סטטיסטיקה, ממוצע וחציון כיתה ח

בדף זה מידע על סטטיסטיקה על פי החומר של כיתה ח.

הדף מחולק ל 4 חלקים:

  1. שכיחות, שכיחות יחסית, שכיח וטווח נתונים – בחלק זה אין צורך להתעמק ואתם צריכים רק להכיר את המשמעות של כל אחד מהמושגים.
  2. ממוצע וממוצע של קבוצות – זה החלק החשוב של הדף. עליכם לדעת כיצד לחשב ממוצע וממוצע של קבוצות. כמו כן עליכם להכיר מאפיינים של הממוצע. (מומלץ לצפות בוידאו).
  3. חציון – מדד זה פחות חשוב מהממוצע אך עליכם לדעת כיצד מחשבים אותו כאשר מספר איברי הקבוצה הוא זוגי או אי זוגי. כאשר הנתונים מוצגים במספרים וכאשר הנתונים מוצגים בטבלה.
  4. ממוצע לעומת חציון – עליכם להכיר את ההבדלים והדמיון בין שני מדדים.
    הדבר העיקרי שעליכם לדעת הוא שאין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר מהאחר.
    ושההבדל העיקרי בניהם הוא שהממוצע מושפע מאוד מערכים קיצוניים, ולעתים כאשר הערכים קיצוניים מאוד הממוצע לא מייצג את הקבוצה כולה.
    ולעומת זאת החציון לא מושפע מערכי הקצה, ולפעמים זה לא טוב כי אנחנו כן רוצים תהיה לערכים הללו משמעות.

חלק 1: שכיחות, שכיחות יחסית, שכיח וטווח נתונים

שכיחות – שכיחות של פריט היא מספר הפעמים בהן מופיע הפריט בקבוצה מסוימת.
למשל בקבוצת המספרים 3, 1, 6, 3 השכיחות של המספר 3 היא 2 והשכיחות של המספר 6 היא 1.

שכיחות יחסית – שכיחות יחסית היא מספר הפעמים שמופיעה תוצאה מסוימת מתוך כלל התוצאות.
למשל מכוון שבקבוצת המספרים שהוצגה קודם יש 4 מספרים  ו3 מופיע פעמיים אז השכיחות היחסית של המספר 3 היא:

והמספר 6 מופיע פעם אחת מתוך 4, לכן השכיחות היחסית שלו:

שכיח – הערך שמופיע יותר פעמים מכל ערך אחר.
במקרה ל קבוצת המספרים 3 הוא השכיח משום שהוא מופיע פעמיים ואילו שאר המספרים פעם אחת.

טווח נתונים  – תחום המספרים של הנתונים, מהקטן ועד הגדול.
במקרה של הקבוצה שלנו טווח הנתונים הוא 1-6.

טבלת שכיחויות – כפי שאמרנו שכיחות היא מילה נרדפת ל "כמה פעמים הופיע האיבר / המספר".
טבלת שכיחויות היא טבלה המציגה כמה פעמים יש כל ציון.
למשל הטבלה המופיעה 6 שורות למטה בדף זה.

תרגיל המשלב את כל המושגים

מצורפים ציונים של תלמידים במבחן: 70, 60, 90, 70, 70, 80, 80, 80, 60, 80, 90, 90.

  1. סדרו את הציונים בטבלת שכיחויות.
  2. מה הציון השכיח? מה היא שכיחותו?
  3. מה טווח הנתונים?
  4. מה השכיחות היחסית של הציון 70? מה אחוז התלמידים שקיבל 70?

פתרון

ציון60708090
שכיחות2343

הציון השכיח הוא 80, שכיחותו 4.

טווח הנתונים הוא 60-90.

השכיחות היחסית של 70 היא 3/12.
אחוז התלמידים שקיבל 70 הוא:
25 = 300/12 = 100 (3/12)
תשובה: 25% מהתלמידים קיבלו 70.

חלק 2: ממוצע וממוצע של קבוצות

איך מחשבים ממוצע

נוסחה לחישוב ממוצע

דוגמה 1
סכום מחיר המוצרים שבחנות הוא 3,000. בחנות יש 15 מוצרים. מה המחיר הממוצע של מוצר?

פתרון
200 = 3000:15
תשובה: המחיר הממוצע הוא 200 שקלים.

דוגמה 2
במשפחה הגילאים הם 35,30, 10, 5.
מה ממוצע הגילאים במשפחה?

פתרון
סכום הגילאים הוא:
80= 30+35+10+5
מספר האנשים הוא: 4.
לכן הממוצע הוא:
20 = 80:4.
תשובה: ממוצע הגילאים במשפחה הוא 20.

הערות על ממוצע

1.אם מוספים לכל הנתונים מספר קבוע הממוצע משתנה באותו מספר.
למשל: הממוצע של 10,15,20 הוא 15.
אם נוסיף 3 לכל אחד מהמספרים נקבל
13,18,23
והממוצע יהיה:
18 = 3 + 15

2.אם מוסיפים לקבוצה פריט שערכו כערך הממוצע אז הממוצע לא משתנה.
למשל אם נוסיף לקבוצה 10,15,20 את המספר 15 הממוצע ישאר 15.

3. לא חייב להיות איבר בקבוצה שערכו כערך הממוצע.
למשל הממוצע של המספרים 2,2,5 הוא 3.

תרגילים עם פתרונות מלאים

חישוב ממוצע פשוט

לפניכם 4 תרגילים לחישוב ממוצע פשוט.
תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים וחשובים (כולם צריכים לדעת).
תרגילים 3-4 יכולים להועיל אך הם פחות חשובים.

תרגיל 1 (חישוב ממוצע)
חשבו את הממוצע של המספרים הבאים:
5,2,7,6,0

פתרון
סכום המספרים הוא:
20 = 5+2+7+6+0
מספר המספרים הוא 5.

לכן הממוצע הוא:

תשובה: ממוצע המספרים הוא 4.

תרגיל 2 (חישוב ממוצע, מציאת שכיח)
נתונים המספרים הבאים:
4,4,4,6,10,10

  1. מה הוא המספר השכיח? מה שכיחותו?
  2. מה השכיחות היחסית של המספר 10?
  3. מה ממוצע המספרים?

פתרון
סעיף א: השכיח
השכיח הוא המספר שמופיע הכי הרבה פעמים וזה 4?
השכיחות של המספר 4 היא 3 פעמים.

סעיף ב: שכיחות יחסית
המספר 10 מופיע פעמיים מתוך 6 פעמים. לכן השכיחות היחסית היא:
2/6

סעיף ג: חישוב ממוצע
נחשב את סכום המספרים:
38 = 6+ 2*10 + 4*3
יש 6 מספרים לכן הממוצע הוא:

תשובה: הממוצע הוא 6.333

תרגיל 3 (חישוב ממוצע של משתנים)
נתונים מספרים A,B,C מה הממוצע שלהם?

פתרון
3 / (A+B+C).

תרגיל 4 (סכום הסטיות מהממוצע)
ממוצע של 4 אנשים הוא 70. האנשים רשמו את מרחק הציון שלהם מהציון הממוצע:
6, 10, 2, 20-

  1. האם זה אפשרי או שיש כאן טעות?
  2. הציעו שינוי במספר אחד שיאפשר לנתונים להיות נכונים.

פתרון
יש טעות. סכום הסטיות מהממוצע צריך להיות 0.
לעומת זאת סכום המספרים המופיע כאן:
2- = 20 – 6 +10 +2
ומכוון שסכום הסטיות מהממוצע צריך להיות 0 יש כאן טעות.

שינוי שיאפשר לנתונים להיות נתונים הוא הגדלה של אחד מהמספרים החיוביים ב 2.
למשל  שה 6 יהפוך להיות 8 או שה 10 יהפוך להיות 12.

אפשרות אחרת היא להגדיל את המספר השלילי שה 20- יהפוך להיות 18-.

ממוצע של קבוצות

תרגילים 5-10 הם תרגילי חישוב ממוצע של קבוצות.
זה הנושא החשוב ביותר בדף.
לכל התרגילים פתרון כתוב ופתרון וידאו. פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

כל תרגיל מדגים שאלה מסוג אחר;
תרגיל 5 הוא תרגיל ללימוד הנושא.
תרגיל 6 דומה אך בו איבר חדש מצטרף לקבוצה קיימת.
תרגיל 7 הוא חישוב על פי טבלה.
תרגיל 8 כולל שימוש במשתנה, הממוצע ידוע וצריך לחפש משהו אחר.
תרגיל 9 משלב בין ממוצע ליחס.

תרגיל 5
10 תלמידים  בכיתה קיבלו ציון 8.
7 תלמידים קיבלו ציון 9.
אלו כל תלמידי הכיתה.

  1. הציגו את הנתונים בטבלת שכיחויות.
  2. חשבו את ממוצע הציונים בכיתה?

פתרון
סעיף א: טבלת שכיחויות

ציון98
מספר תלמידים710

סעיף ב: חישוב ממוצע
מספר התלמידים בכיתה הוא:
17 = 7 + 10.

חישוב סכום הציונים של כל תלמידי הכיתה
סכום הציונים של אלו שקיבלו ציון 8 הוא:
80 = 10 * 8
סכום הציונים של אלו שקיבלו 9 הוא:
63 = 9 * 7
סכום הציונים של כל תלמידי הכיתה הוא:
143 = 63 + 80

הנוסחה לחישוב ממוצע היא:
נוסחה לחישוב ממוצע

תשובה: ממוצע הציונים של תלמידי הכיתה הוא 8.411.

תרגיל 6 (הוספת ציון לממוצע קיים)
ממוצע ציונים של תלמיד ב 5 מקצועות הוא 82. במחצית השנייה של שנת הלימודים נוסף עוד מקצוע שבו קיבל התלמיד 90.

  1. האם ממוצע ציוני התלמיד יעלה או ירד?
  2. מה הממוצע החדש של התלמיד בששת המקצועות?
  3. בית הספר החליט להעלות את כל ציוני התלמידים ב 10%. מה הממוצע החדש של התלמיד?

פתרון
סעיף א
כאשר מוסיפים לקבוצת ציונים ציון הגבוה מהממוצע הממוצע עולה.
לכן כאשר נוסיף 90 לקבוצת ציונים שהממוצע שלה 82 הממוצע יעלה.

סעיף ב
ניתן לראות את הנתונים כאילו יש לנו שתי קבוצות.
בקבוצה הראשונה 5 ציונים שכל אחד מיהם 82.
בקבוצה השנייה ציון אחד שהוא 90.

נחשב את סכום הציונים של התלמיד:
410 = 5*82  סכום הציונים של חמשת המקצועות הראשונים.
90 = 1 * 90  (סכום המקצוע השישי)
500 = 410+90 (סכום ששת המקצועות)

מספר המקצועות הוא 6.
לכן הממוצע הוא:

תשובה: הממוצע החדש הוא 83.333.

אם היינו רוצים לארגן את הנתונים בטבלת שכיחויות זה היה נראה כך:

ציון9082
מספר פעמים15

סעיף ג
כאשר מעלים את כל אחד מהציונים המרכיבים
את הממוצע ב 10% אז גם הממוצע גדל ב 10%.

הממוצע החדש מתקבל על ידי התרגיל:
91.6663 = 83.333 * 1.1
תשובה: הממוצע החדש הוא 91.6663.

תרגיל 7 (חישוב ממוצע וחציון על פי טבלת שכיחויות, תרגיל מסכם וחשוב)
נתונים ציונים של תלמידים באנגלית:

ציון987
מספר תלמידים10205
  1. מה ממוצע הציונים באנגלית של תלמידי הכיתה?
  2. באיזה מקום נמצא החציון של תלמידי הכיתה?
  3. מה הציון של החציון?

(אם לא למדתם חציון ענו רק על סעיף 1).

פתרון
סעיף א: חישוב ממוצע
סכום הציונים הוא:
285 = 5*7 + 20*8  + 9*10
מספר התלמידים הוא:
35 = 20+10+5
הממוצע הוא:

תשובה: ממוצע הציונים של תלמידי הכיתה באנגלית הוא 8.14.

סעיף ב: באיזה מקום נמצא החציון?
יש 35 ציונים.
כאשר מספר הציונים הוא אי זוגי מחשבים את החציון על פי הנוסחה

חציון

N הוא מספר האיברים

לכן החציון נמצא במקום:

סעיף ג: חישוב הציון של החציון
נסתכל על הטבלה ונחפש היכן נמצא המקום  ה 18.

ציון987
מספר תלמידים10205

האם הוא נמצא בתא הראשון של הציון 7?
לא. נמצאים שם רק 5 האיברים הראשונים.
האם הוא נמצא בתא השני של הציון 8?
האיבר השישי הוא האיבר שראשון שנמצא שם והאיבר ה 25 הוא האיבר האחרון הנמצא שם.
לכן גם האיבר ה 18 נמצא שם.
תשובה: החציון הוא הציון 8.

* תרגיל 8 (שימוש במשתנה. נתון ממוצע, עליכם למצוא דבר אחר)
הציון הממוצע בכיתה הוא 8.
לכיתה נוספו שני תלמידים עם ציונים 8 ו 9.
עכשיו הממוצע הכיתתי הוא 8.05.
כמה תלמידים היו בכיתה לפני הצטרפות התלמידים החדשים?

פתרון
נגדיר:
x – מספר התלמידים בכיתה לפני הצטרפות התלמידים החדשים.

נחשב את סכום הציונים
8x – סכום הציונים של התלמידים הוותיקים.
8x + 17 – סכום הציונים של התלמידים החדשים + הוותיקים.

מספר התלמידים
x+2   – מספר התלמידים עכשיו.

הממוצע הוא 8.05 ולכן המשוואה היא:

נכפיל ב x +2 ונקבל את המשוואה:
8x+17 = 8.05x+16.1
0.05x = 0.9  / *20
x=18
תשובה: מספר התלמידים שהיו בכיתה לפני הצטרפות התלמידים החדשים הוא 18.

תרגיל 9 (משלב בין ממוצע ויחס)
בכיתות ח1 ו ח2 יש ביחד 63 תלמידים.
יחס התלמידים בין ח1 ל ח2 הוא 5:4.
ממוצע ציוני המתמטיקה ב ח1 הוא 74 וב ח2 הממוצע 91.
מה ממוצע ציוני המתמטיקה בשתי הכיתות יחד?

פתרון
שלב א: מציאת מספר התלמידים בכול כיתה
נגדיר
4x הוא מספר התלמידים ב ח2.
לכן 5x הוא מספר התלמידים ב ח1.

המשוואה היא:
4x + 5x = 63  /:9
x  = 7

בכיתה ח2 28 תלמידים.
בכיתה ח1 35 תלמידים.

שלב ב: חישוב ממוצע
סכום הציונים בשתי הכיתות:
5138 = 28 * 91 + 35 * 74
הממוצע הוא:
81.55 = 63 : 5138

תשובה: ממוצע ציוני המתמטיקה בשתי הכיתות הוא 81.55.

תרגיל 10 (משלב בין ממוצע ואחוזים)
בכיתה ח2 ממוצע הציונים במתמטיקה גבוה ב 20% מהממוצע בכיתה ח1.
הממוצע של תלמידי שתי הכיתות ביחד הוא 80.
בכיתה ח1 יש 34 תלמידים ובכיתה ח2 17 תלמידים.
מה הוא הממוצע בכיתה ח1? ומה הממוצע בכיתה ח2?

פתרון
עלינו לבחור משתנה.
x  ממוצע הציונים בכיתה ח1.
ולכן:
1.2x  ממוצע הציונים בכיתה ח2.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלת שכיחויות זה היה נראה כך:

ציוןx1.2x
מספר תלמידים3417

נחשב את סכום הציונים בשתי הכיתות יחד.
34x + 17*1.2x = 34x + 20.4x = 54.4x
מספר התלמידים בשתי הכיתות הוא:
51 = 17 + 34

ממוצע הציונים בשתי הכיתות יחד הוא80.
לכן על פי הנוסחה לחישוב ממוצע נקבל:

נכפיל את המשוואה ב 51 ונקבל:
54.4x = 80 * 51 = 4080
54.4x  = 4080
54.4x = 4080  / :54.4
x = 75
ממוצע הציונים בכיתה ח1 הוא 75.

ממוצע הציונים בכיתה ח2 הוא 1.2x:
90 = 1.2 * 75

עוד באתר:

חלק 3: חציון

על החציון יש 3 סרטוני וידאו.
לאחר מיכן הסבר בטקסט.
לאחר מיכן תרגילים במציאת חציון.

הגדרת החציון, איך מוצאים חציון

הגדרת החציון
כאשר נתונים מסודרים בסדר עולה החציון הוא האיבר שיש מספר שווה של איברים מעליו ומתחתיו.

למשל: אם הקבוצה היא 1  ,1,  6,  55,  100. אז החציון הוא האיבר השלישי (6) משום שיש 2 איברים מעליו ומתחתיו.

מציאת חציון
יש דרך אחת למצוא חציון כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי ודרך אחרת למציאת החציון כאשר מספר האיברים זוגי.

כאשר מספר איברי הקבוצה אי זוגי
כאשר יש N איברים בקבוצה ומספר איברי הקבוצה הוא אי זוגי אז החציון נמצא במקום:

דוגמה:
אם יש 51 איברים בקבוצה אז החציון נמצא במקום

כאשר מספר האיברים זוגי
במצב זה אין איבר שיש מעליו ומתחתיו את אותו מספר איברים.
למשל, קבוצת 4 המספרים הבאה:
1,8,10,15
אם תבחרו את 8 כחציון יהיו 2 איברים מעליו ואחד מתחתיו.
אם תבחרו את 10 כחציון יהיו 2 מתחתיו ואחד מעליו.

לכן בקבוצות שבהם מספר האיברים זוגי נמצא את האיברים במקום ה:

והממוצע שלהם יהיה החציון.
למשל, במקרה של קבוצת המספרים:
1,8,10,15

האיבר במקום N/2 הוא האיבר השני שגודלו 8.
האיבר במקום N + 2)/2) הוא האיבר השלישי שגודלו 10.

החציון הוא הממוצע של שני המספרים הללו 8,10
לכן החציון הוא 9.

כיצד הוספת נתונים בקצוות משפיעה על החציון

אם מוסיפים מספר זהה של נתונים מעל החציון ומתחתיו החציון לא משתנה.
למשל קבוצת המספרים שלנו היא:
6,10,20,30,40
החציון הוא 20.

אם נוסיף מספר מימין לחציון ומספר משמאל לחציון החציון יישאר אותו דבר.
6,10,25,20,30,40,50
גם עבור קבוצת מספרים זו החציון הוא 20.

לעומת זאת, אם מוסיפים נתונים רק מעל החציון או מתחתיו החציון יכול להשתנות אך לא חייב להשתנות.
למשל: נוסיף רק מספר אחד הקטן מהחציון
5,6,10,20,30,40
(עבור קבוצה זו החציון אינו 20).

ולעומת זאת אם נוסיף עוד מספר פעמים את המספר 20, יחד עם מספרים הגדולים מהחציון החציון לא ישתנה.
6,10,20,20,20,30,40,50,60
(עבור קבוצה זו החציון הוא 20).

תרגילים בנושא חציון

תרגיל 1 מתרגל מציאת חציון במספר אי זוגי של איברים.
תרגיל 2 מתרגל מציאת חציון במספר זוגי של איברים.

תרגיל 1
התבוננו בטבלה וחשבו את החציון

ציון9876
מספר תלמידים31084

מספר התלמידים הוא:
25 = 4+8+10+3
לכן החציון נמצא במקום:

13

עכשיו נעבור על הטבלה משמאל לימין עד שנמצא את המקום ה 13.
ציון 6 קיבלו 4 אנשים.
ציון 7 קיבלו 8 אנשים, לכן ציון 7 כולל את המקום ה 12.
ציון 8 קיבלו 10 אנשים, לכן ציון 8 מתחיל במקום ה 13 ומסתיים במקום ה 22.

תשובה: המקום ה 13 נמצא בציון 8 ולכן 8 הוא החציון.

תרגיל 2
חנות גלידה מוכרת גלידה בגביע, בכל גביע מספר כדורים אחר.
בטבלה מספר הגביעים שנמכרו עם כל מספר כדורים ביום מסוים.
מצאו את החציון של מספר הכדורים שנמכרו.

מספר כדורים4321
מספר גביעים שנמכרו441412

פתרון
מספר הגביעים שנמכרו הוא:
34 = 12 + 14 + 4 + 4

לכן החציון הוא הממוצע של המקומות
17 = 2 : 34
18 = 2 : 36

החציון הוא הממוצע של המקומות 17 ו 18.
לאיכן המקומות הללו שייכים?
12 המקומות הראשונים שייכים לכדור 1.
המקומות 13-26 שייכים לשני כדורים.
לכן מקום 17 ומקום 18 מייצגים שני כדורים.

הממוצע של 2 ו 2 הוא 2.
לכן החציון הוא 2.

חלק 4: ממוצע לעומת חציון

החלק החשוב. ממוצע לעומת חציון מה הם היתרונות והחסרונות?

ממוצע הוא ערך שמושפע ומייצג את כל האיברים שסביבו ולכן השימוש בוא נפוץ יותר מהחציון.
הבעיה של הממוצע היא שהוא מושפע מאוד מערכים קיצוניים. לעומת זאת החציון אינו מושפע מערכים קיצוניים.

למשל:
נניח כי המספרים  1,1,1,1, 100000 מייצגים הכנסה חודשית.
הממוצע של המספרים הללו הוא 20,000.
אבל זה כלל לא קרוב למה שמרבית חברי הקבוצה מרוויחים (1).
כלומר הממוצע יהיה רחוק מרוב הנתונים שבקבוצה בגלל שהוא מושפע ממספר אחד גדול.

לכן יתכן שבמקרה זה מדד החציון שימושי יותר (החציון הוא 1), משום שהוא מייצג חלק גדול יותר מחברי הקבוצה.

לעומת זאת אם המספרים הם 6,6,6,6,6,20,20,20,20. החציון של קבוצה זו הוא 6.
והוא לא אומר לנו דבר על כך שכמעט מחצית מחברי הקבוצה זוכים למספר 20.
ממוצע לעומת זאת היה מגיע למספר מאוזן יותר ויתכן שהוא יותר שימושי בקבוצת מספרים כזו.

לסיכום, מתי הממוצע עדיף על חציון?
כאשר אין מספרים שהם חריגים מאוד ביחס לקבוצה או כאשר המספרים החריגים נמצאים בשתי הקצוות, כלומר המספרים החריגים הם גם נמוכים וגם גבוהים אז הממוצע יכול להיות מדד מייצג וטוב.

לסיכום, מתי החציון עדי על הממוצע?
כאשר הרוב המוחלט של המספרים סמוכים אחד לשני ויש מספר קטן של מספרים שהוא קיצוני אז כנראה שחציון מייצג טוב יותר את הקבוצה.

לא ניתן להגיד על הממוצע או החציון שאחד מהם עדיף בכל המקרים.

מה ממשותף לממוצע חציון ושכיח? (לדעתי אין צורך ללמוד בעל פה אלא להבין)

  1. שלושת המדדים נמצאים בתוך טווח הנתונים. בין המספר הגדול ביותר לקטן ביותר.
  2. אם מגדילים / מקטינים את כל הנתונים במספר קבוע או פי מספר קבוע, שלושת המדדים יגדלו / יקטנו גם הם באותו מספר קבוע.
  3. אם מגדילים / מקטינים את כל הנתונים באחוז קבוע אז שלושת המדדים יגדלו / יקטנו באחוז קבוע.
  4. בהתפלגות נורמלית החציון הממוצע והשכיח מתלכדים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

16 thoughts on “סטטיסטיקה, ממוצע וחציון כיתה ח

  1. א.א

    ממש עזרת ממש אשמח להעזר באתר בכל הזדמנות שתהיה לי ללמוד למבחן , גם מובן וברור וגם נותן תרגילים מעניינים ומורכבים

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.