שטח משולש כיתה ז

דף זה הוא דף מקיף וארוך בנושא שטח משולש עבור תלמידי כיתה ז.
גם תלמידי כיתות ח-ט יכולים למצוא כאן שאלות קשות.
הדף מחלק את שאלות שטח משולש ל- 8 סוגים שונים, בכול סוג מספר סוגי שאלות.

כיצד ללמוד מדף זה?
אם אתם יודעים שיש לכם זמן לעבור על כל השאלות שבדף – כל הכבוד לכם ואני בטוח שבסוף הדף תדעו את החומר היטב.
אם אתם לא בטוחים בכך אני ממליץ לכם לקרוא את ההסבר ולפתור את השאלה הראשונה בכול סוג של שאלות. הבנה של השאלה הראשונה וההסבר מכסות חלק ניכר ממה שאתם צריכים לדעת.
לאחר מיכן אם אתם רוצים להיות מוכנים טוב יותר פתרו עוד שאלות מאותו נושא.

הדף מתחיל בשתי שאלות חזרה על הנלמד בבית הספר היסודי ולאחר מיכן מופיעים שאלות על פי הנושאים הבאים:

  1. חיסור שטחי משולשים.
  2. ידוע שטח המשולש, חסר הגובה או הצלע.
  3. חישוב שטח של אותו משולש בשתי דרכים.
  4. שאלות יחס בין שטח מלבן או ריבוע לשטח משולש.
  5. שאלות יחס שטחים בין שני משולשים.
  6. בעיות מילוליות מציאותיות, חישוב שטחים מורכבים.
  7. שטח משולש על מערכת צירים.
  8. השוואת שטחי משולשים שגודלם נתון במשתנים.

בהחלט הרבה חומר.
לכן המלצתי היא לדעת היטב את המבוא ולאחר מיכן לפתור את השאלה הראשונה בכול נושא.
אם ישאר לכם עוד זמן פתרו עוד שאלות בנושאים החשובים לכם.

דפים נוספים באתר:

שאלות מבוא: חזרה על חישוב בסיסי הנלמד ביסודי

שאלה 1: חישוב מהיר של שלושת סוגי המשולשים

לפניכם משולש חד זווית, משולש ישר זווית ומשולש קהה זווית.
חשבו את השטח של שלושת המשולשים.
שימו לב: עליכם לחשב את שטח משולש ABC.
כל גדלי הצלעות הם בסנטימטר.
בכול המשולשים יש נתונים שנועדו להטעות אותכם.

חשבו את שטח המשולשים

פתרון

משולש 1 הוא משולש חד זווית.
הגובה הוא CD = 2
הצלע אליה מגיע הגובה AB = 8
צלע BD = 5 היא לא צלע במשולש ABC והנתון הזה נועד לבלבל.
שטח המשולש הוא:
8

משולש 2 הוא משולש ישר זווית.
שטח המשולש הוא מכפלת הניצבים, אלו הצלעות הקטנות של המשולש.
הצלע שגודלה 5 ס"מ היא היתר ולא משתמשים בה לחישוב שטח המשולש.

6

משולש 3 הוא משולש קהה זווית
כאשר מחשבים שטח משולש קהה זווית מתייחסים אל צלע המשולש ואל הגובה.
לא מתייחסים לאורך המשך הצלע (2 במקרה זה).
7.5

תשובה: שטח משולש 1 הוא 8 סמ"ר.
שטח משולש 2 הוא 6 סמ"ר.
שטח משולש 3 הוא 7.5 סמ"ר.

שטח משולש, שאלת חזרה על חומר מהיסודי

שאלה 2: גובה אחד לשלושה משולשים

במשולש ABC מורדים את הגובה AD.
ידועים גדלי הצלעות:
AD = 6, CD = 4,  BD = 10
חשבו את שטחי המשולשים:

  1. ABC
  2. ADCADB

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ABC הוא:
42

שטח משולש ADC הוא:
12

שטח משולש ADB הוא:
30

שטח משולש, שאלת חזרה על חומר מהיסודי

נושא 1: חיסור שטחי משולשים

הסבר

שרטוט של שלושה משולשים

S3 הוא המשולש הגדול

כאשר מעבירים גובה (או כל ישר אחר) בתוך משולש נוצרים שלושה משולשים.

ויש קשר בין השטחים בניהם:
S1 + S2 = S3

וניתן לכתוב את הקשר גם כחיסור שטחי משולשים:
S2 = S3 – S1
או
S1 = S3 – S2

ועל הקשר הזה בין שטחי המשולשים נשענות שאלות רבות.

ההסבר מופיע גם בוידאו של פתרון תרגיל 1.

שאלה 1: חיסור שטחי משולשים ללא משתנה

שטח משולש ABC הוא 36 מ"ר.
CD ⊥ AB
CD = 6,  AD = 4

  1. חשבו את שטח משולש CDB.
  2. * חשבו את אורך הצלע BD (סוג שאלות זה נלמד בהמשך, אם אתם לא יודעים ניתן לדלג).

חישוב שטח משולש

פתרון
אנו יודעים את שטח המשולש הגדול (ABC) ויכולים לחשב את השטח המשולש השמאלי (CDA).

אם נחסר את שטחי המשולשים נוכל לקבל את שטח המשולש המבוקש (CDB).
SCDB = SABC – SCDA

12

SCDB36 – 12 = 24
תשובה: שטח משולש CDB הוא 24 מ"ר.

חישוב אורך הצלע BD.
BD * 6) : 2 = 24  / *2)
6BD = 48  / : 6
BD = 8
תשובה: אורך הצלע BD הוא 8 מטרים.

שאלה בנושא חיסור שטחי משולשים

נושא 2: ידוע שטח המשולש, חסר הגובה או הצלע

הסבר

בנוסחה לשטח משולש יש 3 גדלים:
גודל של צלע (מסומן באות a).
גודל של הגובה (מסומן באות h).
הגודל של השטח (מסומן באות S).

אנחנו רגילים שבשאלה נתון a,h  ואנו מוצאים את S.
אבל יש שאלות שבהם נקבל את שטח המשולש ואת הגודל של הגובה או הגודל של הצלע ונצטרך למצוא את מה שחסר.
עושים זאת על ידי הצבת הנתונים בנוסחה לשטח משולש והגדרת מה שחסר כמשתנה.

לסיכום: אם יודעים 2 מתוך שלושת הגדלים: שטח, צלע, גובה לצלע ניתן למצוא את הגודל השלישי.

ההסבר מופיע גם בוידאו של פתרון תרגיל 1.

תרגיל 1

שטח משולש ABC שווה ל- 30 סמ"ר.
BC = 10 סנטימטר.
חשבו את אורך הגובה AD המגיע אל הצלע BC.

שרטוט התרגיל

פתרון
נגדיר:
x  אורכו של הגובה AD בסנטימטר.
נציב BC = 10,  S = 30  בנוסחה לשטח משולש.
חישוב שטח משולש

5x = 30  / : 5
x = 6
תשובה: AD = 6 סנטימטר.

הערה: מי שלא רוצה להגדיר משתנה יכול להציב את AD במקום X במשוואה ואז זה יראה כך:

חישוב

5AD = 30  / :5
AD = 6.

מציאת גובה על פי שטח המשולש וצלע

תרגיל 2: דומה מאוד לתרגיל 1

שטח משולש ABC הוא 24 מ"ר.
אורך הגובה CD הוא 6 מטרים.
חשבו את אורך הצלע AB.

חישוב שטח משולש

פתרון

נגדיר:
x  – אורך הצלע AB במטרים.
נציב את גודל השטח (24) ואת אורך הגובה (6) במשוואה לשטח משולש.

חישוב

3x = 24  / :3
x = 8
תשובה: AB= 8 מטרים.

הערה: אם לא היינו מגדירים את x כמשתנה היינו יכולים להציב את AB במשוואה.
כך זה היה נראה:
חישוב

3AB = 24   / : 3
AB = 8

מציאת צלע על פי שטח המשולש והגובה אל הצלע

נושא 3: חישוב שטח של אותו משולש בשתי דרכים

הסבר

שטח משולש שווה לצלע כפול הגובה לחלק ל- 2.
במשולש יש 3 גבהים ו- 3 צלעות.
כלומר אנחנו יכולים לחשב את שטח משולש ב- 3 דרכים. בכול פעם נשתמש בזוג אחר של גובה וצלע.

שרטוט שלושת הגבהים במשולש

המשוואה שלנו היא:

המשוואה

מכוון שבכול המקרים מחלקים ב- 2 ניתן לכתוב זאת גם כך:

חישוב

שימו לב שהתוצאה של המכפלה האחרונה היא פעמיים השטח (2S).

ההסבר מופיע גם בוידאו של פתרון תרגיל 1.

תרגיל 1

במשולש ABC אורך הגובה AD הוא 3 מילימטר.
BC = 6,   AB = 2 מילימטר.
חשבו את אורך הגובה CE.

שרטוט התרגיל

פתרון
נפתור בשתי דרכים: דרך אחת עם שימוש במשתנה ודרך שנייה ללא משתנה.

דרך ראשונה, עם משתנה:
x  – אורך הגובה CE במילימטרים.
במשולש מכפלת הגובה בצלע שווה לאותו מספר (2S).
2x = 3 * 6
2x = 18  / :2
x= 9
תשובה: CE = 9 מילימטרים.

דרך שנייה (ללא משתנה).
הדרך מומלצת רק לתלמידים שלא למדו לפתור משוואות עדיין.
במשולש מכפלת הגובה בצלע שווה לאותו מספר (2S).
3 * 6 = __ * 2
המקום הריק מסמל את הגודל של CE.
18 = __ * 2
מה המספר החסר?
9.
לכן CE = 9

חישוב שטח משולש בשתי דרכים

תרגיל 2

למשולש יש שלושה גבהים שגודלם 10, 5, 6 סנטימטרים.
ושלוש צלעות 6, 3, 5 סנטימטרים.

  1. התאימו בין גובה לצלע אליה הוא מגיע.
  2. חשבו את שטח המשולש.

פתרון
כאשר נבצע התאמה עלינו לקחת את הגובה הגדול ולחבר עם הצלע הקטנה.
את הגובה הקטן לחבר עם הצלע הגדולה.
וכבדיקה נוכל לחשב את מכפלת כל גובה בצלע אליה הוא מגיע ולראות שאנו מקבלים את אותו מספר.

הגובה הגדול 10 מתאים לצלע הקטנה 3.
הגובה הקטן 5 מתאים לצלע הגדולה 6.
והזוג הנוסף הוא גובה 6 וצלע 5.

בדיקה. נכפיל את שלושת הזוגות ונצטרף לקבל את אותו מספר.
30 = 3 * 10
30 = 5 * 6
30 = 6 * 5
ובאמת קיבלנו שהמכפלות שוות זו לזו.

חלק שני: חישוב שטח המשולש
נבחר זוג אחד של גובה וצלע (נניח 10,3) ומחשב באמצעותו את שטח המשולש.
15 = 2 : (3 * 10)
תשובה: שטח המשולש 15 סמ"ר.

התאמה בין גודל של גובה לגודל של צלע

נושא 4: שאלות יחס בין שטח מלבן או ריבוע לשטח משולש

חלק זה יכול להיות קשה יותר, יתכן שתצטרכו להשקיע בו יותר זמן

תרגיל 1

נתון מלבן ABCD שרוחבו 4 ס"מ ואורכו 10 ס"מ.
על צלע BC בנו משולש BCE כך שקודקוד E נמצא על צלע AD.
חשבו את שטח משולש BCE.

שרטוט התרגיל

פתרון

הגובה EF שווה לאורך המלבן 10 ס"מ.
(כי המרובע AEFB הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו, הסבר מפורט יותר בוידאו).
שטח משולש BEC הוא:
2 : (10*4)
20=40:2.
תשובה: שטח משולש BEC הוא 20 סמ"ר.

שימו לב לדברים הבאים:

  1. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. ובכול התרגילים מהסוג הזה שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.
  2. זה לא משנה איפה הנקודה E נמצאת על צלע AD.
הקשר בין שטח מלבן לשטח משולש החסום בו

*תרגיל 2: כמו תרגיל 1 אבל עם משתנים ולא מספרים

נתון מלבן שאורך צלעותיו הם a,b.
המשולש EAD חסום במלבן.
הוכיחו כי שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

שרטוט התרגיל

פתרון
נחשב את שטח המלבן ושטח המשולש ואז נראה מה הקשר בניהם.
שטח המלבן
S = a * b

שטח המשולש
גובה המשולש EF=b.
(כי המרובע EFDC הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו. הסבר מפורט יותר בוידאו).
לכן שטח המשולש הוא:
S = (a * b) : 2 = 0.5ab

תשובה: שטח המלבן הוא a*b  שטח המשולש הוא 0.5a*b.
לכן שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

תרגיל 3

בשרטוטים הבאים נתונים מלבן ומשולש ישר זווית הבנוי על צלע המלבן.
קבעו על פי הנתונים בשרטוט האם שטח המלבן שווה / קטן / גדול לשטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
הנוסחה לשטח המלבן היא:
שטח = מכפלת הצלעות.
הנוסחה לשטח משולש ישר זווית היא:
שטח = מכפלת הניצבים לחלק ב- 2.

כלומר אם צלעות המלבן שוות לניצבי המשולש אז שטח המשולש שווה למחצית משטח המלבן.

בנוסף בשלושת המקרים הפתרון מבוסס על כך שצלע המלבן שווה לגובה המשולש.

הפתרון של שרטוט 1.
x  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
4x
שטח המשולש הוא:
4x : 2 = 2x
תשובה: שטח המשולש קטן משטח המלבן, שטח המשולש הוא מחצית משטח המלבן.

הפתרון של שרטוט 2.
y  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
y * 4
שטח המשולש הוא:
y * 6) : 2 = 3y)
תשובה: שטח המלבן גדול משטח המשולש.

הפתרון של שרטוט 3.
z  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
z * x
שטח המשולש הוא:
z * 2x) : 2 = zx)
שטח ומלבן ושטח המשולש שווים, שניהם שווים ל- zx.

יחס בין שטח מלבן לשטח משולש

תרגיל 4

אורך הניצבים של משולש ישר זווית הוא 5 ו 2 סנטימטר.
בטרפז ישר זווית אורך הבסיס הקטן הוא 20 סנטימטר ואורך הבסיס הגדול 25 סנטימטר.
גובה הטרפז שווה ל- 2 סנטימטר.
חשבו כמה משולשים יכולים להיכנס בטרפז.
(הערה, ניסוח אחר לאותה שאלה יכול להיות: פי כמה גדול שטח הטרפז משטח המשולש).

שרטוט התרגיל

פתרון
משני משולשים ישרי זווית ניתן ליצור מלבן שאורך צלעותיו 5 ו- 2.

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן זה נכנס 4 פעמים עד קצה הבסיס הקטן של הטרפז.
(כי 4 = 5 : 20).

לאחר מיכן יש מקום לעוד משולש אחד.
סך הכל משולשים שנכנסו:
8 = 2 * 4 ( כי בכול מלבן שהכנסנו יש 2 משולשים).
1 שנכנס בסוף
תשובה: 9 משולשים נכנסים בתוך הטרפז.

שטח משולש פתרון תרגיל 4, כמה פעמים נכנס המשולש בטרפז

תרגיל 5

בריבוע ABCD העבירו את הישרים CE ו- DF כך שנוצר טרפז.
אורך צלע הריבוע 10 סנטימטר.
AF = 2,  BE = 6 סנטימטר.

  1. מבלי לבצע חישוב, הגידו האם שטח הטרפז גדול / קטן שווה לחצי שטח הריבוע.
  2. חשבו את שטח הטרפז מבלי להשתמש בנוסחה לשטח טרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

האם שטח הטרפז גדול / קטן / שווה לשטח הריבוע?
למדנו שכאשר משולש חסום בריבוע או מלבן הוא שווה למחצית משטחם. שטח טרפז חסום גדול יותר משטח משולש חסום כי אנו מרחבים את החלק העליון.
לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע.

למדנו קודם ששטח משולש FCD שווה למחצית שטח הריבוע. לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע

חלק שני: חישוב שטח הטרפז
נחשב את שטח הריבוע. נחסר ממנו את שטח שני המשולשים ישרי הזווית הנמצאים בצדדים וכך נמצא את שטח הטרפז.
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
שטח הריבוע:
100 = 10 * 10

שטח המשולשים
AD = BC = 10 צלעות המשולש שוות זו לזו.
SAFD = (10 * 2) : 2
SAFD = 20 : 2 = 10

SBEC = (6 * 10) : 2
SBEC = 60 :2 = 30

שטח הטרפז הוא:
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
SFECD = 100 – 30 – 10 = 60
תשובה: שטח הטרפז 60 סמ"ר.

חישוב שטח על ידי חיסור שטחים, הקשר שבין שטח משולש לשטח מלבן

נושא 5: שאלות יחס שטחים בין שני משולשים

הסבר

בין שני משולשים יכול להיות גובה שווה או צלע שווה.
במקרה כזה היחס בין שטחי המשולשים הוא כמו היחס בין החלק שאינו שווה.

למשל:

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.

למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE. שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE.
שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

תרגיל 1: משולשים חסומים במלבן

המשולשים ECD ו- GCD חסומים במלבן.
האם ניתן לקבוע מי מבין המשולשים גדול יותר?

שרטוט התרגיל

פיתרון
למשולשים יש צלע משותפת ושווה (CD).
גם הגבהים של המשולשים שווים EF = GH.
לכן שטח המשולשים שווה.

שוויון בשטחי המשולשים

שוויון בשטחי המשולשים

שטח משולש הסבר ליחס בין שטחי משולשים ופתרון תרגיל 1

תרגיל 2: משולשים עם צלע משותפת ומרובע הנוצר מיהם

למשולשים ABD ו- CBD יש צלע משותפת (BD)
משולש CDB הוא משולש ישר זווית שאורך הצלע שלו CD = 6.
אורך הגובה AE הוא 3.

  1. פי כמה גדול שטח משולש CDB משטח משולש ABD.
  2. **פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטחי המשולשים הוא:
SABD = 3BD : 2 = 1.5BD
SCDB = 6BD : 2 = 3BD

תשובה: שטח משולש CDB גדול פי 2 משטח משולש ABD.

פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.
נגדיר:
SABD = X
על פי מה שמצאנו בסעיף הקודם.
SCDB = 2X
שטח המרובע כולו הוא סכום שטחי המשולשים:
SABD + SCDB = 2X + X = 3X

שטח המרובע 3X, שטח המשולש SABD = X.
תשובה: שטח המרובע ABCD גדול פי 3 משטח המשולש ABD.

תרגיל 3

במשולש ABC מעבירים את הגובה AD אל הצלע BC.
נתון BD = 3, CD = 12.

  1. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ACD.
  2. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ABD הוא:
3AD : 2 = 1.5AD
שטח משולש ADC הוא:
12AD : 2 = 6AD.

4 = 1.5 : 6
תשובה: שטח משולש ACD גדול פי 4 משטח משולש ABD.

חלק שני: היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.
נפתור את התרגיל בשני דרכים. בשתי הדרכים נצטרך לחשב את שטח משולש ABC אך בכול פעם נעשה זאת בדרך אחרת.
דרך ראשונה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת הנוסחה לשטח משולש.
BC = 3 + 12 = 15
נחשב את שטח משולש ABC:
15AD : 2 = 7.5AD
מצאנו קודם ששטח משולש ABD הוא 1.5AD.
5 = 1.5 : 7.5
תשובה: שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

דרך פתרון שנייה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת חיבור שטחי המשולשים הקטנים.
נגדיר
SABD = X
SADC = 4X
השטח של המשולש הגדול (ABC) שווה לסכום שטחי המשולשים.
SABC = X + 4X  = 5X

שטח ABD הוא X, שטח ABC הוא 5X.
שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

תרגיל 4

מגדילים את כל אחד מהניצבים של משולש ישר זווית פי 3.
פי כמה יגדל שטח המשולש החדש ביחס למשולש הראשון?

פתרון
נגדיר את הניצבים של המשולש הראשון כ- x ו y.
גודל הניצבים של המשולש הגדול הוא 3x, 3y.

שטח המשולש הקטן הוא:
שטח המשולש הקטן

שטח המשולש הגדול הוא:
שטח המשולש הגדול

ניתן לראות ששטח המשולש הגדול הוא פי 9 משטח המשולש הקטן.

נושא 6: בעיות מילוליות מציאותיות, חישוב שטחים מורכבים

תרגיל 1

היער "מעגלולה" הוא יער בצורת עיגול.
בתוך היער נטעו עצים המסודרים בתוך משולש ישר זווית.
אורך ניצבי המשולש הוא 6 ו- 8 מטרים.
אורך יתר המשולש הוא 10 מטרים. היתר מתלכד עם קוטר המעגל.
בתוך המשולש שתלו עצים בעלות של 100 שקלים לקמ"ר (קילומטר רבוע).
בשטח הנוסף שבתוך העיגול שתלו דשא בעלות של 20 שקלים לקמ"ר.
את המעגל כולו היקפו בגדר שעלותה 2 שקלים לקילומטר.

חשבו את עלות הקמת היער.

שרטוט התרגיל

פתרון
עלינו לחשב בנפרד את:

  1. עלות הקמת השטח שבתוך המשולש (עצים)
  2. עלות הקמת השטח שבין המשולש מעגל (דשא).
  3. עלות הקמת הגדר (לאורך היקף המעגל).

עלות הקמת העצים
שטח המשולש הוא:
= 2 : (6 * 8)
24 = 2 : 48

השטח הוא 24 קמ"ר.
כל 1 קמ"ר עולה 100 שקלים.
העלות של העצים היא:
2,400 = 100 * 24

עלות הקמת הדשא
עלינו לחשב את שטח עיגול ולחסר ממנו את שטח המשולש.
הנוסחה לשטח עיגול היא:
S=₶r²
רדיוס המעגל הוא 5 קילומטר (חצי מהקוטר).
S = 3.14 * 5²
S = 3.14 * 25 = 78.5

נחסר משטח המעגל את שטח המשולש:
54.5 = 24 – 78.5
גודל השטח ששתלו עליו דשא הוא 54.5 קמ"ר.
עלות 1 קמ"ר דשא היא 20 שקלים.
1090 = 20 * 54.5

עלות הקמת הגדר.
הגדר נבנתה לאורך היקף המעגל.
הנוסחה להיקף מעגל היא:
P=2₶r
P = 2 * 3.14 * 5 = 10*3.14 = 31.4
היקף המעגל הוא 31.4 קמ"ר.
עלות הגדר היא 2 שקלים לקילומטר.
62.6 = 2 * 31.4

חישוב העלות הכללית
גדר + דשא + עצים
3552.6 = 62.6 + 1090 + 2400
תשובה: עלות הקמת "מעגלולה" היא 3552.6 שקלים.

נושא 7: שטח משולש על מערכת צירים

הסבר

הסבר: כיצד מחשבים שטח משולש על מערכת צירים

מערכת צירים, אם אתם לא מכירים את הנושא, בקישור תוכלו לעשות היכרות.

בשאלות מסוג זה נקבל שלוש נקודות.
2 מהנקודות יהיו בעלי ערך זהה של x או y.
למשל (6, 1)   (2, 1) (ערך x שווה).
(3, 5)  (3, 2) (ערך y שווה).
2 הנקודות הללו יוצרים קווים מקבילים לציר ה y או לציר ה x.

המרחק בין הנקודות הללו הוא אורך צלע המשולש.
ניתן לחשב את האורך הזה על ידי חיסור הערכים שאינם שווים.
למשל המרחק בין (6, 1)   (2, 1) הוא:
4 = 2 – 6
המרחק בין (3, 5)  (3, 2) הוא:
3 = 2 – 5.

בנוסף עלינו לחשב את אורך הגובה אל הצלע.
נושא זה קצת קשה להסבר במילים כתובות בלבד והוא מוסבר בוידאו.

חשוב: באלו יחידות מודדים את שטח המשולש?
כאשר אנחנו על מערכת הצירים התשובה תהיה ב- "יחידות ריבועיות".

לפניכם שני תרגילים. באחד מהתרגילים נוצר ישר המקביל לציר ה x ובתרגיל השני נוצר ישר המקביל לציר ה y.

תרגיל 1

על מערכת צירים נמצאות הנקודות (1, 5)A
(1, 1)B
(5, 4)C
חשבו את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות הללו.

שרטוט התרגיל

פתרון
חישוב אורך צלע המשולש
לנקודות A, B אותו ערך y (שהוא 1). לכן המרחק בניהם ואורך הצלע AB הוא:
4 = 1 – 5

חישוב אורך הגובה
הגובה מהנקודה (5, 4)C אל הישר AB מגיע אל הנקודה (1, 4)D.
(ולמה? זה ישר המאונך לציר ה x ולכן שומר על ערך ה x של נקודת המוצא C. בנוסף כל הנקודות הנמצאות על AB ערך ה y שלהן הוא 1).

המרחק בין C ל- D הוא:
4 = 1 – 5

חישוב שטח המשולש
= 2 : (4 * 4)
8 = 2 : 16
תשובה: שטח המשולש הוא 8 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2

על מערכת צירים נמצאות הנקודות
(2- , 3-)A
(2,  3)B
(5,  3-)C
חשבו את שטח המשולש הנוצר בין הנקודות הללו.

שרטוט המשולש והנקודות

פתרון

חישוב אורך הצלע
לנקודות A,C יש ערך X שווה (3-)  ולכן אורך הצלע AC הוא:
7 = (2-) – 5

חישוב אורך הגובה
הגובה היוצא מהנקודה (2,  3)B אל הצלע AC מגיע אל הנקודה (2, 3-)D
(ולמה? הגובה מאונך לציר ה y ולכן שומר על ערך ה y של הנקודה ממנה יצא B. בנוסף הוא מגיע אל הישר AC שבו ערך ה x הוא 3- לכל אורכו).
לכן אורך הגובה BD הוא:
6 = (3-) – 3

חישוב שטח המשולש
= 2 : (7* 6)
21 = 2 : 42

נושא 8: השוואת שטחי משולשים שגודלם נתון במשתנים

הסבר

אם אתם יודעים לפתוח סוגריים תרגילים מסוג זה הם לא תרגילים קשים.
אם אתם לא יודעים לפתוח סוגריים תוכלו ללמוד זאת בקישור פתיחת סוגריים.

הסבר קצר לפתיחת סוגריים מופיע כאן:

כיצד פותחים סוגריים

תרגיל 1

נתונים לכם שלוש זוגות של משולשים שניתן לחשב את שטחם.
לגבי כל אחד מזוגות המשולשים קבעו האם אחד משטחי המשולשים גדול / קטן / שווה לשטח המשולש האחר.

שימו לב

  1. אין להסתמך על מראה עיניים על מנת לקבוע את שטחי המשולשים.
  2. המשתנים x,y הם מספרים הגדולים מ- 0.

שרטוט התרגיל

פתרון
עבור כל זוג של משולשים נחשב את שטח המשולש של כל אחד מהמשולשים וכך נמצא מי מהמשולשים יותר גדול.
מכוון שבכול שטחי המשולשים מופיעה במכנה פעולה זהה, לחלק ב- 2 ניתן להתעלם מהמכנה ולקבוע איזה משולשי יותר גדול על פי מונה השבר בלבד.

זוג 1
שטח משולש A הוא:
= 4y : 2
שטח משולש B הוא:
0.5y * 6 : 2 = 3y : 2
4y > 3y
תשובה: שטח משולש B גדול יותר.

זוג 2
שטח משולש A הוא:
= 2 : x * y
שטח משולש B הוא:
= 2 : y * x
תשובה: שטחי המשולשים שווים.

זוג 3
שטח משולש A הוא:
שטח משולש A

שטח משולש B הוא:
שטח משולש B

בשני המונים יש את הביטוי XY ולכן ניתן להתעלם ממנו.
במשולש A נותר הביטוי X ובמשולש B נותר הביטוי Y.
אנו לא יודעים לגבי X,Y מי יותר גדול.
לכן לא ניתן לקבוע שטח של איזה משולש גדול יותר.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.