יחס כיתה ח: בעיות חלוקה לפי יחס נתון

דף זה הוא החלק השני בנושא יחס לתלמידי כיתה ח.
על מנת לפתור את השאלות שבדף זה עליכם להכיר את המושגים הבסיסיים של יחס ולדעת לפתור שאלות בסיסיות.
אם עדיין לא ביקרתם בדף יחס כיתה ח עברו לשם וצפו בסרטון עם השאלות הבסיסיות.

בדף זה שאלות חלוקה על פי יחס, השאלות מחולקות לשני סוגים.
בשני הסוגים היחס בין קבוצות הוא דבר ידוע.
אבל

  1. בסוג הראשון נותנים לנו את מספר המייצג סכום ל שתי הקבוצות ביחד, ואלו השאלות "הרגילות".
  2. בסוג השני נותנים לנו את הגודל של קבוצה אחת ומבקשים שנמצא את הסכום הכללי ואלו שאלו הנחשבות קשות יותר (וגם שואלים אותן פחות).

כמעט כל התרגילים בדף פתורים בשני דרכים.
אם אתם יכולים הבינו את שתי הדרכים.
אם לא, בחרו את הדרך הנוחה לכם לפתרון שאלות.

סוג 1: כאשר ידוע היחס והסכום של הקבוצות

זה הסוג הבסיסי של בעיות יחס ואותו אתם צריכים ללמוד ראשון.

תרגיל 1 (בסיסי)

בחממה 40 פרחים אדומים או צהובים. היחס בין הפרחים האדומים לצהובים הוא 3:5. מה מספר הפרחים האדומים בחממה?

כיצד פותרים שאלות מסוג זה?

יש 2 דרכים.
דרך אחת:

נגדיר:
3x מספר הפרחים האדומים.
לכן יש 5x פרחים צהובים.
(הערה: ניתן להגיד שהגענו לכך על ידי הכפלה של כל אחד מרכיבי היחס במספר x
3x:5x = 3:5).

סכום הפרחים הוא 40, לכן:
3x+5x = 40
8x=40 / :8
x=5

3x = 3 * 5 = 15 זה מספר הפרחים האדומים.
5x = 5*5 = 25 זה מספר הפרחים הצהובים.

תשובה: 15 פרחים אדומים בחממה.

דרך שנייה לפתרון

x מספר הפרחים האדומים.
ניתן לכתוב את היחס הבא:

משוואת היחס

3/8 מבטא את היחס שבין מספר הפרחים האדומים לכלל הקבוצה.
x/40 מבטא את מספר הפרחים האדומים לחלק במספר הפרחים בחממה.

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב 40 ונקבל
x = 15.
תשובה: מספר הפרחים האדומים הוא 15.

תרגיל 2 (יחס הכולל 3 מספרים)

היחס בין מספר התלמידים בכיתות ח1, ח2, ח3 הוא 5:4:6.
בשלושת הכיתות יש 90 תלמידים.
כמה תלמידים בכיתה ח3.

נפתור את התרגיל בשתי דרכים:
דרך 1.
נגדיר
6x מספר התלמידים בכיתה ח3.
לכן:
4x מספר התלמידים בכיתה ח2.
5x מספר התלמידים בכיתה ח1.
(הערה: ניתן להגיד שהגענו לכך על ידי כל אחד מרכיבי היחס במספר x)
(5x:4x:6x = 5:4:6)

סכום התלמידים הוא 90 לכן המשוואה היא:
5x + 4x + 6x = 90
15x = 90  /:15
x = 6

מספר התלמידים בכיתה ח3 הוא:
6x = 6 *6 =36
תשובה: מספר התלמידים בכיתה ח3 הוא 36.

אם נרצה לבדוק את הפתרון נמצא את מספר התלמידים בשאר הכיתות ונראה עם הסכום שווה ל 90.
5x = 5 *6 = 30
4x = 4 * 6 = 24
90 = 24 + 30 + 36
הגענו אל התשובה הנכונה.

דרך שנייה לפתרון התרגיל:
x מספר התלמידים בכיתה ח3.
ניתן לבנות את המשווה הבאה:

משוואת היחס

6/15 מבטא את היחס שבין החלק של ח3 לכלל השכבה.
x/90 מספר התלמידים ב ח3 לעומת מספר התלמידים בשכבה.

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב 90 ונקבל
x = 36
תשובה: מספר התלמידים בכיתה ח3 הוא 36.

תרגיל 3 (שאלה הנראית קשה יותר, יחס במספרים גדולים)

בשכבת כיתה ח יש 200 תלמידים. בשכבת כיתה ט יש 250 תלמידים.
בית הספר קיבל 18 תמונות ומחליט לתלות אותם במסדרונות של השכבות באופן יחסי לגודל השכבות.
כמה תמונות יתלו בכול מסדרון?

פתרון

היחס בין התמונות שיתלו במסדרון שכבת כיתה ח לתמונות שיתלו במסדרון שכבת כיתה ט הוא:
200:250
והדבר הראשון שעלינו לעשות כאשר נתון יחס כזה הוא לצמצם את היחס.
ניתן לצמצם פי 50.
4:5
או פי 100
2:2.5

מכאן נציג שני פתרונות
4x מספר התמונות שיתלו במסדרונות כיתה ח.
5x מספר התמונות שיתלו במסדרונות כיתה ט.

סכום התמונות הוא 18 לכן:
4x + 5x = 18
9x = 18   /:9
x = 2

5x = 5 * 2 = 10 מספר התמונות שיתלו במסדרון שכבה ט.
4x = 4 *2 = 8 מספר התמונות שיתלו במסדרון שכבה ח.

פתרון בדרך שנייה.
x מספר התמונות שיתלו במסדרון שכבה ח.
ניתן לבנות את המשוואה הבאה:
משוואת היחס

200/450 מייצג את היחס שבין תלמידי כיתה ח לתלמידי שתי השכבות.
x/18  הוא מספר התמונות שיתלו במסדרון כיתה ח לחלק בסך כל התמונות שבשתי המסדרונות.

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב 450 ונקבל:
25x = 200  /:25
x = 8

תשובה: מספר התמונות שיתלו במסדרון כיתה ח הוא 8, מספר התמונות שיתלו במסדרון כיתה ט הוא 10.

תרגילים נוספים מסוג זה (דומים לתרגילים שנפתרו)

תרגיל אחד קל באופן יחסי ותרגיל שני קשה יותר

תרגיל 1

במשולש היחס בין הזוויות הוא 2:5:3. מה גודלה של כל זווית?

פתרון

נגדיר
2x גודל של הזווית הקטנה.
לכן:
5x הזווית הגדולה.
3x הזווית הבינונית.

סכום הזוויות הוא 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
2x + 5x + 3x = 180
10x = 180  / :10
x = 18

2x = 2 * 18 = 36
5x = 5 * 18 = 90
3x = 3 * 18 = 54
תשובה: גודלן של הזוויות הוא 36,90,50 מעלות.

תרגיל 2

בישוב יש 1500 גברים ו 1800 נשים.
הישוב זה בפרס של 1,000,000 שקלים שיחולק לקבוצת הנשים וקבוצת הגברים על פי גודלם היחס.
כמה כסף תקבל כל קבוצה?

פתרון

דבר ראשון נצמצם את היחס
היחס בין הגברים לנשים הוא:
1500:1800
15:18
5:6

נגדיר:
5x יקבלו הגברים
6x יקבלו הנשים.

5x + 6x = 1,000,000
11x = 1,000,000   / :11
x = 90,909  (המספר עוגל)

5x = 5 * 90,909 = 454,545
6x = 6 * 90,909 = 545,454

דרך שנייה לפתרון

x הסכום בשקלים שיקבלו הנשים.
ניתן לבנות את המשוואה הבאה:

משוואת היחס

כאשר נפתור את המשוואה (עד ידי כפל ב 11,000,000) נגיע בדיוק לאותה תשובה.

סוג 2: כאשר ידוע גודל של קבוצה אחת והיחס

בתרגילים מסוג זה לא אומרים לנו מה הגודל של הקבוצות ביחד אלא אומרים את הגודל של קבוצה אחת.

תרגיל 1

בערוגה היחס בין הפרחים הלבנים לצהובים הוא 2:3.  ידוע כי יש 6 פרחים צהובים.
כמה פרחים יש בערוגה? כמה פרחים לבנים יש?

נפתור את התרגיל בשתי דרכים
דרך 1

נגדיר
3x מספר הפרחים הצהובים.
לכן:
2x מספר הפרחים הלבנים.
3x = 6  /:3
x=2

2x = 2 * 2 = 4 מספר הפרחים הלבנים.
10 = 4 + 6

תשובה: בערוגה 10 פרחים, 4 מתוכם לבנים.

דרך 2 לפתרון

נגדיר:
x מספר הפרחים הלבנים.
6 מספר הפרחים הצהובים.
ניתן לבנות את המשוואה:

משוואת היחס

2/3 מייצג את היחס שבין מספר הפרחים הלבנים למספר הפרחים הצהובים.
x/3 מייצג את מספר הפרחים הלבנים לחלק במספר הפרחים הצהובים.

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב 6 ונקבל:
x = 4
כלומר מספר הפרחים הלבנים הוא 4.

 

תרגיל 2

תלמידי בית ספר יצאו לטיול שנתי ב 3 אוטובוסים ל 3 יעדים שונים. היחס בין מספר הק"מ שעברו האוטובוסים הוא 4:5:8.
האוטובוס שנסע את המרחק הגדול ביותר נסע 400 ק"מ.
מה המרחק שנסעו שאר האוטובוסים?

נפתור את התרגיל בשתי דרכים.
נגדיר:
8x הדרך בקילומטרים שעבר האוטובוס שנסע הכי הרבה.
5x הדרך בקילומטרים שעבר האוטובוס שנסע את המספר האמצעי.
4x הדרך בקילומטרים שעבר האוטובוס שנסע את המספר הקטן של הקילומטרים.

אנו יודעים כי:
8x = 400   / :8
x= 50

לכן:
4x = 4 *50 =200
5x = 5 * 50 =250
תשובה: האוטובוס שנסע את המרחק הקצר נסע 200 ק"מ. האוטובוס שנסע את המרחק הבינוני נסע 250 ק"מ.

פתרון בדרך נוספת

x מספר הקילומטרים שעבר האוטובוס שנסע מעט.
ניתן לבנות את המשוואה הבאה:

משוואת היחס

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב 8 ונקבל:
2x = 400   / :2
x = 200

באותה דרך ניתן למצוא את הדרך שעבר האוטובוס השלישי

משוואת היחס

8y = 2000  / :8
y =250.

סיימנו.
נושא היחס הוא נושא קשה. אני מקווה שההסברים היו מובנים. הסברי הוידאו לדעתי ברורים יותר.
בהצלחה.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.