אינטגרל שיטת ההצבה

בדף זה נלמד ונתרגל פתרון של אינטגרלים מורכבים ע"י שיטת ההצבה.

במסגרת הלימודים בבית הספר התיכון נשתמש בשיטת ההצבה כאשר עלינו לבצע אינטגרל לפונקציה הכוללת מכפלה של פונקציה והנגזרת שלה.

המפתחות לשימוש נכון בשיטת ההצבה הוא:

  1. הבנה ש dx, dt הם ביטויים בעלי משמעות וערך באינטגרל. לא כותבים אותם סתם, אלא הם שווים משהו.
  2. זיהוי נכון של הפונקציה והנגזרת שלה.

דוגמה לשימוש בשיטת ההצבה.
חשבו את האינטגרל:
sin x cosx dx∫

יש כאן אינטגרל של מכפלה של פונקציות
וגם
sinx)' = cosx)
לכן מה שנעשה הוא:

שלב א: הגדרה
נגדיר את הפונקציה כשווה ל t.
sin x = t

שלב ב: גזירה של שני הצדדים, מציאת הערך של dt
sin x = t
נגזור את שני הצדדים של המשוואה ונקבל:
cos x = dt

שלב ג: הצבה באינטגרל המקורי
זה האינטגרל המקורי
sin x cosx dx∫
נבצע את ההצבות הבאות:
sin x = t
cos x = dt
ונקבל:
sin x cosx dx = ∫t dt∫

שלב ד: ביצוע אינטגרל רגיל
t dt = 0.5t² + c∫

שלב ה: חזרה למשתני המקורי
0.5t² = 0.5sin²x

תשובה:  sin x cosx dx = 0.5sin²x∫

סיכום השלבים בשימוש בשיטת ההצבה:

  1. זיהוי מכפלה של פונקציה והנגזרת שלה בתוך האינטגרל.
  2. הגדרת הפונקציה כ t. כך
    f (x) = t
  3. גזירת שני צדדי המשוואה וקבלת ביטוי כזה:
    f ' (x) = dt
  4. הצבת t, dt באינטגרל וחישוב אינטגרל "רגיל" על פי t.
  5. חזרה אל המשתנה המקורי באמצעות המשוואה
    f (x) = t

(הערה: עבור אינטגרל מסוים – השיטה מעט שונה. הסבר בהמשך הדף)

תרגילים

אינטגרל לא מסוים

תרגיל 1
6x³ *18x² dx∫
(ניתן לבצע אינטגרל לתרגיל זה גם ללא הצבה, אבל נעשה זאת גם בהצבה למען התרגול).

פתרון
נגדיר 6x³ = t
18x² = dt

נציב את שני הביטויים הללו באינטגרל:
6x³ *18x² dx = ∫t dt = 0.5t²∫

נציב בחזרה 6x³ = t
0.5t² =0.5* (6x³)² = 0.5*36x6 = 18x6

תשובה: 6x³ *18x² dx = 18x6

תרגיל 2

פתרון

  1. זהו אינטגרל מורכב, לכן נציב:
    t = x + 9
  2. נגזור את שני האגפים, ונקבל:
    dt = dx
    (מכיוון שהנגזרת של כל אגף לפי המשתנה שלו שווה ל – 1).
  3. נציב את x + 9 ואת dx באינטגרל. נקבל:
  4. נפתור את האינטגרל לפי t :
  5. נחזור למשתנה המקורי – x :
    לכן התשובה:

 

תרגיל 3

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – (f(x) = ln(x ,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  f ' (x) = 1/x.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – (t = ln(x
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 1/x dx
    ( f(x) = lnx , ולכן :  f ' (x) = 1/x)
  3. נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן נציב את t ואת dt באינטגרל. נקבל:

  4. נפתור את האינטגרל לפי t :
  5. נחזור למשתנה המקורי – x :
  6. לכן התשובה:

תרגיל 4

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – (f(x) = sin(x ,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  (f ' (x) = cos(x.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – (t = sin(x
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = cos(x) dx
  3. נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן נציב את t ואת dt באינטגרל. נקבל:
  4. נפתור את האינטגרל לפי t :
  5. נחזור למשתנה המקורי – x :
  6. לכן התשובה:

 

תרגיל 5

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – f(x) = x3 ,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  f ' (x) = 3x2.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – t = x3
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 3x2 dx
  3. נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן נציב את t ואת dt באינטגרל. נקבל:
  4. נפתור את האינטגרל לפי t :
  5. נחזור למשתנה המקורי – x :
  6. לכן התשובה:

אינטגרל מסוים

כאשר נשתמש בשיטת ההצבה באינטגרל מסוים , לאחר שהצבנו – נפעל בצורה הבאה:
1. שינוי גבולות האינטגרל בהתאם להצבה:
באינטגרל מסוים , אם נשתמש בשיטת ההצבה ולא נשנה בהתאם את הגבולות – נקבל תוצאה שגויה.
שינוי הגבולות יתבצע ע"י הצבת הגבול במקום x במשוואת ההצבה : (t = f(x.
לדוגמה: אם נציב t = x2 , והגבולות הם :  ,
הגבולות החדשים יתקבלו ע"י הצבתם במקום x במשוואה t = x2.
כלומר , הם יהיו:   .

2. לאחר פתרון האינטגרל, אין צורך לחזור למשתנה המקורי.
מכיוון ששינינו את גבולות האינטגרל, המספר שנקבל בפתרון האינטגרל (לפי t) הוא התוצאה הנכונה.

 

תרגיל 1

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – f(x) = 3x2 + 1,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  f ' (x) = 6x.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – t = 3x2 + 1
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 6x dx
    נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן ניתן להציב את t ואת dt באינטגרל.
  3. שינוי הגבולות –
    גבול תחתון – נציב x = 0 במשוואה : t = 3x2 + 1.
    נקבל t = 1  – זהו הגבול התחתון החדש.
    גבול עליון – נציב x = 1 במשוואה : t = 3x2 + 1.
    נקבל t = 4  – זהו הגבול העליון החדש.נציב באינטגרל:
  4. פתרון האינטגרל לפי t:


  5. לכן התשובה היא :  32 / 15.

 

תרגיל 2

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – (f(x) = tg(x,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  (f ' (x) = 1/cos2(x.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – (t = tg(x
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 1/cos2x dx
    נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן ניתן להציב את t ואת dt באינטגרל.
  3. שינוי הגבולות –
    גבול תחתון – נציב x = π/4 במשוואה : (t = tg(x.
    נקבל t = 1  – זהו הגבול התחתון החדש.
    גבול עליון – נציב x = π/3 במשוואה : (t = tg(x.
    נקבל t = √3  – זהו הגבול העליון החדש.נציב באינטגרל:
  4. פתרון האינטגרל לפי t:


  5. לכן התשובה היא :  1 

 

תרגיל 3

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – (f(x) = ln(x,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  f ' (x) = 1/x.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – (t = ln(x
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 1/x dx
    נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן ניתן להציב את t ואת dt באינטגרל.
  3. שינוי הגבולות –
    גבול תחתון – נציב x = e במשוואה : (t = ln(x.
    נקבל t = 1  – זהו הגבול התחתון החדש.
    (מכיוון ש: ln(e) = 1)
    גבול עליון – נציב x = e2 במשוואה : (t = ln(x.
    נקבל t = 2 – זהו הגבול העליון החדש.
    (מחוקי לוגריתמים:  ln(e2) = 2ln(e) = 2)
    נציב באינטגרל:
  4. פתרון האינטגרל לפי t:


  5. לכן התשובה היא :  7/24 .

 

תרגיל 4

פתרון

  1. ניתן לרשום את האינטגרל בצורה הבאה:

    כעת נשים לב כי יש לנו פונקציה – f(x) = x5 + 4
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  f ' (x) = 5x4
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – t = x5 + 4
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 5x4 dx
    נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן ניתן להציב את t ואת dt באינטגרל.
  3. שינוי הגבולות –
    גבול תחתון – נציב x = 0 במשוואה :t = x5 + 4.
    נקבל t = 4  – זהו הגבול התחתון החדש.
    גבול עליון – נציב x = 2 במשוואה : t = x5 + 4.
    נקבל t = 36 – זהו הגבול העליון החדש.
    נציב באינטגרל:
  4. פתרון האינטגרל לפי t:


  5. לכן התשובה היא :  16 .

 

תרגיל 5

פתרון

  1. באינטגרל זה נשים לב כי יש לנו פונקציה – (f(x) = ln(x,
    ובנוסף יש לנו את הנגזרת שלה –  f ' (x) = 1/x.
    לכן נשתמש בשיטת ההצבה.
    נציב – (t = ln(x
  2. נגזור את שני האגפים:
    dt = 1/x dx
    נשים לב כי הביטוי שמצאנו עבור dt כבר נמצא כולו באינטגרל.
    לכן ניתן להציב את t ואת dt באינטגרל.
  3. שינוי הגבולות –
    גבול תחתון – נציב x = 1 במשוואה : (t = ln(x.
    נקבל t = 0  – זהו הגבול התחתון החדש.
    (מכיוון ש:  ln(1) = 0 ).
    גבול עליון – נציב x = e במשוואה : (t = ln(x.
    נקבל t = 1 – זהו הגבול העליון החדש.
    (מכיוון ש: ln(e) = 1).
    נציב באינטגרל:
  4. פתרון האינטגרל לפי t:


  5. לכן התשובה היא :  474.11 .

 

תרגיל 6 – העשרה

פתרון

תרגיל זה ניתן כהעשרה – מכיוון שזיהוי ההצבה בו הוא בעייתי.
זהו לא מצב אופייני להצבה – בו יש לנו פונקציה ונגזרת.

זיהוי ההצבה במקרה הזה – הוא לפי הזהות הטריגונומטרית:
cos2x = 1 – sin2x.

לכן נציב (x = sin(t.
נגזור את שני האגפים:
dx = cos(t) dt

נציב באינטגרל ( הגבולות גם ישתנו, בהתאם להצבה):

כעת נפתור את האינטגרל לפי t :
נשתמש בזהות הטריגונומטרית : cos2x = 1 – sin2x.

(נציין כי הפונקציה (cos(t חיובית בתחום הנ"ל , לכן השורש מוגדר).

נשתמש בעוד זהות טריגונומטרית:




לכן התשובה: π/4 

עוד באתר:

נספח

הסבר מפורט לגבי dx ,dt :

  • מדוע צריך לעשות את המעבר הזה? למה לא ניתן להחליף תמיד את dx ב – dt ?
    התשובה לשאלה זו מעט מורכבת.
    כאשר באינטגרל מסמנים dx – המשמעות היא שמבצעים את האינטגרציה לפי המשתנה x.
    dx בעצם מסמן שינוי קטן ביותר במשתנה x.
    dx מסמן גם גזירה לפי המשתנה x – באותו אופן לגבי t  ו -dt.
    כאשר אנו מציבים (t = f(x  – אנו עוברים לאינטגרציה לפי המשתנה t.
    אבל , אי אפשר פשוט להחליף  ל – dt, מכיוון שלא רק החלפנו את האות מ – t  ל – x.
    משוואת ההצבה (t = f(x  נותנת לנו קשר כלשהו בין x ל – t.
    לכן, dt  (שינוי קטן ביותר במשתנה t) , יהיה שונה מ -dx , מכיוון שיש ביניהם קשר של מכפלה ב- (f(x.
  • לדוגמה: אם נציב t = 5x.
    אזי עבור כל שינוי קטן ב – t , כלומר dt , נקבל 5 שינויים קטנים של x – כלומר 5dx.
    לכן נרשום: dt = 5*dx.
    אם נגזור לפי x – נקבל 5 , ונוסיף dx כי גזרנו לפי x.
    אם נגזור לפי t – נקבל 1 , ונוסיף dt כי גזרנו לפי t.
  •  למה צריך לגזור את שני אגפי המשוואה?
    גזירת שני אגפי המשוואה היא רק שיטה נוחה למציאת הקשר בין dx ל -dt.
    (ישנן עוד שיטות למציאת הקשר הנ"ל, עליהן לא נפרט על מנת לא ליצור בלבול בין הדברים).
    כלומר , גזירת אגפי המשוואה היא שיטה טכנית שנוח להשתמש בה בתרגילים מסוג זה.
    יש משמעות מתמטית שממנה השיטה נובעת – לא נפרט עליה.
  • עבור הדוגמה הנ"ל : t = 5x
    נשים לב כי אם נגזור את שני אגפי המשוואה –
    נקבל את המשוואה: dt = 5*dx. – כמו למעלה.
  • מדוע יש צורך להוסיף לאחר הגזירה את הסימונים dx ו -dt :
    התשובה לכך נובעת מהמשמעות המתמטית של השיטה.
    עבור בחינת הבגרות , אין צורך לדעת לעומק את התשובה לשאלה זו , אבל נסביר בפשטות:
    dx מסמן גזירה לפי המשתנה x , ו- dt מסמן גזירה לפי המשתנה t.
    כאשר אנו גוזרים לפי המשתנה x  , נוסיף לאחר הגזירה dx.
    באותו אופן עבור המשתנה t.
    (הוספת סימונים אלו נעשית רק בשיטת ההצבה – אין צורך להוסיף את הסימון כאשר גוזרים פונקציות בתרגילים אחרים – כגון חקירת פונקציות וכו')

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.