שתי משוואות עם שני נעלמים ופרמטר

בדף זה נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים ופרמטר.
שלושת החלקים של דף זה הם:

  1. הסבר תאורטי מתי למערכת משוואות יש פתרון יחיד / אינסוף פתרונות / פתרון יחיד.
  2. סיכום של ההסבר.
  3. תרגילים.

על מנת להצליח לפתור תרגילים בדף זה עליכם לדעת:

  1. השוואת מקדמים (שיטת הפתרון של שתי משוואות).
  2. להכיר את הנושא של מספר הפתרונות: פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון.

1.מתי למערכת משוואות יש פתרון יחיד / אינסוף פתרונות / פתרון יחיד

פתרון יחיד

נזכיר, פתרון יחיד מתקבל כאשר בסוף פתרון המשוואות נקבל
x = k
או
y = k
(k מספר או פרמטר כלשהו).
כלומר כאשר בתהליך הפתרון x או y נשארים חלק מהמשוואה ולא "נעלמים" בעקבות חיבור / חיסור המשוואות שעושים בהשוואת מקדמים.

מתי מתקבל פתרון יחיד?

אם שתי המשוואות שלנו הם:
ax + cy = e
bx + dy = f

אז למערכת פתרון יחיד כאשר:

נסביר את ההיגיון לכך דרך מערכת המשוואות
x +3y = 5  (משוואה ראשונה).
2x + ay = 8  (משוואה שנייה).

כאשר a = 6  מתקיימת המשוואה הזו:

במקרה זה ניתן להכפיל את המשוואה הראשונה פי 2 ולקבל:
2x +6y = 5  (משוואה ראשונה).
2x + 6y = 8  (משוואה שנייה).

כאשר נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה נקבל:
5 – 8 = 0
3 = 0
זו לא משוואה עם פתרון יחיד.

לכן על מנת על מנת לקבל פתרון יחיד עלינו לשמור על מצב שבו:

כי רק במצב זה לא ניתן לחסר את שתי המשוואות "ולהעלים" גם את x וגם את y.

אינסוף פתרונות

נזכיר:
אינסוף פתרונות מתקבלים כאשר בסוף הפתרון של שתי המשוואות אנו נקבל משוואה שהיא תמיד נכונה, ללא תלות בערך של y או ערך של x.
למשל אם בסוף הפתרון נקבל:
2 = 2
0 = 0
אז למערכת המשוואות שלנו יש אינסוף פתרונות.

מתי למערכת משוואות יש אינסוף פתרונות?

אם שתי המשוואות שלנו הם:
ax + cy = e
bx + dy = f

למשוואות הללו יש אינסוף פתרונות כאשר:

דבר זה נכון מהסיבה שכאשר משוואה זו נכונה ניתן להכפיל משוואה אחת במספר ולהגיע בדיוק אל המשוואה השנייה.
ולאחר פעולת ההכפלה.

ניתן דוגמה לכך דרך המשוואות:
2x + 6y = 10  (משוואה ראשונה).
x +3y = 5  (משוואה שנייה).

מערכת משוואות זו מקיימת:

נובע מכך שיש מספר (במקרה זה 2) שאם נכפיל בו את המשוואה הראשונה נגיע בדיוק אל המשוואה השנייה.
(לאחר ההכפלה פי 2 נקבל את המשוואות)
2x + 6y = 10  (משוואה ראשונה).
2x +6y = 5  (משוואה שנייה).

כאשר נחסר את המשוואות נקבל
0 = 0
וזה דבר שנכון תמיד, ללא תלות בערך של x או y ולכן המשמעות שלו היא אינסוף פתרונות.

אף פתרון

נזכיר:
אף פתרון מתקבל כאשר בסוף הפתרון של שתי המשוואות אנו נקבל משוואה שהיא אף פעם לא נכונה, ללא תלות בערך של y או ערך של x.
למשל אם בסוף הפתרון נקבל:
0 = 2
4- = 0
אז למערכת המשוואות שלנו אין אף פתרון.

מתי למערכת משוואות אין אף פתרון?

אם שתי המשוואות שלנו הם:
ax + cy = e
bx + dy = f

למשוואות הללו יש אין אף פתרון כאשר:

במקרה זה למערכת המשוואות אין אף פתרון כי קיים מספר שאם נכפיל בו את אחת המשוואות נוכל להעלים גם את x וגם את y אבל נקבל משוואה שהיא אף פעם לא נכונה, למשל
1 = 0

ניתן דוגמה לכך דרך המשוואות:
2x + 6y = 14  (משוואה ראשונה).
x +3y = 5  (משוואה שנייה).

מערכת משוואות זו מקיימת:

כאשר נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 נקבל את שתי המשוואות.
2x + 6y = 14  (משוואה ראשונה).
2x +6y = 10  (משוואה שנייה).

וכאשר נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה נקבל:
4 = 0
זו משוואה שלא נכונה תמיד, ולא משנה מה הם ערכי x,y.
לכן למערכת משוואות זו אין אף פתרון.

2.לסיכום

כאשר אנו מקבלים פתרון שבו x או y לא מתבטלים אז הפתרון תלוי בערך של x או y ולכן זה פתרון יחיד.

כאשר x וגם y מתבטלים אנו נקבל משוואה שאינה תלויה ב x,y.
משוואה זו יכולה להיות נכונה תמיד (אינסוף פתרונות) אם היא נראית כך:
0 = 0  .
או לא נכונה אף פעם אם היא נראית כך:
2 = 0

זו המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
כאשר אין פתרון שתי המשוואות מייצגות ישרים מקבילים.
כאשר יש פתרון יחיד שתי המשוואות מייצרות ישרים נחתכים.
כאשר יש אינסוף פתרונות שתי המשוואות מייצגות את אותו ישר והישרים מוכלים זה בזה.

המצבים האפשריים בין שני ישרים

3.תרגילים

תרגיל 1
2x + 3y = 10   (משוואה 1)
10x + ay = 50   (משוואה 2)

  1. עבור אלו ערכי a למערכת יש אינסוף פתרונות?
  2. עבור אלו ערכי a יש למערכת פתרון יחיד?
  3. עבור אלו ערכי a למערכת אין אף פתרון?

פתרון
סעיף א: אינסוף פתרונות
על מנת שלמשוואה יהיו אינסוף פתרונות צריך להתקיים

ניתן לראות שכאשר a = 15 משוואה זו נכונה.
לכן כאשר a = 15 למשוואה זו אין סוף פתרונות.

הסבר בדרך אחרת
כאשר נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 נקבל:
10x + 15y = 50   (משוואה 1)
10x + ay = 50   (משוואה 2)

כאשר a = 15 אנו נקבל שתי משוואות זהות וכאשר נחסר אותן נקבל
0 = 0
וזה דבר שמתקיים תמיד, לכן כאשר a = 15 למשוואה אינסוף פתרונות.

סעיף ב: פתרון יחיד
על מנת שיתקבל פתרון יחיד צריכה להתקיים המשוואה

משוואה זו מתקיימת כאשר
a ≠ 15
תשובה: כאשר a ≠ 15 למשוואה פתרון יחיד.

סעיף ג: אף פתרון
על מנת שלא יהיה פתרון צריכה להתקיים המשוואה

החלק השמאלי של המשוואה מתקיים כאשר a = 15
אבל כאשר a = 15 מתקיים גם:

לכן אין מצב שבו למשוואה אין פתרון.

תרגיל 2
מצאו מתי למערכת המשוואות
x + 3y = a + 4  (משוואה ראשונה)
3x + 4.5y = -1.5a – 1.5   (משוואה שנייה)

  1. יש פתרון יחיד, הביעו את הפתרון באמצעות a.
  2. יש אין סוף פתרונות.
  3. אין אף פתרון.

פתרון
סעיף א: פתרון יחיד
נפתור את מערכת המשוואות בשיטת השוואת המקדמים.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 3.
x + 3y = a + 4  / *3
3x + 9y = 3a + 12

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה ונקבל:
(9y – 4.5y = 3a +12 – (-1.5a – 1.5
4.5y  = 4.5a + 13.5
y = a + 3

נציב y = a + 3 במשוואה הראשונה על מנת למצוא את x.
x + 3y = a + 4
x + 3(a + 3) = a + 4
x + 3a + 9 = a + 4
x = -2a – 5

תשובה: הפתרון היחיד של המשוואה הוא:
y = a + 3
x = -2a – 5

סעיף ב + ג: אינסוף פתרונות או אף פתרון
נשים לב כי לא קיים תנאי היוצר פתרון יחיד.
לכן יש פתרון יחיד לכל a ואין a שעבורו יש אינסוף פתרונות או אף פתרון.

דרך שנייה להגיע לפתרון
נפתור סעיף זה גם בדרך "הרגילה".
על מנת שלמשוואה יהיה אינסוף פתרונות או אף פתרון צריך להיות מספר שנכפיל בו את המשוואה הראשונה ולאחר שנעשה זאת נוכל לחסר את המשוואות ולהישאר ללא x וללא y.
x + 3y = a + 4  (משוואה ראשונה)
3x + 4.5y = -1.5a – 1.5   (משוואה שנייה)

ניתן לראות שאת ה x ניתן לבטל על ידי הכפלת המשוואה הראשונה ב 3.
ואת ה y על ידי הכפלת המשוואה הראשונה ב 1.5.

כלומר, אין מספר אחד שניתן להכפיל בו ולבטל גם את x וגם את y.
לכן למערכת משוואות זו אין ערך a שבעבורו יש לה אינסוף פתרונות או פתרון יחיד.

תרגיל 3
מצאו מתי למערכת המשוואות
2x + 2ay = 3  (משוואה ראשונה)
4x + (a +1) y = 6   (משוואה שנייה)

  1. יש אין סוף פתרונות.
  2. אין אף פתרון.
  3. יש פתרון יחיד. מצאו את הפתרון.

פתרון
סעיף א: אינסוף פתרונות
למערכת יש אינסוף פתרונות כאשר אנו נקבל משוואה שהיא תמיד נכונה.
וזה קורה כאשר גם ה x וגם ה y נעלמים מהמשוואה וגם המספרים החופשיים נעלמים מהמשוואה.

על מנת שנוכל "להעלים" את x נכפיל את המשוואה הראשונה פי 2
2x + 2ay = 3  / *2
4x + 4ay = 6  (משוואה ראשונה)

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה.
4ay – (a + 1)y = 0
y (4a – a – 1) = 0
y (3a – 1) = 0

על מנת שלמשוואה יהיו אינסוף פתרונות גם ה y צריך "להיעלם".
3a – 1 = 0
a = 1/3

נציב במשוואה שקיבלנו  a = 1/3 ונקבל
y (3 * (1/3) – 1) = 0
y*0 = 0
0 = 0
זו משוואה הנכונה תמיד.

תשובה: כאשר a = 1/3 למשוואה יש אינסוף פתרונות.

סעיף ב: אף פתרון
על מנת שיהיה אף פתרון ה x וה y צריכים "להיעלם" וכאשר הם "נעלמים" צריכה להתקבל משוואה שלא מתקיימת אף פעם.
בסעיף הקודם מצאנו שכאשר x,y "נעלמים" המשוואה היא
0 = 0
וזו משוואה עם אינסוף פתרונות בלי אפשרות שלא יהיה לה פתרון.
תשובה: למערכת המשוואות הזו אין אפשרות שלא יהיה פתרון.

סעיף ג: פתרון יחיד
נפתור את המערכת.
נשתמש בשתי המשוואות שהגענו אליהם בסעיף א.
4x + 4ay = 6 (משוואה ראשונה)
4x + (a +1) y = 6   (משוואה שנייה)

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה.
y (3a – 1) = 0
יש לנו כאן מכפלה של שני איברים השווה ל 0.
אפשרות אחת היא
3a – 1 = 0
a = 1/3
ואז למערכת יש אינסוף פתרונות.
או
a ≠ 1/3
ואז
y = 0

נציב y = 0  במשוואה הראשונה ונמצא את x.
4x + 4ay = 6
4x + 0 = 6
x = 1.5
תשובה: כאשר a ≠ 1/3 מתקבל פתרון יחיד שהוא y = 0,  x = 1.5.

תרגיל 4
מצאו מתי למערכת המשוואות
4x + ay -12 = 0
x + 2y -3 = 0
יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון
למערכת יש אינסוף או אף פתרון כאשר:

a = 8.

שלב ב: נציב את ערכי ה a שמצאנו במשוואה ונראה אם יש עבורם אינסוף או אף פתרון
נציב a =8 ונבדוק האם יש במצב זה אינסוף פתרונות או אף פתרון

שלב ג: רישום התשובה
מצאנו כי למערכת יש אינסוף פתרונות כאשר a = 8.
וזה אומר שבמצב זה הישרים מקבילים.

עבור a≠8 למערכת יש פתרון יחיד, וזה אומר שהישרים נחתכים.

תרגיל 5
a² +5)x + 7y  + 3.5a = 0)
3x + y  +2 = 0
מצאו מתי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון

a² + 5 = 21  / -5
a² = 16
a = 4,  a = -4

שלב ב: נציב את ערכי ה a שמצאנו במשוואה ונראה אם יש עבורם אינסוף או אף פתרון
עבור a = 4
המשוואות נראות כך:
21x + 7y  + 14 = 0
3x + y  +2 = 0

לכן עבור a = 4 יש אינסוף פתרונות והישרים מוכלים אחד בשני.

נבדוק עבור a = -4
המשוואות נראות כך:
21x + 7y  – 14 = 0
3x + y  +2 = 0

לכן עבור a = -4 למערכת אין אף פתרון ואלו ישרים מקבילים.

פתרון יחיד
עבור a≠4,  a≠ -4 למערכת יש פתרון יחיד.

תרגיל 6
2ax + (a² + 2a – 6)y  + 8 = 0
12x + 6y  – 4 = 0
מצאו מתי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון

12a² +24a -72 = 12a / -12a
12a² +12a – 72 = 0  / : 12
a² + a – 6 = 0

קיבלנו משווואה ריבועית.
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נפתור כאן בעזרת טרינום.
a² – 2a + 3a – 6 = 0
a (a – 2) +3( a-2) = 0
a + 3) (a – 2) = 0)

הפתרונות הם a = -3 או a =2.
עבור שני הערכים הללו יכולים להתקבל אינסוף או אף פתרון.
נבדוק כל ערך בנפרד.
2ax + (a² + 2a – 6)y  + 8 = 0
12x + 6y  – 4 = 0

עבור a=2 המשוואות שנקבל הן:
4x + 2y + 8 = 0
12x + 6y – 4 = 0

ניתן לראות שניתן להכפיל פי 3 את המקדמים של x,y במשוואה הראשונה על מנת להגיע אל המקדמים של x,y במשוואה השנייה.
אבל כאשר נכפיל פי 3 את המספר החופשי 8 לא נקבל 4-.

לכן עבור a =2 אין למשוואות פתרון ואלו שני ישרים מקבילים.

עבור a = -3 המשוואות שנקבל הן:
6x – 3y + 8 = 0-
12x + 6y – 4 = 0

אם נכפיל את כל אחד מהאיברים במשוואה הראשונה פי 2- נקבל מקדמים שווים של x,y אבל המספר החופשי לא יהיה שווה.
לכן עבור a =-3 למשוואה אין פתרונות ואלו ישרים מקבילים.

פתרון יחיד
כאשר a ≠ 2,  a ≠ -3 למשוואה יש פתרון יחיד.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.