מציאת אינטגרל על ידי חילוק פולינומים

בחלק הראשון של הדף נלמד חילוק פולינומים.
לאחר מיכן נשלב בין חילוק פולינום למציאת אינטגרל שיש לבצע עבורו חילוק פולינומים.

1. חילוק פולינומים

חילוק פולינומים הינו חילוק המתבצע על מנת לפשט את הביטוי שלנו, כאשר גם המונה וגם המכנה הם פולינומים.

לדוגמה:

חילוק פולינומים דומה במהותו לחילוק ארוך, אך יש כמה הבדלים.

שלבים בחילוק פולינומים:

  1. רושמים את השבר בצורה הבאה: 

2. מחלקים את המספר עם החזקה הכי גבוהה במונה – במספר עם החזקה הכי גדולה במכנה:
(במקרה הזה – במונה : x2 , במכנה: x)
את התוצאה רושמים למעלה. בצורה הבאה:
(x2 / x = x)

3. כופלים את המכנה בתוצאה שרשמנו למעלה. 
מחסרים את התוצאה מהביטוי של המונה. בצורה הבאה:

4. מחשבים את תוצאת החיסור:

5. עבור התוצאה שקיבלנו , פועלים שוב משלב 2 ואילך.
(כלומר , מחלקים בביטוי עם החזקה הגבוהה במכנה , מכפילים וכו')

  • שלב 2: (3x / x = -3-)
  • שלב 3:
  • שלב 4:

 

מתי מפסיקים את חילוק הפולינום?

מפסיקים את פעולת החילוק כאשר מתקבלת למטה תוצאה שחזקתה קטנה מחזקת המכנה.
דוגמאות:
– אם בתוצאה למטה אנו מקבלים מספר קבוע , (כלומר חזקת 0) , ומחלקים ב -x (כלומר חזקת 1)
אז חזקת התוצאה קטנה מחזקת המכנה , ולכן נפסיק לחלק.
– אם בתוצאה למטה אנו מקבלים ביטוי שיש בו 'x' , (כלומר חזקת 1) , ומחלקים ב – x ,
אז חזקת התוצאה שווה לחזקת המכנה, לכן נמשיך לחלק.
– אם בתוצאה למטה אנו מקבלים ביטוי שיש בו 'x' , (כלומר חזקת 1) , ומחלקים ב – x2 ,
אז חזקת התוצאה קטנה מחזקת המכנה, לכן נפסיק לחלק.

(במקרה הזה קיבלנו מספר קבוע ('0') , כלומר החזקה של x היא 0 – קטנה מחזקת x במכנה – שהיא 1. )

כאשר אנו מקבלים '0' בסוף החילוק , המשמעות היא שאין שארית.
לכן התוצאה היא הביטוי שקיבלנו למעלה.
במקרה הזה, תוצאת החילוק: x – 3.

כלומר:

 

תרגילים עם הסברים מפורטים

תרגיל 1

פתרון

  1. רושמים את השבר בצורה הבאה: 

2. מחלקים את המספר עם החזקה הכי גבוהה במונה – במספר עם החזקה הכי גדולה במכנה:
(במקרה הזה – במונה : x2 , במכנה: x)
את התוצאה רושמים למעלה. בצורה הבאה:
(x2 / x = x)

3. כופלים את המכנה בתוצאה שרשמנו למעלה. 
מחסרים את התוצאה מהביטוי של המונה. בצורה הבאה:

4. מחשבים את תוצאת החיסור:

5. עבור התוצאה שקיבלנו , פועלים שוב משלב 2 ואילך.
(כלומר , מחלקים בביטוי עם החזקה הגבוהה במכנה , מכפילים וכו')

  • שלב 2: (x / x = -1-)
  • שלב 3:
  • שלב 4:

  • חזקת התוצאה שקיבלנו קטנה מחזקת המכנה , לכן נפסיק לחלק.

כאשר אנו מקבלים '0' בסוף החילוק , המשמעות היא שאין שארית.
לכן התוצאה היא הביטוי שקיבלנו למעלה.
במקרה הזה, תוצאת החילוק: x – 1.

כלומר:

 

תרגיל 2

פתרון

  1. רושמים את השבר בצורה הבאה: 

2. מחלקים את המספר עם החזקה הכי גבוהה במונה – במספר עם החזקה הכי גדולה במכנה:
(במקרה הזה – במונה : 5x³ , במכנה: x)
את התוצאה רושמים למעלה. בצורה הבאה:
(5x3 / x = 5x2)

3. כופלים את המכנה בתוצאה שרשמנו למעלה. 
מחסרים את התוצאה מהביטוי של המונה. בצורה הבאה:

4. מחשבים את תוצאת החיסור:

5. עבור התוצאה שקיבלנו , פועלים שוב משלב 2 ואילך.
(כלומר , מחלקים בביטוי עם החזקה הגבוהה במכנה , מכפילים וכו')

  • שלב 2: (2x2 / x  =  2x)
  • שלב 3:
  • שלב 4:
  • חזקת התוצאה שקיבלנו שווה לחזקת המכנה. לכן נמשיך לחלק:
    (נחזור שוב על שלבים 2,3,4)
  • שלב 2: (3x / x = -3-)
  • שלב 3:
  • שלב 4:

    • חזקת התוצאה שקיבלנו קטנה מחזקת המכנה , לכן נפסיק לחלק.

    כאשר אנו מקבלים '0' בסוף החילוק , המשמעות היא שאין שארית.
    לכן התוצאה היא הביטוי שקיבלנו למעלה.
    במקרה הזה, תוצאת החילוק: 5x2 + 2x – 3
    כלומר:

2. פתרון אינטגרלים ע"י חילוק פולינומים

כאשר אנו צריכים לפתור אינטגרל של פונקציה המורכבת ממנה של שני פולינומים ,
ניעזר בחילוק פולינומים – ואז נחשב את האינטגרל עפ"י אינטגרל של פולינום.

תרגילים:

תרגיל 1

פתרון

אנו לא יודעים לבצע אינטגרל לביטוי זה.
נשים לב שהמונה והמכנה הם פולינומים, ולכן נבצע חילוק פולינומים:
(לפירוט השלבים – עלו קצת למעלה בדף)

לכן מתקיים:

ואנו צריכים בעצם לחשב את האינטגרל:

אותו אנו יודעים לחשב לפי אינטגרל של פולינום:

תשובה:

 

תרגיל 2

פתרון

אנו לא יודעים לבצע אינטגרל לביטוי זה.
נשים לב שהמונה והמכנה הם פולינומים, ולכן נבצע חילוק פולינומים:

לכן מתקיים:

ואנו צריכים בעצם לחשב את האינטגרל:

אותו אנו יודעים לחשב לפי אינטגרל של פולינום:

תשובה:

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.