אינטגרל של פונקציות מעריכיות

לדף זה 5 חלקים:

  1. כללי האינטגרל של פונקציה מערכית.
  2. דוגמאות מהירות של חישוב אינטגרל – כמעט ללא הסברים.
  3. תרגילים עם הסברים מלאים.
  4. חישוב שטחים – אינטגרל מסוים.
  5. מציאת האינטגרל על פי מכפלת פונקציה בנגזרתה הפנימית (ל 5 יחידות)

1.כללי האינטגרל של פונקציות מעריכיות

עבור פונקציה פשוטה:
ex dx = ex + c∫

עבור פונקציה מורכבת:

נושאים דומים באתר:

2.דוגמאות מהירות

בחלק זה נפתור 7 תרגילים כמעט ללא מתן הסבר.
תרגילים 1-3 הם פונקציות פשוטות.
תרגילים 4-7 הם פונקציות מורכבות.

תרגיל 1
2ex dx = 2ex + c∫

תרגיל 2
6ex dx = -6ex + c-∫

תרגיל 3

תרגיל 4
e4x dx = 0.25e4x + c∫

תרגיל 5
e-2x dx = -0.5e-2x + c∫

תרגיל 6
ex -4)² dx =∫ e2x -8ex + 16 dx)∫
0.5e2x -8ex + 16x + c
(בתרגיל זה היה עלינו לפתוח סוגריים לפני ביצוע האינטגרל).

תרגיל 7

על מנת לפתור את התרגיל עלינו לצמצם מונה ומכנה.
נעשה זאת על ידי הוצאת ex מכל אחד משני האיברים במונה.

נצמצם ex במונה ובמכנה ונשאר עם מונה בלבד.
נחשב את האינטגרל:

3.תרגילים עם פתרונות מלאים

התרגילים בחלק זה הם:

  1. 2ex + e²∫
  2. 2e3x+2 dx∫
  3. e2x – 2)² dx)∫

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
זו פונקציה פשוטה לכן נשתמש בכלל:
ex dx = ex + c∫
כמו כן נוציא את 3/4 מחוץ לאינטגרל


על מנת להוציא את 3/4 מחוץ לאינטגרל השתמשנו בכלל:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

תרגיל 2
2ex + e²∫

פתרון
e² הוא מספר רגיל.
לכן הפתרון:
2ex + e² = 2ex + e²x + c

תרגיל 3
2e3x+2 dx∫

פתרון
זו פונקציה מורכבת, לכן נשתמש בנוסחה:

(כאשר  m = 3 , n = 2).

ולכן התשובה:
2e3x+2 dx = 2*0.33*e3x+2 + c
0.66e3x+2 +c=

תרגיל 4
e2x – 2)² dx)∫

פתרון
על מנת לפתור את האינטגרל , נצטרך לפתוח סוגריים (לפי נוסחת כפל מקוצר):
e2x – 2)² dx = e4x -4e2x + 4 dx)∫

נשים לב ששני האיברים הראשונים הם פונקציות מורכבות ונשתמש עבורם בנוסחה:

לכן התשובה:
e4x -4e2x + 4 dx = 0.25e4x – 4*0.5e2x + 4x + c∫
0.25e4x – 2e2x + 4x + c

תרגיל 5

פתרון
על מנת שנדע לפתור את האינטגרל – נשתמש בחוקי חזקות.
לפי חוקי חזקות מתקיים :

 

לכן התשובה:

תרגיל 6

פתרון
על מנת לפתור את האינטגרל , נצטרך לפרק אותו לשני איברים (לפרק את המכנה המשותף):

באיבר השמאלה נצמצם מונה ומכנה על פי חוק החזקה:
xa / xb = xa-b
באיבר הימני נעלה את ex למונה בעזרת חוק החזקה:
x-a = 1/xa

נקבל:

שני הביטויים הם אינטגרלים מורכבים.
נחשב את האינטגרל:


תרגיל 7

פתרון

על-מנת לפתור את האינטגרל , נבצע פירוק לגורמים.
נשים לב כי  ניתן לפרק את המונה לפי נוסחת כפל מקוצר:
a – b) * (a + b) = a2 – b2)

לכן נקבל:

את האינטגרל שקיבלנו אנו יודעים לפתור.

לכן התשובה:

תרגיל 8

פתרון
על מנת שנוכל לעשות אינטגרל בקלות יחסית נהפוך את השורש לפולינום.

מכאן אנו יודעים לעשות אינטגרל בעזרת הנוסחה:

4. חישובי שטחים – אינטגרל מסוים

תרגיל 1
חשבו את השטח המוגבל ע"י הפונקציה f(x) = ex , הישר y = 2 , וציר y.

פתרון
השטח מתקבל ע"י חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.

הגבול השמאלי של האינטגרל הוא ציר ה – y , כלומר x = 0.
הגבול הימני של האינטגרל הוא נקודת החיתוך בין הפונקציה לישר.
נמצא אותה:
ex = 2
נפעיל פונקציית ln על 2 אגפי המשוואה. נקבל:
(x = ln(2
לכן הגבול הימני של האינטגרל הוא (x = ln(2

לכן, השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:
exdx = e
(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:


(לפי חוקי לוגריתמים :  elnx = x )

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.386

תרגיל 2
חשבו את השטח הכלוא בין הצירים לבין הפונקציה :



פתרון
השטח כלוא מתחת לפונקציה (f(x.
הגבול השמאלי של האינטגרל הוא ציר y , כלומר x = 0.

הגבול הימני של האינטגרל הוא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר x.
נמצא אותה:
f(x) = 0
e2-x – 1 = 0
e2-x = 1
אנו יודעים כי e0 = 1.  לכן בהכרח מתקיים:
x – 2 = 0
x = 2

לכן הגבול הימני של האינטגרל הוא x = 2.
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:


תשובה: השטח המבוקש הוא 4.389 

5. אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה

הנושא נלמד ברמת 5 יחידות.

כאשר יש לנו אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה ניתן להשתמש בנוסחה:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x
כאשר נתאים את הנוסחה לפונקציה מעריכית הנוסחה תראה כך:
(ef(x) * f ' (x) = ef(x 

תרגיל 1

פתרון
נשים לב ש 2x זו הנגזרת הפנימית של הפונקציה המעריכית.

תרגיל 2

פתרון
במקרה זה 4x -8 זו לא הנגזרת הפנימית, אבל זה בדיוק פי 2 מהנגזרת הפנימית.
לכן נוציא את המספר 2 מחוץ לאינטגרל ונשאר בתוך האינטגרל עם הנגזרת הפנימית.

עכשיו יש לנו בתוך האינטגרל פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.
אנו יכולים להשתמש בנוסחה ולקבל:

תרגיל 3

פתרון
הנגזרת של cosx היא לא sin x אלא sinx-.
לכן עלינו להוציא מינוס מחוץ לאינטגרל על מנת שבתוך האינטגרל נישאר עם בדיוק מה שצריך לנוסחה.

עכשיו ניתן להשתמש בנוסחה:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.