף, אבל זה מכנה שהוא אחד מהמכנים בתרגיל.

תרגיל 10

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את x פי 2 ולהגיע ל 2x אז המכנה המשותף הוא 2x.
נכפיל ב 2x ונקבל:

נמשיך לפתור את התרגיל:

תרגיל 11

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 3x פי 2 ולהגיע ל 6x אז המכנה המשותף הוא 6x.
נכפיל ב 6x ונקבל:

3x + 6 + 4 *2 = 1*6x
3x + 14 = 6x  / -6x -14
3x = -14  / :-3-
x = 4.66

תרגיל 12

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 2x פי 5 ולהגיע ל 10x אז המכנה המשותף הוא 10x.
נכפיל ב 10x ונקבל:

10x + 30 -20 = 0.25 * 10x
10x + 10 = 2.5x  / -2.5x – 10
7.5x = -10  / :7.5
x = -1.333

תרגיל 13

פתרון
תחום ההצבה x ≠ 0.

מכוון שניתן להכפיל את 3x פי 3 ולהגיע ל 9x אז המכנה המשותף הוא 9x.
נכפיל ב 9x ונקבל:
2x – 6 -3(7x -2) = 4 * 9x
2x – 6 -21x + 6 = 36x
19x = 36x   /-36x-
55x = 0  / : -55-
x = 0

3. מכנה משותף

כיצד מוצאים מכנה משותף

מכנה משותף של שני מספרים

מכנה משותף של שני מספרים הוא מספר אשר ניתן להביא את שני המכנים אליו על ידי פעולת כפל.

למשל:
3 ו- 5 – מכנה משותף 15.
2 ו- 4 – מכנה משותף 4.

דוגמאות נוספות והסבר למציאת מכנה משותף בין מספרים (ללא משתנים) ניתן למצוא בדף איך למצוא מכנה משותף.

כאשר יש משתנה במכנה הרעיון הוא אותו רעיון : למצוא ביטוי ששני המכנים יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל.

מכנה משותף של מספרים ומשתנה

דוגמה 1

מה המכנה המשותף של 7 ו x

פתרון
המכנה המשותף הוא 7x.
אם נכפיל את כל אחד מהביטויים ב 7x המכנה יעלם.

דוגמה 2

פתרון
המכנה המשותף של המספרים הוא 4 ו- 6 הוא 12.
לכן המכנה המשותף הכללי הוא 12*(x+2)

ממכנה משותף של מספר משתנים

דוגמה 3

פתרון

המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים:
(2x + 4) (x – 2)
(כי אין בין המכנים שום גורם משותף).

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

דוגמה 4

פתרון

שימו לב שעבור הביטוי מצד ימין ניתן להוציא 2 כגורם משותף ואז נקבל:
x + 1) * 2)
כמו כן המכנה המשותף של:
x + 1  ו   x + 1)²)
הוא:
x + 1)²)

לכן המכנה המשותף של שלושת המכנים הוא:
x + 1)² * 2)

הכפלה במכנה המשותף

הכפלה במכנה המשותף

דוגמה 5

פתרון

עבור הביטוי השמאלי ניתן לבצע פירוק טרינום, עבור הביטוי הימני ניתן להוציא גורם משותף 3.

כמו כן נשים לב שניתן להוציא מינוס מהביטוי האמצעי על מנת לקבל x – 8:

לכן בסופו של דבר נקבל:

המכנה המשותף הוא:
x – 8) * (x + 2) * 3)
היה ניתן גם להוסיף מינוס למכנה המשותף האבל זה עניין של בחירה, לא חובה.

הכפלה במכנה המשותף

הכפלה במכנה המשותף

פתרון משוואות עם מכנה משותף

מצורפים 4 תרגילים בהם צריך למצוא מכנה משותף.
תרגילים 3-4 מתאימים לכיתה ט.
11 תרגילים נוספים (לכיתה ט ומעלה) תוכלו למצוא בדף משוואות עם שברים אלגבריים.

תרגיל 1

פתרון

תחום ההצבה הוא x ≠ -3,  x ≠ 7.

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

x-7)*4 +2(x+3)=0)
4x – 28 + 2x + 6 = 0 / +22
6x=22 /:6
x=3.66

תשובה: x=3.66 נמצא בתחום ההצבה, לכן x=3.66 הוא הפתרון.

תרגיל 2

פתרון

תחום ההצבה x ≠ 0

מכפילים במכנה משותף

מכפילים במכנה משותף

המשך פתרון המשוואה

תרגיל 3

התרגיל

פתרון

תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5)
(4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10
8x -44 = 5x² -15x -50-
5x² -7x -6 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1.
נראה כאן את הדרך השנייה.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-.
המספרים הללו הם 10- , 3.
5x² -10x + 3x -6 = 0
5x (x – 2) +3 (x -2)= 0
5x + 3) (x -2) = 0)
אפשרויות הפתרון הן:
5x + 3 = 0
x = -0.6
או
x – 2 = 0
x = 2
הפתרונות של המשוואה הם:
x = 2,  x = -0.6

פתרון וידאו לתרגיל 3:

תרגיל 4

תרגיל

פתרון

במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6.
המספרים הללו הם 5 ו- 1.
x² + 6x +5
x +x + 5x + 5
(x(x + 1) +5(x + 1
(x + 1) (x + 5)
נציב זאת במשוואה.

פירוק הטרינום

פירוק הטרינום

בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה.
קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1.

נשים לב שניתן לצמצם את האיבר משמאל.
לאחר הצמצום נקבל:

נכפיל במכנה המשותף x + 5 ונקבל:

תשובה: x = -1

5. בעיות מילוליות

6 בעיות מילוליות שעל מנת לפתור אותם יש להרכיב משוואה עם נעלם במכנה.
תרגילים 1-4 מתאימים לכיתה ח.
תרגילים 5-6 דורשים פתרון משוואה ריבועית ולכן מתאימים לכיתה ט ומעלה.

תרגיל 1

אם מחלקים את המספר 22 במספר אחר מקבלים את המנה 5 ושארית 2. מצאו את המספר המחלק.

פתרון

x הוא המספר המחלק.

בניית משוואה ופתרונה:

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

בגינה 120 פרחים המחולקים באופן שווה לערוגות.
אם קוטפים מערוגה אחת 7 פרחים יישארו בה 8 פרחים.
מצאו (בעזרת משוואה) כמה ערוגות יש וכמה פרחים יש בכול ערוגה.

פתרון

X הוא מספר הערוגות

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 2 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 3

מספר אחד גדול ממספר שני ב- 12. היחס בין המספרים הוא 4.
מצאו את המספרים.

פתרון

X – המספר הקטן.
X+12 – המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 3 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 4

ההפרש בין שני מספרים הוא 5.
אם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן מקבלים 2 ושארית 1.
מצאו את המספרים.

פתרון

x – המספר הקטן.
אם ההפרש בין המספרים הוא 5 אז x + 5 הוא המספר הגדול.

בניית משוואה ופתרונה:

תרגיל 5 (קשה מהרגיל)

מכונית נסעה מנקודה A לנקודה B מרחק של 150 ק"מ. לאחר מיכן נסעה לנקודה C מרחק של 210 ק"מ.
מנקודה B לנקודה C מהירותה הייתה  גבוהה ב- 20 קמ"ש ממהירותה בין A ל B.

המכונית עברה באותו פרק זמן את שני הקטעים.
מצאו את מהירות המכונית.

פתרון

X מהירות המכונית בקטע AB בקמ"ש.
X+20 – מהירות המכונית בקטע BC בקמ"ש.

תרגיל 5 הגדרת משתנים

בניית משוואה ופתרונה:
מכוון שהזמנים שווים המשוואה היא:

תרגיל 5 בניית משוואה ופתרונה

תרגיל 6 (כולל משוואה ריבועית)

קבוצת אנשים תכננה לשכור אוטובוס ולראות סרט בקולנוע שעבורו על אדם היה צריך לקנות כרטיס בנפרד.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות מעלות כרטיסי הקולנוע.
העלות המתכננת של הפעילות כולה הייתה 1800 שקלים.
בסופו של דבר הגיעו 20 אנשים יותר שנכנסו לאותו אוטובוס.
כתוצאה מכך כל אדם שילם 4 שקלים פחות.
חשבו את מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

פתרון
שלב א: חישוב עלות האוטובוס ועלות כרטיסי הקולנוע.
נגדיר:
x עלות כל כרטיסי הקולנוע בשקלים.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות כרטיסי הקולנוע.
לכן:
0.2x  עלות האוטובוס בשקלים.

סכום העלויות הוא 1800 שקלים. לכן המשוואה היא:
x + 0,2x = 1800
1.2x = 1800  / :1.2
x = 1500

300 = 0.2 * 1500
עלות כרטיסי הקולנוע היא 1500 שקלים, עלות האוטובוס היא 300 שקלים.

שלב ב: חישוב מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי
נגדיר:
y מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.
לכן:

זה הסכום המקורי שכל אחד היה אמור לשלם.

נוספו 20 אנשים. לכן הגיעו
y + 20 אנשים.
והסכום שכל אחד שילם בפועל הוא:

בניית משוואה.
הסכום שכל אחד שילם בפועל קטן ב 4 שקלים מהסכום המקורי לתשלום.
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (y (y+ 20
(4y (y +20) + 300y = 300(y + 20
4y² + 80y + 300y = 300y + 6000
4y² + 80y – 6000 = 0  / :4
y² + 20y – 1500 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

x הוא מספר אנשים ולכן התשובה צריכה להיות חיובית, הפתרון x2 = -50 נפסל.
תשובה: 30 הוא מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

עוד בנושא זה באתר:

החלק הבא במדריך, משוואה עם אינסוף או ללא פתרונות.
החלק הקודם במדריך, משוואות עם מכנה שהוא מספר.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.