לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

אינטגרל של פונקציות מעריכיות

בדף זה נלמד לחשב אינטגרל לפונקציה מעריכית.

החלקים של דף זה הם:

  1. הסבר בוידאו.
  2. כללי האינטגרל של פונקציה מערכית.
  3. דוגמאות מהירות של חישוב אינטגרל – כמעט ללא הסברים.
  4. תרגילים עם הסברים מלאים.
  5. חישוב שטחים – אינטגרל מסוים.
  6. מציאת האינטגרל על פי מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית (ל 5 יחידות)

1.הסבר בוידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.כללי האינטגרל של פונקציות מעריכיות

עבור פונקציה מערכית פשוטה:

ex dx = ex + c∫

עבור פונקציה מעריכית מורכבת:

נושאים דומים באתר:

3.דוגמאות מהירות

בחלק זה נפתור 7 תרגילים כמעט ללא מתן הסבר.
תרגילים 1-3 הם פונקציות פשוטות.
תרגילים 4-7 הם פונקציות מורכבות.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.תרגילים עם פתרונות מלאים

בחלק זה 8 תרגילים.
התרגילים בחלק זה הם:

  1. 2ex + e²∫
  2. 2e3x+2 dx∫
  3. e2x – 2)² dx)∫

תרגילים ברמת 5 יחידות:

פתרונות

תרגיל 1


פתרון התרגיל

זו פונקציה פשוטה לכן נשתמש בכלל:

ex dx = ex + c∫

כמו כן נוציא את 3/4 מחוץ לאינטגרל

על מנת להוציא את 3/4 מחוץ לאינטגרל השתמשנו בכלל:

k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

תרגיל 2

2ex + e²∫

פתרון התרגיל

e² הוא מספר רגיל.

לכן הפתרון:

∫2ex + e² dx = 2ex + e²x + c

תרגיל 3

2e3x+2 dx∫

פתרון התרגיל

זו פונקציה מורכבת, לכן נשתמש בנוסחה:

(כאשר  m = 3 , n = 2).

ולכן התשובה:

∫2e3x+2 dx = 2*0.33*e3x+2 + c

0.66e3x+2 +c=

תרגיל 4
e2x – 2)² dx)∫

פתרון התרגיל

על מנת לפתור את האינטגרל , נצטרך לפתוח סוגריים (לפי נוסחת כפל מקוצר):

e2x – 2)² dx = ∫e4x -4e2x + 4 dx)∫

נשים לב ששני האיברים הראשונים הם פונקציות מורכבות ונשתמש עבורם בנוסחה:

לכן התשובה:

e4x – 4e2x + 4 dx = 0.25e4x – 4*0.5e2x + 4x + c∫

0.25e4x – 2e2x + 4x + c

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.חישובי שטחים – אינטגרל מסוים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

28 מחשבות על “אינטגרל של פונקציות מעריכיות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אני לא מצליחה בשום אופן לחשב את האינטגרל בשאלה 4 סעיף ג בגרות קיץ 2015 מועד א שאלון 807 –
    2x*e^)-1x^2/8)
    = שני איקס כפול אי בחזקת (מינוס) איקס בריבוע / חלקי שמונה (רק האיקס בריבוע חלקי 8).

    אני מחשבת בנפרד כל אינטגרל.
    שני איקס – איקס בריבוע.

    אי בחזקה – האינטגרל הוא אי באותה חזקה, ואני מחלקת בנגזרת של המעריך.

    איפה הטעות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר יש לנו מכפלה של פונקציות האינטגרל שלהם הוא לא האינטגרל של כל אחת מהפונקציות בנפרד.
      אלה במקרה כמו המקרה הזה שבו יש פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה (לאחר שמוצאים מספר מחוץ לאינטגרל) ניתן לחשב לחשב כפישמוסבר בדפים הבאים:
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/integrals/integral-by-derivative/
      https://www.m-math.co.il/5/582/e-5/integral-e-function-5/

  2. למה בדוגמא הראשונה מחלקים בשלוש ולא בארבע? הרי הוצאנו 0.75 מחוץ לאינטגרל?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה מתאים לנוסחה של אינטגרל לן כפול הנגזרת הפנימית שלו.
      לן המכנה הוא האינטגרל.

  3. תודה רבה רבה על האתר!
    רציתי לשאול בקשר לתשובת השאלה הראשונה (4 יחל)
    מדוע היה צורך להוציא את 3/4 מחוץ לאינטגרל? הוא לא חלק מהפיתרון?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ההוצאה נעשית על מנת שהביטוי שבתוך האינטגרל יתאים לנוסחה של האינטגרל.
      אבל יש רבים שכותבים את הפתרון ללא הוצאת המספר.

  4. היי מעוניינת לעשות אינטגרל של שבר :
    במונה: E בחזקת 1 חלקי איקס ואז מינוס איקס
    ובמכנה איקס בשנייה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עלייך להפריד את שני האיברים במונה ולחלק כל אחד מיהם בנפרד במכנה.
      את E בחזקת 1 חלקי איקס הפכי ל E בחזקת מינוס x.
      ואז תקבלי שני ביטויים שניתן לחשב לכל אחד מיהם אינטגרל.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הי, רק רוצה לומר תודה! אתר מדהים שמלווה אותי כבר הרבה זמן!! אתם מנגישים את המתמטיקה בצורה מופלאה. זכות!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מור
      לא מבין לגמרי מה כתוב.
      אם במכנה יש מספר בלבד אז זו לא מנה.
      אם ה x מופיע רק 2x אז צריך לפשט את השורש ולחשב אינטגרל.

  6. היי,
    ידוע שכאשר יש לנו אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה ניתן להשתמש בנוסחה:
    [(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x∫
    כאשר נתאים את הנוסחה לפונקציה מעריכית הנוסחה תראה כך:
    (ef(x) * f ' (x) = ef(x ∫
    בתרגילים בפונקציות פולינום, אם היה לנו מקרה כזה, חילקנו בסוף בנגזרת הפנימית. מדוע גם כאן לא עשינו את זה?
    לדוגמא:
    (2x *e^(x^2 +2
    (תרגיל 1 מ "אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה")
    כשפתרת: סי + (e^(x^2 +2
    למה לא חילקת בנגזרת הפנימית?
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      קודם כל אני רוצה שתשימי לב שבשתי הנוסחאות שרשמת אין פעולת חילוק.
      [(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x∫
      (ef(x) * f ' (x) = ef(x ∫
      כלומר כאשר יש אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה אין פעולת חילוק והאינטגרל שמופיע בדף זה הוא לפי הנוסחה.
      בנוגע לפולינום – להערכתי את מתכוונת לפונקציה שהיא לא כפול הנגזרת הפנימית שלה אלא את מתכוונת לאינטגרל של פונקציה מורכבת ללא כפל במכפלה. – אבל אני לא יכול לענות לפני שאני רואה תרגיל.

  7. שלום,
    ידוע לנו כי האינטגרל של 1/x (אחת חלקי איקס) הוא lnx. אבל מה הוא האינטגרל של אחת חלקי e^x?
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      ניתן לכתוב את האינטגרל הזה בצורה פשוטה יותר:
      e בחזקת מינוס x.
      והתשובה היא מינוס e בחזקת מינוס איקס.

  8. הי תודה רבה על הכל! האתר הזה ממש עוזר.
    רציתי לדעת אם מסוכם פה איפשהו כיצד ניתן להעביר אינטגרל שזוהתה בו נגזרת פנימית מ dx ל dy?