משוואת ישר כיתה י

בדף זה נלמד את היסודות של משוואת ישר עבור תלמידי כיתה י.

בכיתה י עליכם לדעת לבנות משוואות קשות יותר.
החלקים של דף זה הם:

  1. הדבר החשוב שצריך ללמוד מדף זה.
  2. תרגילים.

1.הדבר החשוב ביותר שצריך ללמוד מדף זה

כל נקודה מוגדרת על ידי שני ערכים (משתנים), ערך x וערך y.
אבל אם ידוע לנו שנקודה נמצאת על ישר אז ניתן להגדיר את הנקודה על ידי משתנה אחד.

דוגמה 1
הגדירו את הנקודה הנמצאת על הישר y = 2x +1  באמצעות משתנה אחד.

פתרון
נגדיר את ערך ה x של הנקודה כ xA.
על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה נציב xA במשוואת הישר.
נקבל:
y = 2xA +1
אם כך הנקודה שקיבלנו היא:
xA, 2x+ 1

דוגמה 2
הגדירו את הנקודה הנמצאת על הישר y = -4x באמצעות משתנה אחד.

פתרון
נגדיר את ערך ה x של הנקודה כ xA.
על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה נציב xA במשוואת הישר.
נקבל:
y = -4xA
אם כך הנקודה שקיבלנו היא:
xA, -4xA

כמו כן
כל נקודה הנמצאת על אחד הצירים ניתן להגדיר באמצעות משתנה אחד.
כל נקודה הנמצאת על ציר ה x ניתן להגדיר בעזרת משתנה אחד:
(A (x, 0
כל נקודה הנמצאת על ציר ה y ניתן להגדיר באמצעות משתנה אחד:
(B(0,y

דוגמה 
הנקודות B,C נמצאות על ציר ה x.
(B (2,0)  A(5,4
המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
ידוע כי אורך הצלע AB הוא 5.
מצאו את הנקודה C.

פתרון
נגדיר את הנקודה (C (x,0
נציב את הנקודות:
(A(5,4)   C (x,0 ו  d = 5
בנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
x – 5)² + (4 – 0)² = 5²)
x² – 10x + 25 + 16 = 25
x² – 10x + 16 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של הטרינום:
x² – 10x + 16 = 0
x² – 2x – 8x +16 = 0
x (x -2) -8(x – 2) = 0
x – 8) (x -2) = 0)
x = 2 או x = 8

כאשר x = 2 זו הנקודה B.
כאשר x = 8 זו הנקודה C.
תשובה: (C (8,0

דוגמאות עם פתרונות מלאים

לאחר שהגדרנו את הנקודה בעזרת משתנה אחד נצטרך לבנות משוואה על מנת למצוא את המשתנה.

דוגמה 1
על הישר y = 2x +1 נמצאת נקודה שמרחקה מהנקודה 5,9 הוא 5.
מצאו את הנקודה.

פתרון
כפי שמצאנו בדוגמה הראשונה שלמעלה הנקודה הכללית שנמצאת על הישר y = 2x +1 היא:
xA, 2x+ 1

אנו יודעים כי המרחק בין הנקודה 5,9  ל xA, 2x+ 1 הוא 5.
נציב את הערכים הללו במשוואת מרחק בין שתי נקודות.
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

xA – 5)² + (2x+ 1 – 9)² = 5²)
xA – 5)² + (2x– 8)² = 5²)
xA² -10xA +25 + 4xA² – 32xA + 64 = 25
5xA² -42xA + 89 = 25
5xA² -42xA + 64 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נקבל:
x = 2  או   xA = 6.4

הנקודה היא:
xA, 2x+ 1
נציב:
x = 2
2,5

אפשרות שנייה היא:
xA = 6.4
13.8 ,6.4

תשובה: שתי הנקודות הנמצאות על הישר y = 2x +1 שמרחקן הוא 5 מהנקודה 5,9 הם:
2,5
13.8 ,6.4

הנקודה A נמצאת במרחק 5 משתי הנקודות הנמצאות על הישר

הנקודה A נמצאת במרחק 5 משתי הנקודות הנמצאות על הישר

דוגמה 2
נקודה הנמצאת על הישר y = – 4x והנקודה 1,8 יוצרות שיפוע של 2.
מצאו את הנקודה הנמצאת על הישר.

פתרון
כפי שראינו למעלה ניתן להגדיר את הנקודה הנמצאת על הישר כ:
xA, -4xA
נציב את הנקודה הזו ואת הנקודה 1,8 בנוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות.

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נכפיל במכנה ונקבל:
2xA – 2 = -4xA – 8
6xA = -6
xA = -1

הנקודה היא
xA, -4xA

2.תרגילים

תרגיל 1 קל יחסית.
תרגילים 2-4 קשים יותר.

תרגיל 1
הנקודה (3,5) והנקודה (x,2) נמצאות על ישר ששיפועו ששיפועו 3.
מצאו את x.

פתרון
נציב את שתי הנקודות הללו בנוסחה למציאת שיפוע ונקבל:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

3x – 9 = -3
3x = 6
x = 2

תשובה: הנקודה (2,2)  והנקודה (3,5) יוצרות ישר ששיפועו 3.

תרגיל 2
ידועה הנקודה (A (2,4
הנקודה B נמצאת על הישר y = x -2.
הנקודה C היא אמצע הקטע AB.

מצאו את הנקודה B אם ידוע שערך ה x בנקודה C הוא 5.

פתרון
שלב 1: הגדרת הנקודה B.
xb ערך ה x בנקודה B.
xb -2   ערך ה Y בנקודה B.
הדבר נובע מכך שהנקודה B נמצאת על הישר y = x -2.

שלב 2: נבנה משוואה על מנת למצוא את xb
אנו יודעים שערך ה x בנקודה C הוא 5.
לכן ניתן לבנות את המשוואה הבאה:

xb + 2 = 10  / -2
xb = 8

שלב 3: נמצא את yb.
הנקודה B נמצאת על הישר y = x -2.
וערך ה x בנקודה B הוא xb = 8

נציב xb = 8  במשוואת הישר y = x -2 ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
y = 8 -2 = 6
תשובה: (B (8, 6.

תרגיל 3
הנקודה A היא (4,5).
הנקודה B נמצאת על ציר ה x.
הישר y = x + 1.5 חותך את הישר AB בנקודה C שהיא אמצע הקטע AB.

  1. מצאו את הנקודה C.

הרעיון של הפתרון

  1. אנו יודעים את ערך ה y של הנקודה A והנקודה B.
  2. לכן ניתן למצוא את ערך ה y של הנקודה C.
  3. לאחר שאנו יודעים את y נציב במשוואה y = x + 1.5 ונמצא את x.

פתרון
B נמצאת על ציר ה x לכן ניתן לכתוב אותה כך:
(B (x,0

ערך ה y של הנקודה C הוא:

נציב y = 2.5 במשוואת הישר
y = x + 1.5
x + 1.5 = 2.5
x = 1
תשובה: הנקודה (C(1,2.5

תרגיל 4
על הישר y = 2x  נמצאת הנקודה A.
על הישר y = 3x נמצאת הנקודה B.
אמצע הקטע AB הוא הנקודה 7 ,2.5
מצאו את הנקודות A ו B.

פתרון
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
לכן ערך ה y הוא:
y = 2x
(A(x, 2xA

נגדיר:
xB ערך ה x בנקודה B.
לכן ערך ה y הוא:
y = 3x
(B(xB, 3xB

שלב ב: בניית שתי משוואות עם שני נעלמים
נקודת האמצע היא: 7 ,2.5
לכן המשוואה עבור ערכי ה x היא:

xA + xB = 5

עבור ערכי ה y המשוואה היא:

2xA + 3xB = 14

קיבלנו את שתי המשוואות:
xA + xB = 5
2xA + 3xB = 14
נפתור בשיטת השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 2.
2xA + 2xB = 10
2xA + 3xB = 14
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:
x = 4

נציב במשוואה:
xA + xB = 5
xA + 4 = 5
xA = 1

תשובה סופית
הנקודות הן:
(A(x, 2xA
(B(xB, 3xB
מצאנו כי:
xA = 1
x = 4
לכן:
(A(1,2
(B(4,12

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.