אינטגרל של פונקציות רציונליות

לדף זה 4 חלקים:

  1. כיצד לחשב אינטגרל של פונקציה רציונלית.
  2. אינטגרל בעזרת נוסחאות.
  3. אינטגרל בעזרת הפיכה לפולינום.
  4. אינטגרל מסוים.

דפים קשורים באתר:

כיצד לחשב אינטגרל של פונקציות רציונליות

יש שתי שיטות לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונלית.
כמו כן יש פונקציות רציונליות שלא ניתן לחשב להן אינטגרל באף אחת מהשיטות שנלמד בדף זה.
בחלק זה נלמד את הדברים הללו.

1.אינטגרל של פונקציה רציונלית בעזרת נוסחאות

כאשר זו פונקציה רציונלית פשוטה נשתמש בנוסחה:

למשל:

כאשר יש לנו פונקציה מורכבת בחזקת 2 במכנה נשתמש בנוסחה:

למשל:

2.אינטגרל לפונקציה רציונלית בעזרת הפיכה לפולינום

בעזרת חוקי חזקות , נוכל להפוך את  הפונקציה הרציונלית לפונקציית פולינום:

ואז נמשיך כמו אינטגרל של פולינום.

למשל:

סוגים של פונקציה רציונלית שאינם מתאימים לחישוב אינטגרל רציונלי

קיימות פונקציות רציונליות שלא ניתן לחשב להם אינטגרל בשיטות שנלמד בדף זה.

1.כאשר המשתנה שבמכנה הוא בחזקת 1.
במקרה זה נשתמש באינטגרל ln.
למשל:

2. כאשר החזקה שבמכנה נמצאת רק על חלק מהמכנה.
למשל:

במקרה כזה נשתמש באינטגרל של ln או באינטגרל על פי שיטת ההצבה.

תרגילים אינטגרלים על פי נוסחאות

בחלק זה 6 תרגילים.
תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
בתרגילים 3-4 צריך לפרק את האינטגרל למספר אינטגרלים.
בתרגילים 5-6 מבצעים אינטגרל לפונקציה מורכבת.

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נשתמש בכלל הבא המאפשר להוציא את המספר 5- מחוץ לאינטגרל.
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

נמשיך את החישוב בעזרת הנוסחה:

תרגיל 2

פתרון
נוציא את המספר 10 מחוץ לאינטגרל.

נחשב את האינטגרל על פי הנוסחה.

תרגיל 3 

פתרון
נפרק את הביטוי לשני ביטויים, שלכל אחד מיהם בנפרד ניתן לעשות אינטגרציה.

נפשט את הביטויים ונחשב אינטגרל.

תרגיל 4

פתרון
נפרק את האינטגרל ל 3 ביטויים שונים.

נפשט את הביטויים ונחשב לכל אחד מיהם בנפרד את האינטגרל.

תרגיל 5

פתרון

יש לנו פונקציה מורכבת במכנה. לכן נשתמש בנוסחה:

כאשר:  m = 4 , n = 2.

לכן התשובה:

תרגיל 6

פתרון

לפי חוקי חזקות, מתקיים :
a / b)2 = a/ b2).
לכן:

נוציא את המספר 16 מחוץ לאינטגרל ואז נפתור על פי הנוסחה.

כאשר:  m = 2 , n = -1.

תרגילים: אינטגרל בעזרת פולינום

הנוסחה הבסיסית היא:

אך אתם לא חייבים להשתמש בנוסחה זו אם אתם מבינים טוב כיצד לעשות אינטגרל לפולינום.

תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
תרגיל 3 דורש פירוק של האינטגרל למספר גורמים.

אינטגרל לא מסוים

תרגיל 1

פתרון

  1. נהפוך את האינטגרל לפולינום : 
  2. נפתור את האינטגרל לפי אינטגרל של פולינום:

  3. לפי חוקי חזקות , נחזיר את x למכנה.
    תשובה:

תרגיל 2

פתרון

  1. נהפוך את האינטגרל לפולינום:
  2. נפתור את האינטגרל לפי אינטגרל של פולינום:


    לפי חוקי חזקות נחזיר את x למכנה.
    תשובה:

תרגיל 3

פתרון

נפרק את הביטוי במונה לשני ביטויים שונים.

נעלה את הפולינום למונה ונחשב אינטגרל.

חישוב שטחים – אינטגרל מסוים

תרגיל 1
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 1/ x2, לבין הישרים x = 1 , x = 2 , וציר x.

פתרון

השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.5

תרגיל 2
חשבו את השטח הכלוא בין הישר y = -4x + 7 , לבין הפונקציה:

פתרון

  1. נקודות החיתוך בין הפונקציות:
    ניתן לראות מהגרף כי נקודות החיתוך הן:
    x1 = 0.5 , x2 = 1
  2. חישוב השטח הכלוא:
    השטח נמצא מתחת לישר , ומעל הפונקציה.
    לכן ניתן לבטא את השטח כחיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:


    א. חישוב האינטגרל:
    ב.חישוב השטח:

תשובה: השטח הכלוא בין הפונקציות הוא 0.25

תרגיל 3

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 2.
מצאו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 2 בפונקציה.

f(2)  =  1/(2-3)2  =  1/1 = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (2 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
3(f ' (x) =  -2 /(x-3
נציב את x = 2 בנגזרת הפונקציה:
f ' (2) = -2/(-1)3 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 2*(x – 2
y – 1  = 2x – 4
y = 2x – 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (השמאלי)
השטח כלוא בין  x = 0 לבין  x = 1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא:


לכן השטח הראשון:  S1 = 1/3

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :(הימני)

השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x = 1.5) x),
לבין נקודות ההשקה ( x = 2).

השטח נמצא מתחת לפונקציה , ומעל למשיק.
לכן ניתן לבטא את השטח כחיסור בין שטח הפונקציה לבין שטח המשיק.

לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2. חישוב השטח:

לכן השטח השני : S2 = 1/12 .


סיכום: כעת רק נותר לנו לסכום את שני השטחים:

תשובה: השטח החסום : 5/12.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 thoughts on “אינטגרל של פונקציות רציונליות

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום אביה.
      קודם כל "לחפור" כאשר מדובר במתמטיקה זה דבר טוב. כאשר "חופרים" מבינים טוב יותר.
      ואני באופן אישי שמח על השאלות והערות שלך באתר.
      אז תודה והמשך לימוד מוצלח.

  1. אביה

    שלום,
    אתה יכול בבקשה להסביר לי איך פתרת את האינטגרל בתרגיל 5א? זה לא היה לפי הנוסחה שכתבת לפני.
    (וסליחה שאני חופר לך, אני פשוט רוצה להבין יותר טוב את החומר…)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.