בעיות תנועה עם משפט פיתגורס

בדף זה שני חלקים:

  1. טיפים לפתרון בעיות תנועה עם פיתגורס.
  2. תרגילים.

נזכיר כי משפט פיתגורס אומר כי במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

משפט פיתגורס

1.טיפים לפתרון בעיות תנועה הקשורות למשפט פיתגורס

הרעיון הבסיסי

הרעיון הבסיסי של משפט בעיות תנועה בהקשר של משפט פיתגורס הוא שכך נראים כיווני התנועה.

לכן אם גוף אחד נע צפונה ומגיע אל הנקודה A וגוף שני נעה מערבה ומגיע אל הנקודה B אז משולש OAB הוא משולש ישר זווית כאשר:
OA  הוא המרחק  הוא המרחק שעבר הגוף שנע צפונה.
OB  הוא המרחק של הגוף שנע מערבה.
והמשוואה המבטאת את המרחק AB שבין הגופים היא:
OA² + OB² = AB²

הטעות הנפוצה

הטעות הנפוצה היא שמעלים את הצלעות OA, OB בריבוע.
אבל שוכחים להעלות את AB בריבוע.
יש לזכור להעלות את שלושת הצלעות בריבוע.

חוקי חזקות

בבעיות אלו אתם צריכים לדעת להעלות בריבוע ביטויים שונים.
למשל:
2x)² = 2²x² = 4x²)
x + 3)² = x² + 6x + 9)

2.תרגילים

תרגיל 1
צב ושבלול יוצאים מנקודה A.
הצב יוצא צפונה.
השבלול יוצא מזרחה במהירות הגדולה ב 0.5 קמ"ש ממהירות הצב.

כעבור שעתיים של הליכה המרחק בין הצב לשבלול הוא 5 ק"מ.
חשבו את מהירות הצב ומהירות השבלול.

פתרון
נגדיר:
x מהירות הצב בקמ"ש.
x + 0.5 מהירות השבלול בקמ"ש.

הדרך:
2x  זו הדרך שעבר הצב בשעתיים.
x + 0.5)*2 = 2x + 1)  זו הדרך שהצב עבר בשעתיים.

המשוואה:
על פי משפט פיתגורס המשוואה היא:
2x)² + (2x +1)² = 5²)

נפתור את המשוואה:
4x² + 4x² + 4x + 1 = 25
8x² + 4x – 24 = 0
2x² + x – 6 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום או נוסחת השורשים ונקבל:
x = 1.5  או  x = 2
מכוון שהחילזון והצב נעו קדימה המהירות צריכה להיות חיובית והתשובה היא x = 1.5.
תשובה: מהירות הצב היא 1.5 קמ"ש. מהירות החילזון 2 קמ"ש.

תרגיל 2
מנקודה A יוצא הולך רגל במהירות קבועה לכיוון צפון.
הנקודה B נמצאת 2 ק"מ מזרחה לנקודה A.
1/2 שעה לאחר צאת הולך הרגל הרגל הראשון יוצא ההולך הרגל השני במהירות הגדולה ב 1 קמ"ש ממהירות הולך הרגל הראשון מהנקודה B לכיוון מזרח.
כעבור 3 שעות מצאת הולך הרגל הראשון המרחק בין שני הולכי הרגל הוא 15 ק"מ.
חשבו את מהירויות הולכי הרגל.

פתרון
נגדיר
x המהירות בקמ"ש של הולך הרגל האיטי.
לכן:
x + 1  המהירות בקמ"ש של הולך הרגל המהיר.

המרחק של כל אחד מהולכי הרגל מהנקודה A
הולך הרגל האיטי הלך 3 שעות לכן הדרך שעבר היא:
3x
הולך הרגל המהיר הלך 2.5 שעות לכן הדרך שעבר היא:
x + 1) * 2.5 = 2.5x + 2.5)
בנוסף, הוא יצא מהנקודה B. לכן מרחק הנקודה C מהנקודה A היא:
2.5x + 2.5 + 2 = 2.5x + 4.5

בניית משוואה
המרחק בין הנקודות C,D הוא 15.
על פי משפט פיתגורס ניתן לכתוב:
3x)² + (2.5x + 4.5)² = 15²)
9x² + 6.25x² + 22.5x + 20.25 = 225
15.25x² + 22.5x – 204.25 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = 3  או  x = -4.47
מהירות היא גודל חיובי ולכן התשובה היחידה היא x = 3.
תשובה: מהירות הולך הרגל האיטי היא 3 קמ"ש. מהירות הולך הרגל המהיר היא 4 קמ"ש.

תרגיל 3
הולך רגל יצא מהנקודה A לכיוון מערב במהירות 10 קמ"ש.
רוכב אופניים יצא מנקודה הנמצאת 120 ק"מ מצפון לנקודה A אל עבר הנקודה A במהירות 20 קמ"ש.
הולך הרגל ורוכב האופניים יצאו לדרכם באותו הזמן.

  1. כעבור כמה זמן רוכב האופניים היה מרוחק פי 4 מהנקודה A ביחס להולך הרגל?
  2. מה היה המרחק בניהם באותו זמן?

פתרון
סעיף א
נגדיר
t הזמן בשעות מהיציאה לדרך ועד שרוכב האופניים היה מרוחק פי 4 מהולך הרגל.

כעבור t שעות המרחק של רוכב האופניים מהנקודה A הוא:

כעבור t שעות המרחק של הולך הרגל מהנקודה A הוא:
10t

בניית משוואה
המרחק של רוכב האופניים גדול פי 4, לכן המשוואה היא:
10t * 4 = 120 – 20t
40t = 120 – 20t
60t = 120
t = 2
תשובה: כעבור שעתיים המרחק של רוכב האופניים גדול פי 4 מהמרחק של הולך הרגל.

סעיף ב
הולך הרגל יצא מהנקודה A לכן הוא נמצא
20 = 20 * 2
20 קילומטר מהנקודה A.

בזמן זה רוכב האופניים עבר:
40 = 2 * 20
לכיוון הנקודה A. לכן מרחקו מהנקודה A הוא:
80 = 40 – 120

על פי משפט פיתגורס המרחק בניהם הוא:
x² = 20² + 80²
x² = 6800
x = 82.462
תשובה: המרחק בין הולך הרגל לרוכב האופניים הוא x = 82.462.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.