משפט חפיפה שני זווית צלע זווית

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שני: שני משולשים השווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שביניהן הם משולשים חופפים.

שימו לב שעל מנת להוכיח חפיפת משולשים עליכם להוכיח שוויון של שתי הזוויות הצמודות לצלע השווה.
וזה למרות שאם שתי זוויות כלשהן במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז גם הזווית השלישית בשתי המשולשים חייבת להיות שווה (נובע מכך שסכום זוויות במשולש שווה ל 180 מעלות).
בשורה התחתונה עליכם להוכיח שוויון של שתי זוויות הצמודות לצלע השווה.

תרגילים

תרגיל 1

על צלע BC במשולש ABC בנו משולש נוסף BCD.
ABD = ∠CDB,    ∠ADB = ∠CBD∠

  1. הוכיחו חפיפת משולשים. הקפידו על רישום החפיפה בסדר האותיות הנכון.
  2. איזו צלע שווה לצלע CB?

שרטוט התרגיל, משפט חפיפה שני

פתרון

הרגל טוב (והכרחי) הוא לסמן את הנתונים על השרטוט.

שרטוט הנתונים, משפט חפיפה שני

  1. BD צלע משותפת ולכן שווה בשני המשולשים.
  2. ABD ≅CDB המשולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
  3. CB= AD צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. (האותיות של CB נמצאות במקומות 1,3 ולכן הצלעות המתאימות לה נמצאות במקומות 1,3).

תרגיל 2

הישרים AC ו BD חותכים זה את זה בנקודה E כך ש AB = CD.
A = ∠C∠.
הוכיחו כי הנקודה E היא אמצע BD.

שרטוט התרגיל, משפט חפיפה שני

ניתן לפתור תרגיל זה בשתי דרכים, בעזרת "סכום זוויות במשולש שווה ל- 180 מעלות" או בעזרת הוכחת ישרים מקבילים.
אתם צריכים לדעת את שני הפתרונות, כי שניהם הם דרכי חשיבה בסיסיות בגיאומטריה ומשתמשים בכול אחד מיהם פעמים רבות.

פתרון בעזרת "סכום זוויות במשולש".
הרעיון של הפתרון:

  1. כאשר אומרים "הוכיחו כי הנקודה E היא אמצע BD" בעצם מבקשים מאיתנו להוכיח BE=ED.
  2. על מנת להוכיח את חפיפת המשולשים עלינו להוכיח D = ∠B∠ . מוכיחים זאת בעזרת סכום זוויות במשולש, אם שתי זוויות שוות בשני משולשים אז גם הזווית השלישית צריכה להיות שווה.

פתרון מלא

  1. AB = CD נתון.
  2. A = ∠C∠ נתון.
  3. AEB = ∠CED∠ זוויות קודקודיות.
  4. D = 180 – ∠C – ∠CED∠
  5. B = 180- ∠A – ∠AEB∠
  6. D = ∠B∠ כלל המעבר.
  7. AEB ≅ CED חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 1,2,6)
  8. BE = DE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ( שתי הצלעות נמצאות במקום 3,2 ברישום החפיפה).
הסבר בשרטוט של הפתרון

הסבר בשרטוט של הפתרון

פתרון בעזרת הוכחת ישרים מקבילים

  1. A = ∠C∠ נתון.
  2. AB || CD אם בין שני ישרים יש זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  3. B = ∠D∠   זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  4. AEB ≅ CED חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 1,2,3)
  5. BE = DE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. ( שתי הצלעות נמצאות במקום 3,2 ברישום החפיפה).

תרגיל 3

על הצלע AB בנו את המשולשים ADC ו BEC.
AC=BC, ∠B = ∠A
ACE = ∠BCD∠
הוכיחו: DC=EC.

שרטוט התרגיל, משפט חפיפה שני

הר

פתרון

  1. AC=BC, ∠B = ∠A נתון.
  2. ACD = ∠ACE – ∠ECD∠
  3. BCE = ∠BCD – ∠ECD∠
  4. ACD = ∠BCE∠ כלל המעבר.
  5. ACD ≅ BCE חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז (נובע מ 1,4).

הסבר לפתרון בשרטוט:

הזוויות האדומות שוות (זה נתון). הזווית הירוקה היא חלק משתי הזוויות האדומות. לכן הזווית הכתומה שווה לזווית האדומה פחות הזוויות הירוקה. לכן שתי הזוויות הכתומות שוות.

הזוויות האדומות שוות (זה נתון).
הזווית הירוקה היא חלק משתי הזוויות האדומות.
לכן הזווית הכתומה שווה לזווית האדומה פחות הזוויות הירוקה.
לכן שתי הזוויות הכתומות שוות.

עוד באתר:

  1. חשבון לכיתה ח – נושאי לימוד של שנה זו.
שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “משפט חפיפה שני זווית צלע זווית

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    איך אני יודעת מתי לחסר זוויות ומתי לא? בתרגיל 2 יש לי חיסור ולא הבנתי בכלל.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      בתרגיל 2, שורות 4-5 יש בעצם את ההוכחה של המשפט האומר "אם בשני משולשים יש שתי זוויות שוות אז גם הזווית השלישית בשתי המשולשים שווה".
      את המשפט הזה אתה צריך להבין. (המשפט הזה נובע מכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות. ואם שתי זוויות שוות למשל 100 אז השלישית חייבת להיות 80, וכל בשני המשולשים).
      לאחר שהבנת את המשפט אתה צריך ללמוד כיצד כותבים את ההוכחה בצורה מתמטית.
      את צריך לשבת ולקרוא / לשנן את ההוכחה שרשומה שם עד שתדע לכתוב אותה בעצמך.
      הידע הזה הוא כלי אחד.
      בדיוק באותה צורה עליך לרכוש כלים מתמטיים נוספים.
      ואז כאשר תתקל בשאלה המוח שלך יגיד " על מנת לפתור את השאלה עליי להשתמש בכלי הזה".
      ככול שיהיו לך יותר כלים תוכל לפתור יותר שאלות.
      הדבר הזה נכון עבור כל בעל מקצוע. תחשוב למשל על לוחם קראטה. הוא לומד להכות בצורות שונות, אלו הכלים שלו.
      וכאשר הוא מגיע לקרב הוא משתמש בכלים שיביאו לו את הניצחון.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.