שטח משולש תרגילים קשים

בדף זה תרגילים המתאימים לכיתה י בנושא שטח משולש.
תרגילים קלים יותר המתאימים לחטיבה ויסודי בדף שטח משולש.

תרגיל 1

אורך צלע במשולש שווה צלעות היא x. הביעו  את שטח המשולש כביטוי של x.

שרטוט שטח משולש שווה צלעות

פתרון

  1. B= 60∠ במשולש ΔABC הזוויות שוות זו לזו וסכומם 180 מעלות.
  2. BAD = 180-90-60=30∠ – סכום הזוויות במשולש ΔBAD הוא 180 מעלות.
  3. BD=0.5X – במשולש ישר זווית ΔABD שבו זווית של 30 מעלות (משולש הזהב) הצלע שמול הזווית שגודלה 30 מעלות שווה למחצית היתר.
  4. במשולש ΔABD על פי משפט פיתגורס:
    x²=(0.5x)² +h²
    x²=0.25x²+h²
    0.75x² = h²
    0.75x=h√
  5.   SABC =( x * √0.75 x) / 2
     SABC = 0.5x²√0.75  – תשובה.

תרגיל 2

במשולש ΔABC הישר AD הוא תיכון לצלע BC. הנקודה E היא אמצע AD.
מה הקשר בין שטחי המשולשים SAEB, SAEC, SDEC, SCEA

שרטוט, חישוב שטח משולש

 

פתרון

  1. התיכון AD מחלק את משולש ΔABC לשני משולשים שווי שטח.  SABD = SACD
    הדבר נובע מכך שתיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח. ההוכחה לכך נמצאת בקישור.
  2. BE הוא גם תיכון ולכן SEBD= SEBA.
  3. CE הוא גם תיכון ולכן SECD= SECA.
  4. נובע מכך SAEB = SAEC= SDEC= SCEA.

תרגיל 3

בריבוע ABCD מעבירים קטעים AE ו DF הנחתכים בנקודה G ומתקיים השוויון AE=DF.
א. הוכיחו ΔAEB ≅ ΔDFA.
ב. הוכיחו כי שטח משולש ΔAGD שווה לשטח מרובע FGEB.

שרטוט התרגיל, חישוב שטח משולש

פתרון

  1. DF=AE – נתון.
  2. AB=AD – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  3. B=∠A=90∠ – זוויות הריבוע שוות זו לזו.
  4.  ΔAEB ≅ ΔDFA – משולשים חופפים על פי משפט חפיפה רביעי (צלע, צלע וזווית מול הצלע הגדולה).
  5. SDFA= SAEB – למשולשים חופפים שטחים שווים.
  6. SAGD = SDFA– SAGF.
  7. SFGBE = SAEB – SAGF.
  8. SFGBE = SAGD – נובע מסעיפים 5,6,7. מבחינה מתמטית ניתן לכתוב את זה כך:
    SFGBE = SAEB – SAGF = SDFA– SAGF = SAGD

תרגיל 4

בטרפז ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה E.  מתקיים 1.5AE=EC.
א. הוכיחו SABC= SDBC.
ב. אם SAEB=X מה גודלו של שטח טרפז ABCD?

שרטוט התרגיל חישוב שטח משולש

פתרון
א.

  1. נעביר AF גובה לצלע BC במשולש ΔABC.
    ו DG גובה לצלע BC במשולש ΔDBC.
  2. AF ΙΙ DG – אם זוויות מתאימות (AFG=∠DGC=90∠) שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
  3. AFGD מקבילית – מרובע שבו יש שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית. (ניתן להוכיח גם שמרובע זה הוא מלבן אך אין צורך על מנת להגיע לפתרון).
  4. AF=DG – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  5. SABC = BC * AF :2
    SDBC = BC * DG :2
  6. SABC = SDBC – נובע מסעיפים 4,5. אם היינו רוצים להוכיח זאת בשורה מתמטית אחת ניתן היה לעשות זאת כך:
    SABC = BC * AF :2 = BC * DG :2 = SDBC

ב.

העברת גובה בטרפז לצורך חישוב שטח משולש

  1. נעביר גובה BE, שהוא גובה במשולש ΔAEB וגם במשולש ΔCEB.
  2. מכוון שהגובה של משולש  ΔAEB משותף ושווה באורכו לגובה במשולש ΔCEB ומכוון שאורך הבסיס של משולש ΔCEB גדול פי 1.5 מבסיס משולש ΔAEB אז מתקיים:
    1.5SAEB = SCEB
  3. SAEB + SCEB  = SABC – רואים בשרטוט
  4. SAEB 1.5SAEB =2.5SAEB = SABC – נובע מ 2 ו 3.
  5. SABCD = SABC+ SDBC= 2SABC – נובע מחפיפת המשולשים שעשינו בסעיף א.
  6. SABCD = 2SABC = 5SAEB = 5X – נובע מסעיפים 4,5.

תשובה: שטח הטרפז ABCD גדול פי 5 משטח משולש SAEB ושווה ל 5X.

שני התרגילים הבאים מבוססים על הקשר בין שטחים במשולשים דומים.

תרגיל 5

בתוך משולש ΔABC מעבירים קטע אמצעים DE.
שטח משולש ΔABC הוא 20 סמ"ר. חשבו את שטח משולש ΔADE.

שרטוט שטח משולש וקטע אמצעים במשולש

פתרון

  1. ABC=∠ADE∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. ACB=∠AED∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔADE∼ΔABC – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.
  4. נעביר גובה AF לצלע BC.
  5. AF הוא גם גובה ל DF –  זוויות מתאימות (AFB=∠AGD=90∠) בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  6. DE=0.5BC – קטע אמצעים שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.
    נובע מכך כי יחס הדמיון בין המשולשים הדומים הוא 1:2
  7. יחס הגבהים ביו משולשים דומים הוא כיחס הדמיון לכן AG=0.5AF.
  8. SABC=AF * BC : 2
    SADE = AG * DE: 2 = 0.5AF * 0.5BC :2
    SADE = 0.25 AF * BC : 2
  9. SADE = 0.25SABC

לסיכום: זו הוכחה ארוכה שבאה להגיד שמכוון שהבסיס והגובה של המשולש הקטן שווים לחצי מהמקבילים אליהם במשולש הגדול אז שטח המשולש הקטן הוא 1/4 משטח המשולש הגדול.

תרגיל 6

בתוך משולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) חסום מלבן DEFB כך ש 3AD=DB
א. חשבו את היחס בין שטח משולש ΔCEF לשטח משולש ΔADE.
ב. חשבו את היחס בין שטח משולש ΔCEF לשטח משולש ΔCAB.
ג. הוכיחו AB*FC=DB*BC.

שרטוט התרגיל, חישוב שטח משולש בעזרת דמיון משולשים

פתרון
א. נוכיח כי מתקיים דמיון משולשים  ΔCEF∼ΔEAD.

  1. CFE=∠B=90∠ -זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  2. EDA=∠B=90∠ -זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
    CFE=∠EDA∠
  3. C=∠AED – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  4. ΔCEF∼ΔEAD – על פי משפט דמיון ז.ז.
  5. FE=DB=3AD – צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו + נתון.
  6. FE ו AD הן צלעות מתאמות בין משולשים דומים. לכן יחס הדמיון הוא 3. והיחס בין שטחי המשולשים הוא 3²=9.

ב. נוכיח דמיון משולשים ΔCEF∼ ΔCAB.

  1. C∠ – זווית משותפת.
  2. CFE=∠B=90∠ -זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  3. ΔCEF∼ ΔCAB על פי משפט דמיון ז.ז.עכשיו נחפש את יחס הדמיון בין המשולשים:
  4. נגדיר FE=DB = 3X.
  5. AD = DB/3=3X/3=X
  6. AB= BD+AD=3X+X=4X
  7. AB ו FE הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים. לכן יחס הדמיון הוא 3x:4x  שזה 3:4.
    ולכן יחס השטחים בין המשולשים הוא ²(3:4) = 9/16.

ג. בהתבסס על סעיף ב מתקיים: ΔCEF∼ ΔCAB.

  1. AB / BC = EF / FC – נובע מיחס דמיון המשולשים.
    נוותר על החילוק ונעבור למשוואת כפל:
  2. AB*FC = EF*BC
    ידוע גם: EF=DB – צלעות נגדיות במלבן. נציב זאת במשוואה:
  3. AB*FC = DB*BC.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.