יחס ישר ויחס הפוך

בדף זה מספר תרגילים והסבר תאורטי על יחס ישר ויחס הפוך.

דף זה הוא החלק הרביעי מתוך 5 בנושא יחס עבור תלמידי כיתה ח. קישור לכל החלקים האחרים תוכלו למצוא בדף יחס כיתה ח.

הגדרות

יחס ישר – כאשר גודל אחר גדל פי מספר מסוים וגם גודל שני גדל פי אותו מספר.
ואם גודל אחד קטן אז הגודל השני קטן פי אותו מספר.

למשל:

x402010
y1263

ניתן לראות שכאשר ה x גדל פי 2 גם ה y גדל פי 2.
לכן במקרה זה יש יחס ישר בין x ל y.

יחס הפוך – כאשר גודל אחר גדל פי מספר מסוים אז גודל שני קטן פי אותו מספר.
ואם גודל אחד קטן אז הגודל השני גדל פי אותו מספר.

למשל:

x2618
y931

ניתן לראות שכאשר ה x קטן פי 3 אז ה y גדל פי 3.
לכן יש יחס הפוך בין x ל y.

כיצד נזהה יחס ישר כאשר הנתונים מוצגים בטבלה?

הדרך הפשוטה להסבר היא שניקח טור אחד בטבלה (לרוב הטור הראשון) ונראה אם יש מספר אחד שאם נכפיל אותו בטור זה אז נגיע אל הטור השני.
לאחר מיכן נבדוק אם יש מספר אחר שמביא את ערכי ה x וה y לטור השלישי.
וכך לכל הטורים בטבלה.

טבלה שהערכים שלה מדגימים יחס ישר כי ניתן להגיע מהטוב הראשון אל כל טור בטבלה על ידי כפל במספר. (לכל טור מספר שונה)

טבלה שהערכים שלה מדגימים יחס ישר כי ניתן להגיע מהטוב הראשון אל כל טור בטבלה על ידי כפל במספר. (לכל טור מספר שונה)

 

דוגמה לטבלה שלא מבטאת יחס ישר כי לא ניתן להגיע אל אחד הטורים שלה על ידי כפל במספר.

טבלה שאין בה יחס ישר כי אין מספר שניתן להכפיל בו את הטור הראשון ולהגיע אל הטור האחרון

בטבלה זו רואים שעבור x כדי להגיע מהטור הראשון לאחרון מכפילים פי 10.
לעומת זאת את ה y צריך להכפיל פי 15.
כלומר ה x וה y לא גדלים באותה מידה ולכן אין בניהם יחס ישר.

כיצד נזהה יחס ישר כאשר הנתונים מוצגים בגרף?

על מנת שגרף ייצג יחס ישר או יחס הפוך צריכים להתקיים שני תנאים:

  1. הגרף הוא של משוואת ישר (פונקציה קווית).
  2. הישר עובר דרך ראשית הצירים.

אם הגרף הוא של הוא צורה אחרת מישר –  אז זה לא יחס ישר.
אם זה ישר שלא עובר דרך ראשית הצירים – אז זה לא יחס ישר.

יחס ישר יהיה מיוצג על ידי ישר עולה.

(ראשית הצירים היא נקודת המפגש של ציר ה x וציר ה y, ערך הנקודה הוא 0,0)

דוגמאות למשוואות המייצגות יחס ישר הן:
y = 2x
y = x
y = 0.25x

דוגמאות למשוואות שלא מייצגות יחס ישר הן:
y = 2x + 6
y = -10x + 3
y = 0.5x – 7
y = x²

דוגמאות לגרפים שלא מציגים יחס ישר.

דוגמאות לגרפים שלא מציגים יחס ישר בגלל שהם לא קו ישר או בגלל שהגרפים לא עוברים דרך ראשית הצירים

דוגמאות לגרפים שלא מציגים יחס ישר בגלל שהם לא קו ישר או בגלל שהם ישרים שלא עוברים דרך ראשית הצירים

 

יחס הפוך אינו מתואר על ידי משוואת ישר אלא על ידי המשוואה y = k/x כאשר k הוא מספר כלשהו.

כיצד נזהה יחס ישר בטקסט?

כאשר מוזגים קולה לכוס. האם יש יחס ישר בין כמות הקולה שבכוס לכמות הסוכר שבכוס?

כיצד נענה על שאלות מסוג זה?

כדי לענות על השאלות הללו אני שואל את עצמי: אם אגדיל את אחד הערכים פי 2 האם גם הערך השני יגדל פי 2? ואם אגדיל פי 5, גם השני יגדל פי 5?
(המספרים 2 ו 5 הם דוגמאות בלבד).

ובמקרה של שאלה זו האם אגדיל פי 2 את כמות הקולה בכוס האם גם כמות הסוכר תגדל פי 2? ואם אגדיל פי 10 את כמות הקולה, האם גם הסוכר יגדל פי 10?

התשובה היא כן. כאשר אגדיל את כמות הקולה בכוס גם 2 גם כמות הסוכר בכוס תגדל פי 2, כאשר אגדיל את כמות הקולה פי x גם כמות הסוכר תגדל פי x.

ולכן יש יחס ישר בין כמות הקולה בכוס לכמות הסוכר.

תרגילים בנושא יחס ישר

תרגיל 1
איזה מספר חסר בטבלה הבאה על מנת שתייצג יחס ישר?

x1682
y10.25

פתרון
ערך ה x גדל פי מ 8 ל 16.
לכן ערך ה y צריך לגדול גם הוא פי 2 מ 1 ל 2.
המספר החסר הוא 2.

תרגיל 2
נתונה הפונקציה y=2x.

  1. השלימו את ערכי הטבלה המצורפת מטה.
  2. האם ביון ערכי ה- X וה- Y יש יחס ישר או הפוך?
X12410
Y20

פתרון

X12410
Y24820

2- בין ערכי ה- X וה- Y מתקיים יחס ישר משום שכאשר האחד עולה גם השני עולה ובאותו יחס.

תרגיל 3

קבעו אם במקרים הבאים מתקיים יחס ישר / יחס הפוך או לא זה ולא זה.

  1. ממלאים דלק במכונית בקצב קבוע. מה סוג היחס בין הזמן שעובר לכמות הדלק במכונית?
  2. מכונית נוסעת במהירות קבועה מתל אביב לירושלים. מה סוג היחס בין הזמן שעובר למרחקה מירושלים?
  3. במלבן יש צלע באורך 10 ס"מ וצלע נוספת באורך משתנה.  מה הקשר בין אורך הצלע הנוספת להיקף המלבן?
  4. במלבן יש צלע באורך 10 ס"מ וצלע נוספת באורך משתנה. מה הקשר בין אורך הצלע הנוספת לשטח המלבן?
  5. מה סוג הקשר בין גודל רדיוס מעגל להיקף מעגל? לשטח עיגול?

פתרון

  1. ממלאים דלק במכונית בקצב קבוע. מה סוג היחס בין הזמן שעובר לכמות הדלק במכונית? יחס ישר. משום שכאשר הזמן גדל פי 2 גם כמות הדלק גדלה פי 2 (ניתן להציב במקום 2 כל מספר אחר).
  2. מכונית נוסעת במהירות קבועה מתל אביב לירושלים. מה סוג היחס בין הזמן שעובר למרחקה מירושלים? יחס הפוך. משום שכאשר הזמן גדל פי 2 המרחק קטן פי 2. (ניתן להציב במקום 2 כל מספר אחר).
  3. במלבן יש צלע באורך 10 ס"מ וצלע נוספת באורך משתנה.  מה הקשר בין אורך הצלע הנוספת להיקף המלבן? לא יחס ישר ולא יחס הפוך. משום שכאשר אורך הצלע הנוספת גדל פי 2 (או כל מספר אחר) לא ניתן להגיד שום דבר על מדויק על היקף המלבן. למשל כאשר אורך הצלע הנוספת 5 ס"מ היקף המלבן הוא 30 ס"מ. כאשר אורך הצלע הנוספת הוא גדל פי 2 ל 10 ס"מ היקף המלבן הוא 40 ס"מ (כלומר ההיקף לא גדל פי 2).
  4. במלבן יש צלע באורך 10 ס"מ וצלע נוספת באורך משתנה. מה הקשר בין אורך הצלע הנוספת לשטח המלבן? יחס ישר. כי כאשר הצלע גדלה פי 2 גם השטח גדל פי 2. אם למשל אורך הצלע הוא x אז השטח הוא 10x. אם אורך הצלע הוא 2x אז שטח המלבן הוא 2x*10=20x. כלומר בשטח גדל באותה מידה שהצלע גדלה.
  5. מה סוג הקשר בין גודל רדיוס מעגל להיקף מעגל? לשטח עיגול? היחס בין גודל הרדיוס להיקף המעגל הוא יחס ישר. כאשר הרדיוס גדל פי מספר מסוים כך גם יגדל היקף המעגל. זה נובע מהנוסחה P=2₶r.
    היחס בין הרדיוס לשטח העיגול הוא לא יחס ולא יחס הפוך וזה בגלל שהנוסחה לשטח עיגול כוללת את הרדיוס בריבוע S=₶r². כלומר כאשר הרדיוס גדל פי 3 שטח המעגל גדל פי 9.

תרגילים בנושא יחס הפוך

תרגיל 1
דנה שותלת בגינה 120 פרחים ב- 8 ימים בכמה ימים ישתלו את אותה כמות פרחים 4 עובדים שכל אחד מיהם עובד בקצב של דנה?
האם היחס בין מספר העובדים למספר ימי העבודה הוא יחס ישר או הפוך?
האם היחס בין מספר העובדים למספר הפרחים הנשתלים בכול יום הוא יחס ישר או הפוך?

פתרון
חלק ראשון.
מספר הפרחים שדנה שותלת בכל יום הוא
15 = 120:8.
4 עובדים ישתלו בכול יום:
60 =  4*15  פרחים.

נחשב את מספר ימי העבודה של 4 עובדים:
2 = 120:60
תשובה: ל 4 עובדים ידרשו 2 ימים על מנת לשתול 120 פרחים.

חלק שני
כאשר כמות העובדים גדלה פי 4 כך מספר ימי קטנו פי 4. לכן הקשר בין ימי העבודה למספר העובדים הוא יחס הפוך.

חלק שלישי
ככול שיש יותר עובדים כך נשתלים יותר פרחים בכל יום פי כמות קבועה ולכן זה יחס ישר.
אם נגדיל את מספר העובדים פי 4 מספר הפרחים הנשתלים ביום יגדל פי 4.

תרגיל 2
שטח מלבן הוא 80 סמ"ר מצורפת טבלה ובה נתון גודל של צלע אחד.

  1. גודל הצלע השנייה עובר שינוי. שנו את גודל הצלע השנייה כך ששטח המלבן יישאר 80 סמ"ר.
  2. האם בין גדלי הצלעות מתקיים יחס ישר או הפוך?
צלע X41020
צלע Y

פתרון

הנוסחה של שטח מלבן היא מכפלת הצלעות X*Y.

צלע X41020
צלע Y2084

בין גדלי הצלעות מתקיים יחס הפוך משום שכאשר צלע אחת עולה צלע שנייה יורדת ובאותו יחס.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.