אינטגרל של פונקציות לוגריתמיות ln

לדף זה 4 חלקים:

  1. הסבר ודוגמאות ל 3 נוסחאות אינטגרל ln.
  2. פתרונות מהירים לתרגילים – ללא הסברים.
  3. פתרונות עם הסברים מלאים.
  4. חישובי שטחים (כולל פרמטרים).

3 נוסחאות האינטגרל

לאינטגרל של ln יש 3 נוסחאות.
נוסחה לפונקציה פשוטה ושתי נוסחאות לפונקציה מורכבת.

נוסחה 1
האינטגרל של    הוא  lnx :

דוגמה:

נוסחה 2
עבור אינטגרל לפונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה הוא קו ישר נשתמש בנוסחה:

דוגמה

נוסחה 3
עבור פונקציה מורכבת שאנו מזהים את הנגזרת הפנימית שלה באינטגרל:
(נוסחה הדרושה ב 5 יחידות בלבד).

דוגמה

2 שאלות וטיפ

1.למה משמש סימן הערך המוחלט?
פונקציית ה ln מוגדרת רק כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי. לכן יש את סימן הערך המוחלט, על מנת להבטיח שהביטוי שבתוך ה ln חיובי.
ברוב השאלות יגידו לנו אם הביטוי במכנה הוא חיובי או שלילי (לרוב חיובי)
וכאשר הביטוי חיובי נשתמש בנוסחה:

וכאשר הביטוי שלילי נשתמש בנוסחה ההופכת את הביטוי לחיובי:

2.מתי משתמשים באינטגרל ln ומתי באינטגרל של פונקציה רציונלית?
גם באינטגרלים בדף הזה וגם באינטגרלים של פונקציה רציונלית יש לנו פונקציות אם משתנה במכנה.
איך יודעים באיזה סוג של אינטגרל להשתמש?

כאשר יש חזקה גדולה מ 1 על כל המכנה זה אינטגרל של פונקציה רציונלית

באינטגרל של לן משתמשים כאשר המשתנה הוא בחזקת אחד (לרוב).

או כאשר יש חזקה גדולה מ 1 על המשתנה, אבל היא נמצאת רק על המשתנה ולא על כל המכנה.

במקרה כזה לא נדע לפתור את כל סוגי האינטגרלים אלא רק אינטגרלים בהם יש "פונקציה כפול הנגזרת הפנימית".
אלו אינטגרלים שנלמד ברמת 5 יחידות.

3.טיפ לפתרון תרגילים
כאשר אתם נתקלים באינטגרל שבו יש משתנה גם במכנה וגם במונה נסו לפצל אותו למספר ביטויים.
למשל:

ועכשיו נחשב את האיבר השמאלי כאינטגרל ln ואת האיבר הימני כאינטגרל פונקציה רציונלית ונקבל:

שימו לב שאם המונה הוא הנגזרת של המכנה אין צורך לפרק את הביטוי המקורי, כפי שעשינו בתרגיל שלמעלה,  אלא ניתן להשתמש בכלל:

דוגמאות מהירות לאינטגרלים

בחלק זה נפתור מספר תרגילים ללא, הסברים לדרך הפתרון.
לפעמים כך לומדים יותר טוב.
בכול התרגילים נניח כי המכנה חיובי.

התרגילים שנפתור בחלק זה הם:

תרגילים 1-5 נפתרים על ידי הנוסחה:

תרגיל 1

תרגיל 2

 תרגיל 3

תרגיל 4

בשלב הראשון פירקנו את האינטגרל לשניים.
בשלב הבא נחשב כל אינטגרל בנפרד.

תרגיל 5

ביצענו פירוק לגורמים על מנת להפוך את האינטגרל לפשוט יותר.

*הערה: בתרגיל זה עלינו להשתמש בערך מוחלט כי אנו יודעים שהכנה הראשוני חיובי. אבל אנו לא יודעים שהמכנה הסופי חיובי.

תרגילים 6 -7 כוללים שימוש בנוסחה:

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגילים

בחלק זה 17 תרגילים המחולקים ל 4 נושאים שונים.
לאחר 17 התרגילים הללו יש עוד תרגילים…. והם בנושא חישוב שטחים.

תרגילים עם פונקציה פשוטה

תרגילים עם פונקציה מורכבת שהיא ישר

תרגילים בהם הביטוי בתוך ה ln שלילי

פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה

פתרונות

בתרגילים 1-5 נשתמש בנוסחה

כמו כן נניח כי המכנה תמיד חיובי

לכן אין צורך לשים ערך מוחלט בפתרון.

תרגיל 1

פתרון
נוציא את המספר 2 מחוץ לאינטגרל ואז נחשב את האינטגרל.
הפתרון הוא:

תרגיל 2

פתרון
ראשית נזכור כי ניתן לפרק את האינטגרל לשני ביטויים.
(לפי חוקי חזקות מתקיים כי :  x-2 = 1/x2 ).

נחשב כל אחד משני האינטגרלים בנפרד:

תרגיל 3

פתרון

תרגיל 4

פתרון

תרגיל 5

פתרון
נחשב את האינטגרל של שתי הפונקציות בנפרד.

תרגילים קשים יותר

בתרגילים 6-8 נצטרך לבצע פעולה כלשהי על הפונקציה לפני ביצוע האינטגרל.

תרגיל 6

פתרון
זהו ביטוי מורכב. על מנת לפשט אותו נחלק אותו ל-2 אינטגרלים נפרדים:

נצמצם את x/x² ונחשב את האינטגרל:

תרגיל 7

פתרון
זהו ביטוי מורכב. על מנת לפשט אותו נחלק אותו ל-2 אינטגרלים נפרדים:

נצמצם את x/x√

נכתוב את השורש כחזקה (לא חובה) ונפתור את האינטגרל.

תרגיל 8

פתרון
נפרק את המכנה לגורמים:

נצמצם מונה ומכנה ונחשב את האינטגרל.

(הערה: בתרגיל זה כן היינו צריכים לשים ערך מוחלט , כי ההנחה שהמכנה המקורי חיובי אינה בהכרח מעידה על כך שהביטוי x – 2 גם חיובי.)

תרגילים בהם במכנה יש
פונקציה שהיא קו ישר

בחלק זה נפתור תרגילים בהם צריך לחשב אינטגרל של פונקציה מורכבת, כאשר הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
נשתמש בנוסחה:

ונניח כי המכנה בתרגילים הללו חיובי, לכן אין צורך להשתמש בערך המוחלט שבנוסחה.

תרגיל 9

פתרון
בתרגיל זה יש לנו פונקציית ישר במכנה.

תרגיל 10

פתרון
יש לנו במכנה פונקציית ישר.

תרגיל 11

פתרון
יש לנו במכנה פונקציית ישר.

תרגילים בהם המכנה שלילי

פונקציית ה ln מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.
לכן כאשר המכנה שלילי נשתמש בנוסחה הזו על מנת להפוך את הביטוי שבתוך ה ln לחיובי.

תרגיל 12

פתרון
יש לזכור כי המכנה שלילי – כלומר x שלילי.
לכן ערך מוחלט של x זה בעצם x- . (כך הופכים את הסימן של x לחיובי).

לכן התשובה:

תרגיל 13

פתרון

מכוון שהמכנה שלילי ניתן לרשום את התשובה כך:

אינטגרל על פי זיהוי הנגזרת הפנימית

בתרגילים בהם יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה ניתן להשתמש בנוסחה:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x
כאשר אנו מדברים על אינטגרל של ln ניתן לכתוב את הנוסחה כך:

תרגיל 14

פתרון
המונה הוא הנגזרת הפנימית של המכנה לכן ניתן להשתמש בנוסחה.

תרגיל 15

פתרון
המונה הוא הנגזרת הפנימית של המכנה לכן ניתן להשתמש בנוסחה.

תרגיל 16

פתרון
המונה הוא לא הנגזרת הפנימית של המכנה.
אבל המונה הוא 0.5 מהנגזרת הפנימית.
לכן נכתוב את האינטגרל בצורה הזו:

עכשיו יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.
נחשב את האינטגרל.

תרגיל 17

פתרון
הנגזרת של cos היא sin- לכן כרגע לא ניתן להשתמש בנוסחה.
אנו נוציא מינוס אחד מחוץ לאינטגרל ואז יהיה לנו מינוס במונה של האינטגרל.

עכשיו נחשב את האינטגרל ונקבל:
ln (cos x) + c-

חישובי שטחים

תרגיל 1
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 4/x , לבין הישרים :
x = 1 ו – x = 4.

פתרון

השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 5.545

תרגיל 2
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 2/x, לבין הישר y = -x+3

פתרון

1. נקודות חיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות על מנת למצוא את גבולות האינטגרל.
נעשה זאת ע"י השוואה בין הפונקציות.
x + 3 = 2/x-
נכפול ב -x את שני אגפי המשוואה:
x2 + 3x = 2-
x2 – 3x + 2 = 0
פירוק לגורמים:
x – 1) * (x – 2) = 0)
x1 = 1 , x2 = 2

2.חישוב השטח:
השטח הכלוא הוא חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.1137

תרגיל שטח עם פרמטר

תרגיל 3

הניחו כי c > 0.

א. הביעו באמצעות c את השטח הכלוא מתחת לפונקציה ובין הישרים  x = 0, x = 3.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – (ln(7. מצאו את c.

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2. חישוב השטח (כתלות ב- c) :

ב.מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא (ln(7.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
(ln(3c + 2) – ln(2) = ln(7
נשתמש בחוקי לוגריתמים:
(ln(x) – ln(y) = ln(x/y
נקבל:
(ln(3c+2 / 2) = ln(7
3c+2 / 2 = 7
3c + 2 = 14
3c = 12
c = 4

תשובה לסעיף ב':  c = 4

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.