חקירת משוואה עם שני נעלמים ופרמטר, מתי הישרים מקבילים?

בדפים קודמים למדנו משוואה עם משתנה אחד:

בדף זה נעבור ללמוד על משוואה עם שני משתנים ונענה על שתי שאלות:

  1. מתי שני ישרים מקבילים / מאונכים?
  2. מתי משוואה עם פרמטר מייצגת פונקציה קווית?

1.מתי שני ישרים מקבילים?

שני ישרים מקבילים כאשר השיפוע שלהם שווה.
כאשר אתם מחפשים ישרים מקבילים עליכם לדאוג לעבור אל המשוואה המפורשת של הישר.
במשוואה המפורשת של הישר מתקיימים שני תנאים:

  1. המקדם של y הוא 1.
  2. ה y נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה.

דוגמה 1
y + 2x = 1

פתרון
המשוואה המפורשת היא:
y = -2x + 1
שיפוע הישר הוא 2-.

דוגמה 2
my + (m +2)x + 4 = 0

פתרון
נבודד את ה y בצד אחד של המשוואה.
my = -(m + 2) – 4
נחלק את המשוואה ב m על מנת שהמקדם של y יהיה 1.
כמובן, שתנאי שצריך להתקיים על מנת שנוכל לבצע חילוק ב m ושזו תהיה משוואות ישר הוא m ≠ 0.
נקבל:

החלק המסומן באדום הוא השיפוע של הישר
my + (m +2)x + 4 = 0

תרגיל

תרגיל 1
עבור אלו ערכי a הישר
a² + 3a + 2)y = (a + 2)x + 1)
מקביל לישר
3y – 6x = 0

פתרון
נמצא את שיפוע הישר שאינו כולל פרמטר
3y – 6x = 0
3y = 6x
y = 2x
השיפוע המבוקש הוא 2.

נמצא את השיפוע של הישר עם הפרמטר (נבטא אותו באמצעות פרמטר).
a² + 3a + 2)y = (a + 2)x + 1)

את הביטוי הבא ניתן לפרק בעזרת טרינום.
a² + 3a + 2
a² + a + 2a + 2
(a (a +1) + 2(a +1
(a + 2) (a + 1)

המשוואה שלנו עכשיו היא:
a + 2) (a + 1)y = (a + 2)x + 1)
נחלק במקדם של y על מנת להפוך אותו ל 1.
על מנת לעשות זאת עלינו לקבוע:
a ≠ -2,  a ≠ -1
לאחר החלוקה נקבל:

על מנת שהישרים יהיו מקבילים שני המקדמים של x בשתי המשוואות צריכים להיות שווים.
זו המשוואה המייצגת שיפועים שווים.

2a + 2 = 1
2a = -1
a = -0.5

נבדוק שהתשובה שקיבלנו אינה נפסלת על ידי התנאים שבעזרתם פתרנו את המשוואה.
a ≠ -2,  a ≠ -1
והתשובה אינה נפסלת.
לכן עבור a = -0.5 שני הישרים מקבילים.

2.מתי משוואת מייצגת ישר או פונקציה קווית?

שימו לב שיש הבדל בין ישר לבין פונקציה קווית.
המשוואות הבאות
x = 2
x = -3
x = 0
אלו הם ישרים על מערכת הצירים, אבל זו לא פונקציה קווית, כי אין בהם את y.

לעומת זאת
y = 2x + 1
y + 3x – 4 = 0
אלו הן פונקציות קוויות כי הן כוללות גם את x וגם את y.

דוגמה
my = (m – 1)x
מתי משוואה זו היא פונקציה קווית?

פתרון
סעיף א
זו פונקציה קווית (משוואת ישר) כאשר גם המקדם של x וגם המקדם של y שונים מ 0.
המקדם של y שונה מ 0 כאשר:
m ≠ 0

המקדם של x שונה מ 0 כאשר
m – 1 ≠ 0
m≠ 1

לכן משוואה זו מייצגת פונקציה קווית כאשר:
m ≠ 0,  m≠ 1

תרגיל
a + 4)y = (a² + 8a + 12)x + 1)
קבעו לאלו ערכי a

  1. זו משוואה של פונקציה קווית?

פתרון
המשוואה הזו תהיה של פונקציה קווית כאשר גם המקדם של x וגם המקדם של y יהיו שונים מ 0.

המקדם של y שווה ל 0 כאשר
a + 4 = 0
a = -4
לכן אנו צריכים
a ≠ -4

המקדם של x שווה ל 0 כאשר
a² + 8a + 12 = 0
a² + 2a + 6a + 12 = 0
a (a + 2) + 6 (a + 2) = 0
a + 6) (a +2) = 0)
לכן אנחנו צריכים:
a ≠ – 6,  a ≠ -2

תשובה: המשוואה מייצגת פונקציה קווית כאשר:
a ≠ – 6,  a ≠ -2,  a ≠ -4

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.