ישרים מקבילים

לדף זה 4 חלקים:

  1. כיצד לזהות בצורה נכונה זוויות מתאימות ומתחלפות בין ישרים מקבילים.
  2. משפטים של ישרים מקבילים.
  3. שגיאות נפוצות.
  4. תרגילים.

החלקים החשובים הם 1 ו- 3.

כיצד לזהות בצורה נכונה זוויות מתאימות ומתחלפות בין ישרים מקבילים

כאשר יש שני ישרים מקבילים וישר שלישי שחותך אותם נוצרות שמונה זוויות.

שרטוט קווים מקבילים וישר שלישי החותך אותם

את המיקום של כל אחת מהזוויות הללו ניתן לקבוע על פי:

  1. גובה – האם הזווית נמצאת מעל או מתחת לקו המקביל.
  2. צד – האם הזווית נמצאת מימין או משמאל לישר החותך.

למשל:

  1. זווית 1 – נמצאת משמאל לחותך ומעל למקביל (משמאל למעלה).
  2. זווית 2 – נמצאת מימין לחתך ומעל למקביל (מימין למעלה).
  3. זווית 7 – נמצאת מימין לחותך ומתחת למקביל (מימין למטה).
  4. זווית 5 – נמצאת משמאל לחותך ומעל למקביל (משמאל למעלה).

ומהן זוויות מתאימות או מתחלפות?

  1. זוויות מתאימות – אלו הן זוויות הנמצאות באותו צד ובאותו גובה. למשל 1 ו- 5 (למעלה ומשמאל). או 3 ו- 7 (למטה ומימין). זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות בגודלן.
  2. זוויות מתחלפות – לא באותו צד ולא באותו גובה. למשל 1 ו- 7 (שמאל למעלה לעומת ימין למטה) או 3 ו- 5 (ימין למטה לעומת שמאל למעלה). זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות בגודלן.
  3. זוויות חד צדדיות – נמצאות באות צד אבל לא באותו גובה. למשל 1 ו- 8 (צד שמאל למעלה ולמטה) או 4 ו- 5 (צד  שמאל למטה ולמעלה). זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות (אם זווית 1 היא 110 מעלות אז זוויות 8 היא 70 מעלות).
    (זוויות חד צדדיות נלמדות רק בחלק מבתי הספר)

לסיכום:
אתם צריכים לדעת לזהות מיקום של זוויות.
לדעת לזהות זוויות מתאימות או מתחלפות.
לזכור שזוויות מתאימות שוות זו לזו וזוויות מתחלפות שוות זו לזו.

ישרים מקבילים משפטים

לישרים מקבילים יש בסך הכל שני משפטים + הגדרה.

  1. אם ישר חותך שני קווים מקבילים אז נוצרות זוג זוויות מתחלפות שוות וזווג זוויות מתאימות שוות.
  2. המשפט ההפוך: אם ישר חותך שני ישרים ונוצרות זוויות מתחלפות שוות ו/או זווג זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים.

הגדרת ישרים מקבילים:

  • אם לשני ישרים במישור יש ניצב משותף אז המרחק בניהם קבוע והם נקראים ישרים מקבילים.

 6 טעויות נפוצות בשאלות על ישרים מקבילים

1.להשוות בין זוויות שלא נוצרות על ידי אותו חותך.

זו הטעות הנפוצה ביותר. זוויות מתאימות, מתחלפות, חד צדדיות תמיד נוצרות על ידי אותו ישר החותך את הישרים המקבילים.
אבל לפעמים אנחנו מתבלבלים ומשווים בין זוויות הנוצרות על ידי ישרים שונים.
לכן כדאי לעבור עם העין לכול אורך הקו ולוודא שאנו מסתכלים על אותו ישר היוצר שתי זוויות שונות.

לפעמים מתייחסים על הזווית האדומה (התחתונה) והשחורה (העליונה) כאל זוויות מתאימות, אבל הן לא כי הן לא נוצרו על ידי אותו ישר. הזוויות המתאימות הן האדומה תחתונה והאדומה עליונה.

לפעמים מתייחסים על הזווית האדומה (התחתונה) והשחורה (העליונה) כאל זוויות מתאימות, אבל הן לא כי הן לא נוצרו על ידי אותו ישר.
הזוויות המתאימות הן האדומה תחתונה והאדומה עליונה.

2. להתייחס אל זוויות שסכומן 180 כאל זוויות שוות בגודלן

הרבה מהזוויות שאנו מוצאים הן זוויות מתאימות או מתחלפות שוות. לכן לפעמים כתוצאה מהחיפזון שפתרון תרגיל אנו רואים זווית שסכומן 180 מעלות ורושמים אותם כזוויות שוות. שימו לב לכך.

הזוויות האדומות הן זוויות שסכומן 180 מעלות. ולא זוויות שוות.

הזוויות האדומות הן זוויות שסכומן 180 מעלות.
ולא זוויות שוות.

3. לישרים מקבילים יש שני משפטים ולפעמים לא יודעים כיצד ומתי להשתמש בהם

המשפט הראשון: אם ישר חותך שני קווים מקבילים אז נוצרות זוג זוויות מתחלפות שוות וזווג זוויות מתאימות שוות.

במשפט זה עליכם להשתמש כאשר הנתונים אומרים שהישרים מקבילים.

המשפט ההפוך (השני): אם ישר חותך שני ישרים ונוצרות זוויות מתחלפות שוות ו/או זווג זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים.

במשפט זה עליכם להשתמש כאשר מבקשים להוכיח שהישרים מקבילים.
במקרה זה אתם לא יכולים להשתמש בזוויות מתאימות או מתחלפות שוות מבלי שהוכחתם קודם שהישרים מקבילים.

4. מצב מיוחד: חוצה זוויות העובר בין שני ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים.

תכונה זו נובעת מזוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

CB הוא חוצה זווית ACD. וזוויות BCD = ABC הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

CB הוא חוצה זווית ACD. וזוויות BCD = ABC הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

5. כיצד פותרים תרגילים שיש בהם יותר משני ישרים מקבילים?

תשובה: מסתכלים כל פעם רק על שני ישרים מקבילים ועושים רק עבורם את החישובים.

הישרים הכחולים מקבילים. הישרים האדומים מקבילים. חשבו את זוויות 1-4.

הישרים הכחולים מקבילים. הישרים האדומים מקבילים. חשבו את זוויות 1-4.

100 = 1∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (A ו B).
100 = 2∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים (A ו C).
80 = 3∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים (D ו E).
80  = 4∠ זוויות מתאימות ין ישרים מקבילים (A ו C).

6. כיצד פותרים תרגילים מהסוג שבשרטוט?

מצאו את הזווית המסומנת על ידי סימן שאלה.

תרגילים הם הישרים חותכים רק 1 מתוך שני הישרים המקבילים

פתרון

יש להמשיך את הישרים החותכים (אדומים) עד שהם חותכים את שני הישרים המקבילים ורק אז מתקבל מידע המאפשר לפתור את השאלה.
הסבר מפורט בתרגיל מספר 3.

לאחר שממשיכים את הקו פותרים את התרגיל בעזרת זוויות צמודות (60) זוויות חד צדדיות (70) וסכום זוויות במשולש (50)

תרגילים

בדף זה תרגילים שהם ידוע כי הישרים מקבילים ועליכם לעשות שימוש בתכונה זו.
הדף איך להוכיח שישרים הם מקבילים כולל תרגילים שבהם צריך להוכיח שישרים הם מקבילים.

תרגיל 1: חישוב זוויות בסיסי

נתון: 1∠=120 מעלות.
מצאו את שאר הזוויות בשרטוט.

ישרים מקבילים

 

פתרון

שרטוט ופתרון התרגיל

פתרון בכתב:

יש כמה דרכים לפתור את זה, אני אעדיף למצוא קודם את ארבעת הזוויות שלמטה ואז את אלו שלמעלה:

  1. 4∠=2∠ = 180-120=60  מעלות  – זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
  2. 3∠ = 120 מעלות   –  זוויות קודקודיות שוות. עכשיו נמצא את כל אחת מהזוויות שלמעלה באמצעות הקשר שלה ל- 1∠.
    (היה גם ניתן להשתמש ביידע שלנו על זוויות 2,3,4).
  3. 5∠ = 1∠ =120 מעלות – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים הן שוות.
  4. 8∠ = 1∠ – 180 = 60 – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים הן משלימות ל- 180 מעלות.
  5. 7∠ = 1∠ =120 מעלות – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים הן שוות.
  6. 6∠ = 8∠ =60 מעלות – זוויות קודקודיות שוות.

פתרון וידאו:

תרגיל 2: שימוש במשוואות

הישרים M, L הם ישרים מקבילים.
2∠ = 2X
7∠ = 4x+30
מצאו את שאר הזוויות.

פתרון

שרטוט התרגיל ופתרונו

פתרון:
נפתור את התרגיל בעזרת זוויות מתאימות / מתחלפות. מי שמכיר את הזוויות החד הצדדיות יכול לעשות שימוש גם בהם.
המטרה בתרגיל היא לבנות משוואה ובאמצעותה למצוא את x.

שלב א: נגדיר את הזוויות 3 ו 7 בעזרת x  (אלו זוויות מתאימות)


4x + 30 = ∠7

שלב ב: בניית משוואה
3∠ = 7∠   זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
לכן המשוואה שלנו היא:
4x +30 = 180 – 2x   / +2x – 30
6x = 150  / :6
x = 25

לכן:
50 = 2∠
150 = 30 + 4 * 25 = 7∠

מצאנו זווית אחת למעלה ואת למטה.
עכשיו בעזרת זוויות צמודות וזוויות קודקודיות ניתן למצוא את כל הזוויות.

פתרון וידאו:

תרגיל 3

הקווים הכחולים מקבילים. מצאו את גודל הזווית המסומנת בירוק.

שרטוט התרגיל

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל יש להאריך את הקו האדום ואז להשלים זוויות במשולש שנוצר.

זווית 1 היא זווית מתאימה לזווית שגודלה 100, המיקום של שתיהן הוא מימין למעלה. ולכן גם זווית 1 גודלה 100 מעלות.
זווית 2 היא זווית צמודה לזווית שגודלה 130. לכן גודל זווית 2 הוא 50.

ובמשולש שנוצר הזווית הירוקה משלימה ל- 180 מעלות. לכן גודלה:
30 = 50 – 100 – 180.

שרטוט השלמת הזוויות

 

תרגיל 4

ידוע כי הקווים האדומים מקבילים. השלימו את זוויות המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון

השלמת הזוויות

B∠ זווית מתחלפת עם זווית שגודלה 30 מעלות.
C∠ זווית מתאימה עם זווית שגודלה 50 מעלות.
CAB = 100∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש ABC.

פתרון וידאו:

תרגיל 5: משולש ומשתנים

ישר P מקביל לישר L.

הגדירה את זוויות b ו c באמצעות זווית a.

חישוב זוויות בין ישרים מקבילים

פתרון

מה הקשר בין זווית a לזווית c?
אלו הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ולכן הן שוות.

על פי סכום זוויות במשולש זווית b שווה ל:
b = 180 – 50 – a = 130 – a

תרגיל 6 (הוכחת ישרים מקבילים במרובע)

במרובע ABCD ידוע כי:
B = 90, ∠ABD = 60, ∠ ADB = 30∠.
הוכיחו כי במרובע זה קיים זוג צלעות מקבילות.

שרטוט התרגיל

פתרון

DBC = ∠B – ∠ ABD ∠
DBC = 90 – 60 = 30∠

זווית DBC וזווית BDA הן זוויות מתחלפות שוות ולכן הישרים AD ו BC הם ישרים מקבילים.

הסבר: הישר BD הוא הישר החותך את הישרים.
הזווית DBC נמצאת מימין למעלה והזווית BDA נמצאת משמאל למטה ולכן אלו זוויות מתחלפות.

תרגיל 7 (שילוב של תכונות משולש שווה שוקיים)

בדלתון ABCD (הצלעות השוות הן AB= AD, CB = CD).
הזווית C = 40 מעלות.
בתוך הדלתון מעבירים את הישר EF כך ש FEC = 70∠.
הוכיחו כי הישרים DB ו FE מקבילים.

שרטוט התרגיל

פתרון
משולש CBD הוא משולש שווה שוקיים.
לכן זוויות הבסיס שלו שוות.
CBD = ∠CDB∠.

סכום הזוויות במשולש CBD הוא 180 מעלות ולכן
CBD + ∠ CDB = 180- 40=140∠

משני המשוואות שכתבנו נובע:
CBD = 70∠

זווית CBD וזווית FEC הן זוויות מתאימות שוות ולכן הישרים DB ו FE הם ישרים מקבילים.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

7 thoughts on “ישרים מקבילים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום איה
      1 ו 6 הם זוג בלי שם. ואם את יודעת את 1 את לא יכולה למצוא את 6 ישירות.
      אבל אם את יודעת את 1 את יכולה למצוא את את 5 (זוויות מתאימות) ובאמצעות 5 למצוא את את 6 (זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות).
      בהצלחה.

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום,
    אתה יכול גם להראות דוגמה של הוכחות של ישרים מקבילים גם בתוך דלתון ומלבנים? וצורות שונות?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      הוספתי את שאלות 6-7 בנושא קווים מקבילים בתוך מלבן ודלתון.
      שימי לב שבמלבן הצלעות מקביליות ובדלתון אין צלעות מקבילות.
      מקווה שהשאלות יעזרו.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום נריה.
      הרעיון של התרגיל הזה ושל התרגילים האחרים בדף הוא להשתמש בתכונות של ישרים מקבילים על מנת לבנות משוואות.

      הנתון החשוב בשאלה הוא שיש מידע על זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
      סכום זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים הוא 180.

      בתרגיל נתון:
      2∠ = 2X
      7∠ = 4x+30

      זווית 2 וזווית 7 הן זוויות חד צדדיות ביון ישרים מקבילים.
      התכונה של זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים היא שסכומם 180 מעלות.
      לכן:
      2∠ + 7∠ = 180
      2x + 4x + 30 = 180

      האם עזרתי או שחלק מהפתרון לא מובן?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.