סטטיסטיקה, ממוצע וחציון כיתה ח

בדף זה מידע על סטטיסטיקה על פי החומר של כיתה ח.

הדף מחולק ל 4 חלקים:

  1. שכיחות, שכיחות יחסית, שכיח וטווח נתונים – בחלק זה אין צורך להתעמק ואתם צריכים רק להכיר את המשמעות של כל אחד מהמושגים.
  2. ממוצע וממוצע של קבוצות – זה החלק החשוב של הדף. עליכם לדעת כיצד לחשב ממוצע וממוצע של קבוצות. כמו כן עליכם להכיר מאפיינים של הממוצע. (מומלץ לצפות בוידאו).
  3. חציון – מדד זה פחות חשוב מהממוצע אך עליכם לדעת כיצד מחשבים אותו כאשר מספר איברי הקבוצה הוא זוגי או אי זוגי. כאשר הנתונים מוצגים במספרים וכאשר הנתונים מוצגים בטבלה.
  4. ממוצע לעומת חציון – עליכם להכיר את ההבדלים והדמיון בין שני מדדים.
    הדבר העיקרי שעליכם לדעת הוא שאין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר מהאחר.
    ושההבדל העיקרי בניהם הוא שהממוצע מושפע מאוד מערכים קיצוניים, ולעתים כאשר הערכים קיצוניים מאוד הממוצע לא מייצג את הקבוצה כולה.
    ולעומת זאת החציון לא מושפע מערכי הקצה, ולפעמים זה לא טוב כי אנחנו כן רוצים תהיה לערכים הללו משמעות.

חלק 1: שכיחות, שכיחות יחסית, שכיח וטווח נתונים

שכיחות – שכיחות של פריט היא מספר הפעמים בהן מופיע הפריט בקבוצה מסוימת.
למשל בקבוצת המספרים 3, 1, 6, 3 השכיחות של המספר 3 היא 2 והשכיחות של המספר 6 היא 1.

שכיחות יחסית – שכיחות יחסית היא מספר הפעמים שמופיעה תוצאה מסוימת מתוך כלל התוצאות.
למשל מכוון שבקבוצת המספרים שהוצגה קודם יש 4 מספרים אז השכיחות היחסית של המספר 3 היא 0.5 = 2:4 והשכיחות היחסית של המספר 6 היא

שכיח – הערך שמופיע יותר פעמים מכל ערך אחר.
במקרה ל קבוצת המספרים 3 הוא השכיח משום שהוא מופיע פעמיים ואילו שאר המספרים פעם אחת.

טווח נתונים  – תחום המספרים של הנתונים, מהקטן ועד הגדול.
במקרה של הקבוצה שלנו טווח הנתונים הוא 1-6.

תרגיל המשלב את כל המושגים

מצורפים ציונים של תלמידים במבחן: 70, 60, 90, 70, 70, 80, 80, 80, 60, 80, 90, 90.

  1. סדרו את הציונים בטבלת שכיחויות.
  2. מה הציון השכיח? מה היא שכיחותו?
  3. מה טווח הנתונים?
  4. מה השכיחות היחסית של הציון 70? מה אחוז התלמידים שקיבל 70?

פתרון

ציון 60 70 80 90
שכיחות 2 3 4 3

הציון השכיח הוא 80, שכיחותו 4.

טווח הנתונים הוא 60-90.

השכיחות היחסית של 70 היא 3/12.
אחוז התלמידים שקיבל 70 הוא:
25 = 300/12 = 100 (3/12)
תשובה: 25% מהתלמידים קיבלו 70.

חלק 2: ממוצע וממוצע של קבוצות

איך מחשבים ממוצע

נוסחה לחישוב ממוצע

דוגמאות:

סכום מחיר המוצרים שבחנות הוא 3,000. בחנות יש 15 מוצרים. מה המחיר הממוצע של מוצר?

פתרון
200 = 3000:15
תשובה: המחיר הממוצע הוא 200 שקלים.

תרגיל שני
במשפחה הגילאים הם 35,30, 10, 5.
מה ממוצע הגילאים במשפחה?

פתרון
סכום הגילאים הוא:
80= 30+35+10+5
מספר האנשים הוא: 4.
לכן הממוצע הוא:
20 = 80:4.
תשובה: ממוצע הגילאים במשפחה הוא 20.

הערות על ממוצע

  1. אם מוספים לכל הנתונים מספר קבוע הממוצע משתנה באותו מספר.
  2. אם מוסיפים לקבוצה פריט שערכו כערך הממוצע אז הממוצע לא משתנה. אם הפריט אינו שווה לממוצע אז הממוצע משתנה.
  3. אם מעלים / מורידים את כל הנתונים באחוז קבוע אז גם הממוצע משתנה באותו אחוז.
  4. לא חייב להיות איבר בקבוצה שערכו כערך הממוצע.
  5. סכום כל הסטיות/ ההפרשים מהממוצע שווה ל 0.
    למשל אם יש קבוצת מספרים 5,14,20,21.
    הממוצע של קבוצת המספרים הוא 15 = 4 : (21+20+14+5)
    אז ההפרשים של המספרים מהממוצע הם:
    6 = 15 – 21
    5 = 15 – 20
    1- = 15 – 14
    10- = 15 – 5
    סכום ההפרשים מהממוצע הוא:
    0 = 6+5-1-10.
    כלומר סכום הסטיות / ההפרשים מהממוצע הוא 0.
  6. עליכם לדעת לחשב ממוצע מתוך טבלת שכיחות – כמו תרגיל 6 שבהמשך.

תרגילים עם פתרונות מלאים

חישוב ממוצע פשוט

לפניכם 4 תרגילים לחישוב ממוצע פשוט.
תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים וחשובים (כולם צריכים לדעת).
תרגילים 3-4 יכולים להועיל אך הם פחות חשובים.

תרגיל 1 (חישוב ממוצע)

חשבו את הממוצע של המספרים הבאים:
5,2,7,6,0

פתרון
סכום המספרים הוא:
20 = 5+2+7+6+0
מספר המספרים הוא: 5.
לכן הממוצע הוא:
4 = 20:5

תרגיל 2 (חישוב ממוצע, מציאת שכיח)

נתונים המספרים הבאים:
4,4,4,6,10,10

  1. מה הוא המספר השכיח? מה שכיחותו?
  2. מה השכיחות היחסית של המספר 10?
  3. מה ממוצע המספרים?

פתרון

1.המספר שמופיע הכי הרבה פעמים הוא 4 והוא מופיע 3 פעמים.
2. המספר 10 מופיע פעמיים מתוך 6 פעמים. לכן השכיחות היחסית היא:
0.333 = 2/6
3. נחשב את סכום המספרים:
38 = 6+ 2*10 + 4*3
יש 6 מספרים לכן הממוצע הוא:
6.333 = 38:6
תשובה: הממוצע הוא 6.333

תרגיל 3 (חישוב ממוצע של משתנים)

נתונים מספרים A,B,C מה הממוצע שלהם?

פתרון
3 / (A+B+C).

תרגיל 4 (סכום הסטיות מהממוצע)

ממוצע של 4 אנשים הוא 70. האנשים רשמו את מרחק הציון שלהם מהציון הממוצע:
6, 10, 2, 20-

  1. האם זה אפשרי או שיש כאן טעות?
  2. הציעו שינוי במספר אחד שיאפשר לנתונים להיות נכונים.

פתרון
יש טעות. סכום הסטיות מהממוצע צריך להיות 0. כאן אנו רואים שסכום המספרים שמעל הממוצע הוא 18 ואילו סכום המספרים שמתחת הוא 20.
מכוון שסכום הסטיות מהממוצע צריך להיות 0 יש כאן טעות.

שינוי שיאפשר לנתונים להיות נתונים הוא הגדלה של אחד מהמספרים החיוביים ב 2. למשל 6>> 8,   10 >> 12. או הגדלה של 20- ב 2 ל 18-.

ממוצע של קבוצות

תרגילים 5-10 הם תרגילי חישוב ממוצע של קבוצות.
זה הנושא החשוב ביותר בדף.
לכל התרגילים פתרון כתוב ופתרון וידאו. פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

כל תרגיל מדגים שאלה מסוג אחר;
תרגיל 5 הוא תרגיל ללימוד הנושא.
תרגיל 6 דומה אך בו איבר חדש מצטרף לקבוצה קיימת.
תרגיל 7 הוא חישוב על פי טבלה.
תרגיל 8 כולל שימוש במשתנה, הממוצע ידוע וצריך לחפש משהו אחר.
תרגיל 9 משלב בין ממוצע ליחס.

תרגיל 5

בכיתה 10 תלמידים קיבלו ציון 8.
7 תלמידים קיבלו ציון 9.
אלו כל תלמידי הכיתה.
מה ממוצע הציונים בכיתה?

פתרון
שלב א: חישוב מספר התלמידים בכיתה
מספר התלמידים בכיתה הוא:
17 = 7 + 10.

שלב ב: חישוב סכום הציונים של כל תלמידי הכיתה
סכום הציונים של אלו שקיבלו ציון 8 הוא:
80 = 10 * 8
סכום הציונים של אלו שקיבלו 9 הוא:
63 = 9 * 7
סכום הציונים של כל תלמידי הכית ה הוא:
143 = 63 + 80

שלב ג: חישוב הממוצע
הנוסחה לחישוב ממוצע היא אותה נוסחה:
נוסחה לחישוב ממוצע

x = 143 : 17 = 8.411
תשובה: ממוצע הציונים של תלמידי הכיתה הוא 8.411.

תרגיל 6 (הוספת ציון לממוצע קיים)

ממוצע ציונים של תלמיד ב 5 מקצועות הוא 82. במחצית השנייה של שנת הלימודים נוסף עוד מקצוע שבו קיבל התלמיד 90.

  1. האם ממוצע ציוני התלמיד יעלה או ירד?
  2. מה הממוצע החדש של התלמיד בששת המקצועות?
  3. בית הספר החליט להעלות את כל ציוני התלמידים ב 10%. מה הממוצע החדש של התלמיד?

פתרון

סעיף א
ממוצע הציונים של התלמיד יעלה. משום שהציון שנוסף גבוה מהממוצע.

סעיף ב
ניתן לראות את הנתונים כאילו יש לנו שתי קבוצות.
בקבוצה הראשונה 5 ציונים שכל אחד מיהם 82.
בקבוצה השנייה ציון אחד שהוא 90.

נחשב את סכום הציונים של התלמיד:
410 = 5*82  סכום הציונים של חמשת המקצועות הראשונים.
90 = 1 * 90  (סכום המקצוע השישי)
500 = 410+90 (סכום ששת המקצועות)

נחשב את הממוצע:
83.333 = 500:6
תשובה: הממוצע החדש הוא 83.333.

סעיף ג
כאשר מעלים את כל אחד מהציונים המרכיבים
את הממוצע ב 10% אז גם הממוצע גדל ב 10%.
1.1 = 100 / 110 = 110%
91.6663 = 83.333 * 1.1
תשובה: הממוצע החדש הוא 91.6663.

תרגיל 7 (חישוב ממוצע וחציון על פי טבלת שכיחויות, תרגיל מסכם וחשוב)

נתונים ציונים של תלמידים באנגלית:

ציון 9 8 7
מספר תלמידים 10 20 5
  1. מה ממוצע הציונים באנגלית של תלמידי הכיתה?
  2. מה החציון של תלמידי הכיתה?
  3. מה הציון של החציון?

(אם לא למדתם חציון ענו רק על סעיף 1).

פתרון
חישוב ממוצע
סכום הציונים הוא:
285 = 5*7 + 20*8  + 9*10
מספר התלמידים הוא:
35 = 20+10+5
הממוצע הוא:
8.14 = 285:35
תשובה: ממוצע הציונים של תלמידי הכיתה באנגלית הוא 8.14.

איזה איבר הוא החציון?
יש 35 ציונים.
כאשר מספר הציונים הוא אי זוגי מחשבים את החציון על פי הנוסחה

חציון

N הוא מספר האיברים

לכן החציון נמצא במקום:
18 = 2 : (1 + 35)

חישוב הציון של החציון
נסתכל על הטבלה ונחפש היכן נמצא המקום  ה 18.

ציון 9 8 7
מספר תלמידים 10 20 5

האם הוא נמצא בתא הראשון של הציון 7?
לא. נמצאים שם רק 5 האיברים הראשונים.
האם הוא נמצא בתא השני של הציון 8?
האיבר השישי הוא האיבר שראשון שנמצא שם והאיבר ה 25 הוא האיבר האחרון הנמצא שם.
לכן גם האיבר ה 18 נמצא שם.
תשובה: החציון הוא הציון 8.

* תרגיל 8 (שימוש במשתנה. נתון ממוצע, עליכם למצוא דבר אחר)

הציון הממוצע בכיתה הוא 8.
לכיתה נוספו שני תלמידים עם ציונים 8 ו 9.
עכשיו הממוצע הכיתתי הוא 8.05.
כמה תלמידים היו בכיתה לפני הצטרפות התלמידים החדשים?

פתרון
x – מספר התלמידים בכיתה לפני הצטרפות התלמידים החדשים.
8x – סכום הציונים של התלמידים הוותיקים.
8x + 17 – סכום הציונים של התלמידים החדשים + הוותיקים.
x+2   – מספר התלמידים עכשיו.
הממוצע הוא 8.05 ולכן:
8x+17)/ x+2 = 8.05)
16.1 -8x+17 = 8.05x+16.1 / -8x
0.05x = 0.9  /*20
x=18
תשובה: מספר התלמידים שהיו בכיתה לפני הצטרפות התלמידים החדשים הוא 18.

תרגיל 9 (משלב בין ממוצע ויחס)

בכיתות ח1 ו ח2 יש ביחד 63 תלמידים.
יחס התלמידים בין ח1 ל ח2 הוא 5:4.
ממוצע ציוני המתמטיקה ב ח1 הוא 74 וב ח2 הממוצע 91.
מה ממוצע ציוני המתמטיקה בשתי הכיתות יחד?

פתרון

שלב א: מציאת מספר התלמידים בכול כיתה
נגדיר
4x הוא מספר התלמידים ב ח2.
לכן 5x הוא מספר התלמידים ב ח1.

המשוואה היא:
4x + 5x = 63  /:9
x  = 7

בכיתה ח2 28 תלמידים.
בכיתה ח1 35 תלמידים.

שלב ב: חישוב ממוצע
סכום הציונים בשתי הכיתות:
5138 = 28 * 91 + 35 * 74
הממוצע הוא:
81.55 = 63 : 5138

תשובה: ממוצע ציוני המתמטיקה בשתי הכיתות הוא 81.55.

תרגיל 10 (משלב בין ממוצע ואחוזים)

בכיתה ח2 ממוצע הציונים במתמטיקה גבוה ב 20% מהממוצע בכיתה ח1.
הממוצע של תלמידי שתי הכיתות ביחד הוא 80.
בכיתה ח1 יש 34 תלמידים ובכיתה ח2 17 תלמידים.
מה הוא הממוצע בכיתה ח1? ומה הממוצע בכיתה ח2?

פתרון
עלינו לבחור משתנה.
x  ממוצע הציונים בכיתה ח1.
ולכן:
1.2x  ממוצע הציונים בכיתה ח2.

נחשב את סכום הציונים בשתי הכיתות יחד.
34x + 17*1.2x = 34x + 20.4x = 54.4x
מספר התלמידים בשתי הכיתות הוא:
51 = 17 + 34

ממוצע הציונים בשתי הכיתות יחד הוא80.
לכן על פי הנוסחה לחישוב ממוצע נקבל:
54.4x : 51 = 80
54.4x = 80 * 51 = 4080
54.4x = 4080  / :54.4
x = 75
ממוצע הציונים בכיתה ח1 הוא 75.

ממוצע הציונים בכיתה ח2 הוא:
90 = 1.2 * 75

עוד באתר:

חלק 3: חציון

הגדרת החציון

כאשר נתונים מסודרים בסדר עולה החציון הוא האיבר שיש מספר שווה של איברים מעליו ומתחתיו.

למשל: אם הקבוצה היא 1  ,1,  6,  55,  100. אז החציון הוא המספר 6 משום שיש 2 איברים מעליו ומתחתיו.

כאשר יש N איברים בקבוצה ומספר איברי הקבוצה הוא אי זוגי אז החציון נמצא במקום:

(N+1)/2

כלומר אם יש 51 איברים בקבוצה אז החציון נמצא במקום  26 =  2/(51+1)

אם מספר האיברים הוא זוגי אין איבר שיש מעליו ומתחתיו את אותו מספר איברים. במקרה זה החציון הוא הממצע של האיברים הנמצאים במקומות 2/N ו- 2/ (2+N).

כלומר אם בקבוצה 10 איברים והאיבר במקום החמישי הוא 20 ובמקום השישי הוא 30 אז החציון יהיה  25 = (30 + 20)

נתונים בקצוות:

אם מוסיפים מספר זהה של נתונים מעל החציון ומתחתיו החציון לא משתנה.
אם מוסיפים נתונים רק מעל החציון או מתחתיו החציון יכול להשתנות אך לא חייב להשתנות.

תרגיל 1

התבוננו בטבלה וחשבו את החציון

ציון 9 8 7 6
מספר תלמידים 3 10 8 4

מספר התלמידים הוא:
25 = 4+8+10+3
לכן החציון נמצא במקום:
13 = 2 : (25+1)

המקום ה 13 נמצא בציון 8 ולכן 8 הוא החציון.

תרגיל 2

חנות גלידה מוכרת גלידה בגביע, בכל גביע מספר כדורים אחר.
בטבלה מספר הגביעים שנמכרו עם כל מספר כדורים ביום מסוים.

מספר כדורים 4 3 2 1
מספר גביעים שנמכרו 4 4 14 12

מספר הגביעים שנמכרו הוא:
34 = 12 + 14 + 4 + 4
לכן החציון הוא הממוצע של המקומות 17 ו 18.
שני המקומות הללו שייכים למכירת 2 כדורים.
לכן החציון הוא 2.

חלק 4: ממוצע לעומת חציון

החלק החשוב. ממוצע לעומת חציון מה הם היתרונות והחסרונות?

ממוצע הוא ערך שמושפע ומייצג את כל האיברים שסביבו ולכן השימוש בוא נפוץ יותר מהחציון.
הבעיה של הממוצע היא שהוא מושפע מאוד מערכים קיצוניים. לעומת זאת החציון אינו מושפע מערכים קיצוניים.

למשל: המספרים  1,1,1,1, 100000 מייצגים הכנסה. הממוצע של המספרים הללו הוא 20,000 וזה כלל לא קרוב למה שמרבית חברי הקבוצה מרוויחים (1). כלומר הממוצע יהיה רחוק מרוב הנתונים שבקבוצה בגלל שהוא מושפע ממספר אחד גדול.
לכן יתכן שבמקרה זה מדד החציון שימושי יותר (החציון הוא 1)

לעומת זאת אם המספרים הם 6,6,6,6,6,20,20,20,20. החציון של קבוצה זו הוא 6. והוא לא אומר לנו דבר על כך שכמעט מחצית מחברי הקבוצה זוכים למספר 20. ממוצע לעומת זאת היה מגיע למספר מאוזן יותר ויתכן שהוא יותר שימושי בקבוצת מספרים כזו.

לסיכום כאשר הרוב המוחלט של המספרים סמוכים אחד לשני ויש מספר קטן של מספרים שהוא קיצוני אז כנראה שחציון מייצג טוב יותר את הקבוצה.
כאשר אין מספרים שהם חריגים מאוד ביחס לקבוצה או כאשר המספרים החריגים נמצאים בשתי הקצוות, כלומר המספרים החריגים הם גם נמוכים וגם גבוהים אז הממוצע יכול להיות מדד מייצג וטוב.

לא ניתן להגיד על הממוצע או החציון שאחד מהם עדיף בכל המקרים.

מה ממשותף לממוצע חציון ושכיח? (לדעתי אין צורך ללמוד בעל פה אלא להבין)

  1. שלושת המדדים נמצאים בתוך טווח הנתונים. בין המספר הגדול ביותר לקטן ביותר.
  2. אם מגדילים / מקטינים את כל הנתונים במספר קבוע או פי מספר קבוע, שלושת המדדים יגדלו / יקטנו גם הם באותו מספר קבוע.
  3. אם מגדילים / מקטינים את כל הנתונים באחוז קבוע אז שלושת המדדים יגדלו / יקטנו באחוז קבוע.
  4. בהתפלגות נורמלית החציון הממוצע והשכיח מתלכדים.
שאלה שאלות

14 תגובות בנושא “סטטיסטיקה, ממוצע וחציון כיתה ח

  1. א.א

    ממש עזרת ממש אשמח להעזר באתר בכל הזדמנות שתהיה לי ללמוד למבחן , גם מובן וברור וגם נותן תרגילים מעניינים ומורכבים

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.