אינטגרל של פונקציית שורש

דף זה נועד ללמד אותכם מהיסוד אינטגרל של פונקציית שורש.
לדף שלושה חלקים:

  1. נלמד את שתי השיטות לחישוב אינטגרל שורש.
  2. 8 דוגמאות מהירות לפתרון תרגילים.
  3. 12 תרגילים מכל הסוגים.
  4. אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית (ל 5 יחידות).

2 שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציית שורש

יש שתי שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציית שורש.

בשיטה הראשונה נהפוך את האינטגרל לפולינום.
שני היתרונות של השיטה הראשונה הם:

  1. השיטה הראשונה נשענת על ידע קודם, חישוב אינטגרל של פולינום. לא צריך לזכור דברים חדשים.
  2. מתאימה להרבה מאוד סוגים של אינטגרלים, כולל שורש הנמצא במונה.

בשיטה השנייה נחשב על פי נוסחאות:

  1. היתרון: מתבססת על נוסחאות, ואם תזכרו את הנוסחאות תוכלו לפתור אינטגרלים בקלות (הנוסחאות לא נמצאות בדף הבחינה).
  2. החיסרון: ניתן להשתמש בה רק עבור שורש הנמצא במכנה.

שיטה ראשונה: הפיכת השורש לחזקה

בשיטה הראשונה אנו משתמשים בכך שפעולת השורש היא בעצם העלאה בחזקת  1/2.
x = x0.5
ולכן כל שורש אנו יכולים לכתוב כפולינום, ולעשות אינטגרל לפולינום אנו כבר יודעים.
שתי דוגמאות:

בתרגיל השני אנו נוציא מספר מחוץ לאינטגרל:

מה עושים כאשר השורש במכנה?
בעזרת חוקי חזקות ניתן להעלות את השורש למונה.

דוגמה:
אם יש לנו מקדם / מספר בתוך האינטגרל בשלב ראשון נוציא אותו מחוץ לאינטגרל.

בשלב השני נהפוך את השורש במכנה לחזקה במונה ונפתור את האינטגרל.

תזכורת – נוסחה לאינטגרל של פולינום: (הפרמטר n הוא לא בהכרח מספר שלם)

נוסחה נוספת לאינטגרל פולינום מורכב יותר:

שלבים בביצוע האינטגרל:
1. אם יש במונה מספר איברים , מפרקים את המונה לאיברים בודדים.
2. נמיר את השורש לחזקת 1/2. (או מינוס חצי)
3. נפתור את האינטגרל בדומה לפולינום.
4. במידה ויש ביטוי מורכב מתחת לשורש , כלומר (f(x√ , ננסה להציב : f(x) = t  ולפתור או להשתמש בנוסחה האחרונה המופיעה למעלה.

שיטה שנייה: בעזרת נוסחאות

נוסחת הנגזרת של שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

מנוסחה זו ניתן להגיע לנוסחת האינטגרל הבאה:

אינטגרל לפונקציית שורש

ולפתור כך אינטגרל:

נוסחה שנייה היא למקרה שהביטוי שבתוך השורש כולל מספר:

למשל:

באתר תוכלו ללמוד גם על:

חזרה: אינטגרל של פולינום

אם תרצו להשתמש בשיטה של הפיכת השורש לחזקה תצטרכו לדעת טוב אינטגרל של פולינום.
סרטון זה מסביר בצורה טובה את ההיגיון וכיצד לעשות אינטגרל של פולינום.

2.דוגמאות מהירות

בחלק זה 8 דוגמאות מהירות לאינטגרל של שורש.
אלו דוגמאות ללא הסברים.
דוגמאות 1-4 יפתרו בעזרת הנוסחה.
דוגמאות 5-8 יפתרו בעזרת הפיכה לפולינום.

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3 (מורכבת)

תרגיל 4 (מורכבת)

פתרון עם הפיכה לפולינום

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

3.תרגילים

בחלק זה 12 תרגילים. התרגילים מיועדים למי שמעוניין ללמוד אינטגרל על ידי הפיכה לפולינום ולשלב למידה של אינטגרל בעזרת נוסחאות.

התרגילים שנפתור הם:

פונקציה פשוטה עם שורש במונה

פונקציה מורכבת עם שורש במונה

פונקציה פשוטה עם שורש במכנה

את התרגילים הללו נפתור בשתי שיטות.

פונקציה מורכבת עם שורש במונה

נפתור בשתי שיטות.

הערות:
בכל התרגילים כאשר יש אינטגרל של מספר כפול פונקציה אני מוציא את המספר מחוץ לאינטגרל בצורה הזו:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫
אני עושה זאת על מנת להיצמד לנוסחאות ולתת פתרון מובן.
אבל אין חובה מתמטית לעשות את זה. אם אתם יודעים / רגילים לפתור ללא הוצאת הקבוע k ניתן לעשות זאת.

כמו כן על מנת לקצר את השורות העמוסות לא כתבתי תמיד dx.

אינטגרלים של פונקציות שורש פשוטות במונה

תרגיל 1

פתרון

  1. נוציא את 2 מחוץ לאינטגרל, נהפוך את השורש לחזקה.
  2. נחשב אינטגרל של פולינום

לחישוב האינטגרל של הפולינום השתמשנו בנוסחה:

תרגיל 2

פתרון

  1. נפריד את האינטגרל לשניים, אינטגרל שורש ואינטגרל פולינום.
  2. את אינטגרל השורש נהפוך לפולינום.

נבצע את כל אחד מהאינטגרלים בנפרד.

תרגיל 3

  1. נפריד את האינטגרל לשניים, אינטגרל שורש ואינטגרל פולינום.
  2. את אינטגרל השורש נהפוך לפולינום.

נבצע את כל אחד מהאינטגרלים בנפרד.

תרגיל 4

פתרון
את שני האיברים הללו ניתן לחבר.

נוציא את המספר מחוץ לאינטגרל ונחשב אינטגרל.

אינטגרלים של פונקציות שורש מורכבות במונה

את האינטגרלים הללו מי שמבין טוב נגזרת של פונקציה מורכבת יכול לעשות בעזרת ההיגיון.
מי שלא צריך להשתמש בנוסחה (כאשר a = 1):

ניתן גם להשתמש בנוסחה הזו של אינטגרל של פונקציה מורכבת:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

תרגיל 5



פתרון
בשלב הראשון נוציא 1/5 מחוץ לאינטגרל ונהפוך את השורש לפולינום.

בשלב השני נחשב אינטגרל של פולינום

הערה: זו הייתה פונקציה מורכבת אבל בגלל שהמקדם של x היה אחד לא היינו צריכים להשתמש בטכניקה מיוחדת.

הערה 2: ניתן לפתור את התרגיל הזה גם בעזרת הנוסחה:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

רק שבמקרה זה החלוקה ב 1.5 נעשית על מנת להגיע אל הפונקציה הקדומה. הסבר מפורט יותר בוידאו.

תרגיל 6

פתרון
נהפוך את השורש לפולינום, ואז נבצע אינטגרל בעזרת ההיגיון או הנוסחה.

תרגיל 7

שתי דרכי פתרון
בדרך הראשונה נהפוך את השורש לפולינום ואז נבצע אינטגרל לפולינום על פי ההיגיון או הנוסחה:

דרך שנייה לפתרון היא להוציא את ה 2 מחוץ לשורש ואז לעשות אינטגרל של פונקציה רגילה (שאינה מורכבת).
שימו לב שניתן לעשות זאת רק כאשר יש מספר כפול x בשורש לבד.
כלומר במקרה הזה למשל לא ניתן לעשות זאת:

נחזור לפתרון
נפרק את הביטוי שבתוך השורש למספר ו x.

נהפוך את השורש לפולינום ונחשב אינטגרל רגיל.

אינטגרלים עם שורש במכנה

את האינטגרלים הבאים ניתן לפתור בשתי דרכים.
על ידי הפיכת השורש לפולינום או בעזרת שתי הנוסחאות:

אינטגרל לפונקציית שורש

תרגיל 8

פתרון בעזרת נוסחה
נוציא מספר מחוץ לאינטגרל ונשתמש בנוסחה

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

תרגיל 9

פתרון בעזרת נוסחה
נוציא מספר מחוץ לאינטגרל ונשתמש בנוסחה

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

תרגיל 10 

פתרון בעזרת נוסחה

הנוסחה היא:

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

את האינטגרל הזה של הפולינום ניתן לעשות בעזרת היכרות טובה עם נגזרת מורכבת או בעזרת הנוסחה:

תרגיל 11

פתרון בעזרת נוסחה

פתרון על ידי הפיכה לפולינום

תרגיל 12

פתרון בעזרת נוסחה

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

עוד באתר:

4.אינטגרל של פונקציית שורש כפול הנגזרת הפנימית

חלק זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.

לפעמים נצטרך לבצע אינטגרל לפונקציה המוכפלת בנגזרת הפנימית שלה.
במקרה זה כלל האינטגרל אומר:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

תרגיל 1

פתרון
נשים לב שבמונה יש את הנגזרת הפנימית שיש במכנה.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה והפתרון הוא:

תרגיל 2

פתרון
נשים לב שבמונה יש לנו את הנגזרת הפנימית של השורש.
לכן הפתרון הוא:

תרגיל 3

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
כרגע יש לנו במונה sin x, כלומר זו לא בדיוק הנגזרת הפנימית.
על מנת שיהיה לנו 2sinx נוציא את המספר 1/2 מחוץ לאינטגרל.
ונקבל:

עכשיו המונה הוא בדיוק הנגזרת הפנימית וניתן להשתמש בנוסחה.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 thoughts on “אינטגרל של פונקציית שורש

  1. שי

    שלןם רב,
    בפתרון שלך אתה מעלה אינטגרל X ב 0.5 . בהרבה תרגילים
    האם זה בחירה שלך להעלות דווקא ב 0.5 ? או כי זה החוקיות והדרך המקובלת?
    אני אשמח להסבר אם אני יכול להשתמש בדרך ושיטה זו במחן לצורך העיניין.. האם מרצה שיבדוק את הפתרון יבין את כוונת המשורר..

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום שי
      הפתרון מתבסס על כך שורש של x שווה ל x בחזקת 0.5.
      זה שוויון מתמטי שצריך לדעת?
      האם לכך התכוונת? אם לא חזור אליי.
      בהצלחה

  2. סימי

    רק זכותכם ידעתי יומיים לפני הבגרות איך לעשות אינטגרלים. אלופים!! כל אתר שלמדתי ממנו לא הצלחתי להבין. אתם הסברתם מגוון של שיטות בלי לדלג על אף דרך. כל תלמיד והדרך שבה הוא מצליח ללמוד. אלופים!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום אביה.
      ה 6- לא הפך ל 7- אלא ל:
      9- = 7 – 2-.
      (שים לב שהופיע שם 2- שלא היה בשורה קודם לכן).
      הסיבה שה 6- הפך 9- היא ש 9- נכנס לתוך הסוגריים והוכפל ב 2/3. ו:
      6- = 9- * (2/3).
      המשך לשאול שאלות ולהעיר הערות לגבי האתר.
      זה עוזר לך, לתלמידים אחרים ולי.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.