לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

אינטגרל של פונקציית שורש

דף זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.

לתלמידי 4 יחידות יש דף נפרד: אינטגרל שורש על פי נוסחה.

דף זה נועד ללמד אותכם מהיסוד אינטגרל של פונקציית שורש.

החלקים של הדף הם:

  1. הסבר וידאו לשתי השיטות לחישוב אינטגרל.
  2. הסבר כתוב לשתי השיטות לחישוב אינטגרל.
    א.שיטה ראשונה: הפיכת השורש לפולינום.
    ב.שיטה שנייה: בעזרת נוסחאות.
  3. 8 דוגמאות מהירות לפתרון תרגילים.
  4. 12 תרגילים מכל הסוגים.
  5. אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית.

 

1.סרטון הסבר

בוידאו הבא נסביר את שתי השיטות לחישוב אינטגרל שורש.

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

2. שתי שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציית שורש

יש שתי שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציית שורש.

בשיטה הראשונה נהפוך את האינטגרל לפולינום.
היתרונות של שיטה זו הם:

  1. השיטה נשענת על ידע קודם בחישוב אינטגרל של פולינום. לא נצטרך לזכור דברים חדשים.
  2. מתאימה להרבה מאוד סוגים של אינטגרלים, כולל כאשר השורש נמצא במונה (דבר שלא ניתן לחישוב בעזרת נוסחאות).

בשיטה השנייה נחשב על פי נוסחאות:

  1. היתרון: מתבססת על נוסחאות, ואם תזכרו את הנוסחאות תוכלו לפתור אינטגרלים בקלות (הנוסחאות לא נמצאות בדף הבחינה).
  2. החיסרון: ניתן להשתמש בה רק עבור שורש הנמצא במכנה.

א.שיטה ראשונה: הפיכת השורש לחזקה

בשיטה הראשונה אנו משתמשים בכך שפעולת השורש היא בעצם העלאה בחזקת  1/2.
x = x0.5
ולכן כל שורש אנו יכולים לכתוב כפולינום.

ולחשב אינטגרל לפולינום אנו כבר יודעים.

דוגמה 1

 

דוגמה 2 (הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל).
בתרגיל השני אנו נוציא מספר מחוץ לאינטגרל:

 

דוגמה 3 (השורש במכנה)

בשלב שלמעלה הוצאנו את המספר מחוץ לאינטגרל.

בשלב השני עלינו לכתוב את השורש כחזקה, נעשה זאת גם בעזרת חוק החזקה:

נפתור כך:

תזכורת - נוסחה לאינטגרל של פולינום: (הפרמטר n הוא לא בהכרח מספר שלם)

נוסחה נוספת  הנדרשת רק ברמת 5 יחידות לאינטגרל לפונקציית פולינום מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא ישר:
(ניתן ללמוד כאן אינטגרל של פונקציה מורכבת)

 

שלבים בביצוע האינטגרל:
1. אם יש במונה מספר איברים , מפרקים את המונה לאיברים בודדים.
2. נמיר את השורש לחזקת 1/2. (או מינוס חצי)
3. נפתור את האינטגרל בדומה לפולינום.

ב.שיטה שנייה: בעזרת נוסחאות

נוסחת הנגזרת של שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש
נגזרת פונקציית שורש

מנוסחה זו ניתן להגיע לנוסחת האינטגרל הבאה:

אינטגרל לפונקציית שורש

ולפתור כך אינטגרל:

נוסחה שנייה היא למקרה שהביטוי שבתוך השורש כולל מספר:

למשל:

באתר תוכלו ללמוד גם על:

3.דוגמאות מהירות

בחלק זה 8 דוגמאות מהירות לאינטגרל של שורש.
אלו דוגמאות ללא הסברים.
דוגמאות 1-4 יפתרו בעזרת הנוסחה.
דוגמאות 5-8 יפתרו בעזרת הפיכה לפולינום.

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

4.תרגילים

בחלק זה 12 תרגילים. התרגילים מיועדים למי שמעוניין ללמוד אינטגרל על ידי הפיכה לפולינום ולשלב למידה של אינטגרל בעזרת נוסחאות.

התרגילים שנפתור הם:

א.פונקציה פשוטה עם שורש במונה

ב.פונקציה מורכבת עם שורש במונה

ג.פונקציה פשוטה עם שורש במכנה

את התרגילים הללו נפתור בשתי שיטות.

ד.פונקציה מורכבת עם שורש במונה

נפתור בשתי שיטות.

הערות:
בכל התרגילים כאשר יש אינטגרל של מספר כפול פונקציה אני מוציא את המספר מחוץ לאינטגרל בצורה הזו:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫
אני עושה זאת על מנת להיצמד לנוסחאות ולתת פתרון מובן.

אבל אין חובה מתמטית לעשות את זה. אם אתם יודעים / רגילים לפתור ללא הוצאת הקבוע k ניתן לעשות זאת.

כמו כן על מנת לקצר את השורות העמוסות לא כתבתי תמיד dx.

א.אינטגרלים של פונקציות שורש פשוטות במונה

תרגיל 1

פתרון התרגיל
  1. נוציא את 2 מחוץ לאינטגרל, נהפוך את השורש לחזקה.
  2. נחשב אינטגרל של פולינום

לחישוב האינטגרל של הפולינום השתמשנו בנוסחה:

סרטון הסבר

תרגיל 2

פתרון התרגיל
  1. נפריד את האינטגרל לשניים, אינטגרל שורש ואינטגרל פולינום.
  2. את אינטגרל השורש נהפוך לפולינום.

נבצע את כל אחד מהאינטגרלים בנפרד.

סרטון הסבר

תרגיל 3

פתרון התרגיל
  1. נפריד את האינטגרל לשניים, אינטגרל שורש ואינטגרל פולינום.
  2. את אינטגרל השורש נהפוך לפולינום.

נבצע את כל אחד מהאינטגרלים בנפרד.

תרגיל 4

פתרון התרגיל

את שני האיברים הללו ניתן לחבר.

נוציא את המספר מחוץ לאינטגרל ונחשב אינטגרל.

ב.אינטגרלים של פונקציות שורש מורכבות במונה

את האינטגרלים הללו מי שמבין טוב נגזרת של פונקציה מורכבת יכול לעשות בעזרת ההיגיון.
מי שלא צריך להשתמש בנוסחה (כאשר a = 1):

ניתן גם להשתמש בנוסחה הזו של אינטגרל של פונקציה מורכבת:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

תרגיל 5


פתרון התרגיל

בשלב הראשון נוציא 1/5 מחוץ לאינטגרל ונהפוך את השורש לפולינום.

בשלב השני נחשב אינטגרל של פולינום

הערה: זו הייתה פונקציה מורכבת אבל בגלל שהמקדם של x היה אחד לא היינו צריכים להשתמש בטכניקה מיוחדת.

הערה 2: ניתן לפתור את התרגיל הזה גם בעזרת הנוסחה:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

תרגיל 6

פתרון התרגיל

נהפוך את השורש לפולינום, ואז נבצע אינטגרל בעזרת ההיגיון או הנוסחה.

סרטון הסבר

תרגיל 7

פתרון התרגיל

שתי דרכי פתרון
בדרך הראשונה נהפוך את השורש לפולינום ואז נבצע אינטגרל לפולינום על פי ההיגיון או הנוסחה:

 

דרך שנייה לפתרון היא להוציא את ה 2 מחוץ לשורש ואז לעשות אינטגרל של פונקציה רגילה (שאינה מורכבת).
שימו לב שניתן לעשות זאת רק כאשר יש מספר כפול x בשורש לבד.

כלומר במקרה הזה למשל לא ניתן לעשות זאת:

נחזור לפתרון
נפרק את הביטוי שבתוך השורש למספר ו x.

נהפוך את השורש לפולינום ונחשב אינטגרל רגיל.

ג.אינטגרלים עם שורש במכנה

את האינטגרלים הבאים ניתן לפתור בשתי דרכים.

  1. על ידי הפיכת השורש לפולינום.
  2. בעזרת שתי הנוסחאות:

אינטגרל לפונקציית שורש

תרגיל 8

פתרון התרגיל

פתרון בעזרת נוסחה
נוציא מספר מחוץ לאינטגרל ונשתמש בנוסחה

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

פתרון התרגיל

תרגיל 9

פתרון התרגיל

פתרון בעזרת נוסחה
נוציא מספר מחוץ לאינטגרל ונשתמש בנוסחה

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

פתרון התרגיל

ד.תרגילים עם פונקציית שורש מורכבת במכנה

תרגיל 10 

פתרון התרגיל

פתרון בעזרת נוסחה

הנוסחה היא:

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

את האינטגרל הזה של הפולינום ניתן לעשות בעזרת היכרות טובה עם נגזרת מורכבת או בעזרת הנוסחה:

פתרון התרגיל

תרגיל 11

פתרון התרגיל

פתרון בעזרת נוסחה

פתרון על ידי הפיכה לפולינום

פתרון התרגיל

תרגיל 12

פתרון התרגיל

פתרון בעזרת נוסחה

פתרון בעזרת הפיכה לפולינום

עוד באתר:

5.אינטגרל של פונקציית שורש כפול הנגזרת הפנימית

חלק זה מיועד לתלמידי 5 יחידות. הוא נלמד בפירוט בדפים הבאים:

לפעמים נצטרך לבצע אינטגרל לפונקציה המוכפלת בנגזרת הפנימית שלה.
במקרה זה כלל האינטגרל אומר:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

תרגיל 1

פתרון
נשים לב שבמונה יש את הנגזרת הפנימית שיש במכנה.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה והפתרון הוא:

תרגיל 2

פתרון
נשים לב שבמונה יש לנו את הנגזרת הפנימית של השורש.
לכן הפתרון הוא:

תרגיל 3

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
כרגע יש לנו במונה sin x, כלומר זו לא בדיוק הנגזרת הפנימית.
על מנת שיהיה לנו 2sinx נוציא את המספר 1/2 מחוץ לאינטגרל.
ונקבל:

עכשיו המונה הוא בדיוק הנגזרת הפנימית וניתן להשתמש בנוסחה.

16 מחשבות על “אינטגרל של פונקציית שורש”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. מנחם אלדר

    לא ברור ההסבר שהסברת בנוגע לנוסחה נוספת לאינטגרל פולינום מורכב יותר' למה צריך לכפול בa את המכנה?.שלב 4 בדרך לפתרון לא ברור בכלל על מה הוא מוסב

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה, זה אכן לא היה ברור.
      איני יודע כמה יחידות אתה לומד, מדובר בנושא הנדרש ב 5 יחידות.
      הוספתי קישור ללימוד הנושא והבהרתי למי זה מיועד.

      המשפט: 4.במידה ויש ביטוי מורכב מתחת לשורש , כלומר (f(x√ , ננסה להציב : f(x) = t  ולפתור או להשתמש בנוסחה האחרונה המופיעה למעלה.-
      הוא מיותר ואני אמחק אותו.
      משמעותו היא שאם לאחר השינוי יש לנו פונקציית פולינום מורכבת אז מחשבים כמו אינטגרל של פונקציית פולינום מורכבת (שזה שונה מאינטגרל פולינום רגיל).
      תודה רבה על התיקון!

  2. ערב טוב,
    אני והמורה שלי רוני (שעוד חודשיים תהיה החברה הכי טובה שלי) רוצים להודות לכם על כל העזרה שלכם בימי הקורונה ובמיוחד בנושא האינטגרלים.
    תודה, רוני ונדב

  3. שלום! אשמח לסרטון הסבר בנוגע חלחלק של ה5 יחידות בסוף העמוד – לא כ'כ הבנתי החוקיות גשזה מגיע לפונרציות עם הנגזרת שלהן…

  4. בפתירון עם הפיכה לפולינום למעלה אם אפשר להסביר לי למה שמים כפול 2 בתרגיל 7 ובתרגיל 8
    תודה ובאמת שבלי קשר בא לי להגיד תודה גדולה על האתר אם אצליח בבגרות יש לכם חלק גדול אז תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אור
      בגלל שיש על הסוגריים חזקת 0.5. אם תגזור חזקת 0.5 אז יש 0.5 כפול ביטוי ועל מנת לבטל זאת מכפילים ב 2.
      נסה לגזור את הביטוי שהתקבל וראה שאם לא תוסיף כפול 2 לא תגיע אל הביטוי הנכון.

  5. שלןם רב,
    בפתרון שלך אתה מעלה אינטגרל X ב 0.5 . בהרבה תרגילים
    האם זה בחירה שלך להעלות דווקא ב 0.5 ? או כי זה החוקיות והדרך המקובלת?
    אני אשמח להסבר אם אני יכול להשתמש בדרך ושיטה זו במחן לצורך העיניין.. האם מרצה שיבדוק את הפתרון יבין את כוונת המשורר..

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שי
      הפתרון מתבסס על כך שורש של x שווה ל x בחזקת 0.5.
      זה שוויון מתמטי שצריך לדעת?
      האם לכך התכוונת? אם לא חזור אליי.
      בהצלחה

  6. רק זכותכם ידעתי יומיים לפני הבגרות איך לעשות אינטגרלים. אלופים!! כל אתר שלמדתי ממנו לא הצלחתי להבין. אתם הסברתם מגוון של שיטות בלי לדלג על אף דרך. כל תלמיד והדרך שבה הוא מצליח ללמוד. אלופים!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אביה.
      ה 6- לא הפך ל 7- אלא ל:
      9- = 7 – 2-.
      (שים לב שהופיע שם 2- שלא היה בשורה קודם לכן).
      הסיבה שה 6- הפך 9- היא ש 9- נכנס לתוך הסוגריים והוכפל ב 2/3. ו:
      6- = 9- * (2/3).
      המשך לשאול שאלות ולהעיר הערות לגבי האתר.
      זה עוזר לך, לתלמידים אחרים ולי.
      בהצלחה