משפט פיתגורס במרחב

דף זה כולל תאוריה ותרגילים בנושא משפט פיתגורס במרחב.

הדף משפט פיתגורס כולל מידע על מספר קשיים בתרגילים בנושא משפט פיתגורס ותרגילים. מומלץ לעבור בדף זה לפחות על הקשיים.

תיבה

נפח תיבה הוא מכפלת אורך * רוחב * גובה.
שטח פנים של תיבה: בתיבה יש 6 מלבנים שטח הפנים הוא סכום השטחים של כולם.
מכוון שבתיבה לכול מלבן יש מלבן זהה (חופף) ניתן לחשב שטח של 3 מלבנים ואז להכפיל ב 2.
(S = 2(a*b +a*h +b*h

אלכסונים בתיבה

בתיבה יש 3 סוגים וגדלים של אלכסונים שניתן לחשב בעזרת משפט פיתגורס:

אלכסון של בסיס: 'AC, BD, ,A'C', B'D.
ואיך מחשבים?
למשל:
AC² = AB² + BC².

אלכסון התיבה: 'AC', BD', DB', CA
ואיך מחשבים?
למשל:
AC' = AC² + CC'²

אלכסון פיאה: 'AB ועוד.
AB'² = AB² + BB'²

שימו לב:

  • אלכסון גדול תמיד מ 2 הצלעות היוצרות את המלבן בו האלכסון קיים. אבל תתכן בתיבה צלע הגדולה מאלכסון הקיים במלבן אליו הצלע לא שייכת. למשל הצלע BC יכולה להיות גדולה מהאלכסון 'AB.
  • יש שני מלבנים שסכום אורך זוג צלעותיהם הוא 10: באחד הצלעות הן 5,5 ובשני הצלעות הן 9,1. באיזה מלבן האלכסון ארוך יותר? במלבן 9,1. ניתן להוכיח זאת בעזרת משפט פיתגורס.

תיבה מלבנית לעומת תיבה ריבועית

תיבה מלבנית היא תיבה שבסיסה הוא מלבן. בתיבה מלבנית יש 3 גדלים שונים המגדרים את התיבה: אורך, רוחב וגובה.

תיבה ריבועית היא תיבה שבסיסה ריבוע. בתיבה ריבועית יש רק 2 גדלים המגדרים את התיבה.

תרגיל
נפח תיבה ריבועית הוא 100 סמ"ק. גובה התיבה הוא 4 ס"מ. חשבו את אורך אלכסון הבסיס.

שרטוט התרגיל מציאת אלכסון בתיבה ריבועית

פתרון
שטח הבסיס הוא:
25 = 100:4
אורך צלע הבסיס הוא:
5 = 25√=a
אורך אלכסון הבסיס הוא:
AC² = 5² + 5² = 50
AC= √50.

עוד בנושא תיבה.

גליל

גליל נוצר על ידי שני מישורים של עיגולים חופפים ומקבילים והנפח המחבר בניהם.

נפח גליל הוא שטח בסיס העיגול כפול גובה הגליל.

שטח הפנים של הגליל הוא היקף העיגול כפול גובה הגליל. ניתן להבין את נוסחה זו טוב יותר אם פורסים את הגליל ורואים שמתקבל מלבן שבו האורך הוא היקף הבסיס והגובה הוא רוחב המלבן.

נפח גליל, שטח פנים ופריסת גליל

נפח גליל, שטח פנים ופריסת גליל

שימו לב לפריסה של גליל, עליכם לדעת לשרטט אותה.
גליל שרדיוסו הוא R וגובהו  הוא h הפריסה שלו היא מלבן  שגובהו h ורוחבו 2₶R.
(השרטוט מצד ימין למטה) + שטח העיגולים היוצרים את הבסיס (חישוב שטח עיגול).

תלמידי כיתה ח, עליכם לדעת גם מה קורה כאשר הרדיוס או גובה הגליל גדלים פי או ב גודל קבוע.

כאשר מגדלים את רדיוס בסיס הגליל פי 3 או ב 3. מה קורה ל:

  1. נפח הגליל.
  2. שטח המעטפת של הגליל.
  3. שטח הפנים של הגליל.

פתרון

באופן כללי כאשר הרדיוס גדל  ב 3 שטח הפנים ושטח המעטפת גדלים אבל לא ניתן להגיד בדיוק בכמה.

נפח הגליל שווה לשטח הבסיס כפול הגובה.
כאשר R גדל פי 3 שטח הבסיס גדל פי 3²=9 ולכן גם הנפח גדל פי 9.

שטח מעטפת של גליל:
כאשר מגדילים פי 3 את הרדיוס אורך המעטפת שהוא 2₶R גדל פי 3 ולכן גם שטח המעטפת גדל פי 3.

שטח הפנים של הגליל:
שטח הפנים של הגליל הוא סכום של שטחים ולכן לא ניתן לדעת במדויק מה קורה כאשר הרדיוס גדל פי 3.

 

כאשר מגדלים את גובה הגליל פי 3 מה קורה ל:

  1. נפח הגליל? גדל פי 3.
  2. שטח המעטפת של הגליל? גדל פי 3.
  3. שטח הפנים של הגליל? גדל אבל לא ניתן לדעת בדיוק בכמה.

גליל – מידע נוסף.

תרגילים: משפט פיתגורס במרחב

תרגיל 1

בתיבה אורך שתי פאות הבסיס הוא AB= 6,  BC = 8 ס"מ.

  1. חשבו את אלכסון הבסיס AC.
  2. ידוע כי C'A = 12 חשבו את גובה התיבה ואת נפח התיבה.

משפט פיתגורס במרחב, שרטוט התרגיל

פתרון

המשולש ABC הוא משולש ישר זווית ו AC הוא היתר.
AC² = 8² + 6²=64+36=100
AC=10

המשולש C'AC הוא ישר זווית ו C'A הוא היתר.
C'C הוא הגובה.
C'C² = 12²-10² = 144-100=44
C'C = √44

נפח תיבה הוא מכפלת אורך * רוחב * גובה:
V = 8*6*√44=318.4
תשובה: נפח התיבה הוא 318.4 סמ"ק.

תרגיל 2

מה האורך המקסימלי של מטרייה שניתן להכניס למזוודה שגודלה 40* 60* 20 ס"מ?

משפט פיתגורס בתיבה. שרטוט התרגיל

פתרון

למזוודה צורה של תיבה.
האורך המקסימלי של המטרייה הוא אורך אלכסון התיבה.
מלבן הבסיס של המזוודה הוא 40*60 והגובה הוא 20 ס"מ.
אורך אלכסון הבסיס הוא:
AC² = 40²+ 60² = 1600+3600 = 5200
אורך אלכסון התיבה הוא:
AC'² = AC² + CC'² = 5200+20² = 5600
AC = √5600
תשובה: האורך המקסימלי של המטרייה הוא 5600√.

תרגיל 3

רדיוס בסיס גליל הוא 10 ס"מ.
שטח המלבן ABCD העובר דרך מרכזי המעגלים של בסיס המעגל הוא 100.
חשבו את:

  1. נפח הגליל.
  2. שטח מעטפת הגליל.
  3. שטח הפנים של הגליל.
  4. אורך האלכסון BD.

שרטוט התרגיל, משפט פיתגורס בגליל

פתרון

  1. CD = 2R=20
  2. AD*CD=100,  AD*20=100
  3. AD=5 זה גובה הגליל.

נפח הגליל הוא:
R² * AD₶ = ₶10²*5=500₶
תשובה: נפח הגליל הוא 500₶ סמ"ק.

שטח מעטפת הגליל:
2₶R * AD= 2₶*10*5 = 100₶

שטח פנים:
2₶R² +2₶R * AD
2₶*100 + 100₶
300₶

חישוב האלכסון על פי משפט פיתגורס:
BD² = DC² + CB² = 20² + 5² = 425
BD= √425

עוד באתר:

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.