דמיון משולשים, איך פותרים תרגילים מהסוג: הוכיחו AD² = DB * CD

דף זה מלמד לפתור סוג מסוים של בעיות בנושא דמיון משולשים.

איך פותרים תרגילים מהסוג: הוכיחו AD² = DB * CD

לפעמים יבקשו מאיתנו להוכיח שוויון עם חזקה ריבועית AD² = DB * CD או ללא חזקה ריבועית AD * AC = DB*CD. על מנת לפתור תרגילים מסוג זה פועלים בשני שלבים:

  1. מזהים שני משולשים דומים הכוללים את הצלעות המרכיבות את המשוואה.
    אם אין צלעות כאלו צריך להיות קשר בין הצלעות שבמשוואה לצלעות שבדמיון המשולשים.
  2. מוכיחים דמיון משולשים.
  3. משתמשים ביחסים הנובעים מדמיון המשולשים על מנת ליצור את המשוואה המבוקשת. כלומר אם הצלעות AD ו DB מופיעות משוואה מצאו אותם ואת הצלעות המתאימות להם (נניח X,Y) ורשמו את יחס הדמיון. נניח AD / X = DB / Y. יתכן וזו ממש המשוואה שהייתם צריכים למצוא ויתכן שתצטרכו להוסיף פיתוח קל, כלומר למצוא למה שווה צלע X,Y ולהציב זאת במשוואה.

אני מבדיל בין שני סוגי בעיות / משוואות:

  1. בעיות שאינן כוללות מספר. למשל AD² = DB * CD. משוואה מסוג זה רומזת לנו שכל 4 הצלעות שנמצאות במשוואה נמצאות במשולשים הדומים.
  2. בעיות שכוללות מספר. למשל, AD² =4DF * CD. במקרה זה כנראה שאחת הצלעות שנמצאת במשוואה לא שייכת למשולשים הדומים אבל יש קשר בין הצלע שיש במשוואה לבין צלע ששייכת לדמיון המשולשים. למשל אם DB=4DF אז ניתן לעבור מהמשוואה של סעיף 1 למשוואה של סעיף 2. המחשה בתרגיל המצורף (וגם בתרגיל מספר 11 שבהמשך):

תרגיל 1
במשולש ABC מעבירים גובה AD לצלע BC.ידוע כי  DAB = ∠DCA = a∠
הוכיחו: AD² = DB * CD
אם ידוע כי CB = 4CD הוכיחו כי 4AD² = DB * CB

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון

שלב 1: בוחרים את המשולשים שיעזרו לנו ליצור משוואה
נחפש שני משולשים הכוללים את הצלעות המרכיבות את המשוואה
AD² = DB * CD
אלו הם המשולשים CDA, ADB.
"ובמקרה" ניתן להוכיח שהמשולשים הללו דומים.

שלב ב: מוכיחים דמיון משולשים

  1. CDA = ∠BDA= 90∠   נתון AD גובה.
  2. DAB = ∠DCA = a∠
  3. CDA ∼ ADB משולשים דומים על פי ז.ז.

שלב ג: בונים משוואה הנובעת מדמיון המשולשים

מדמיון המשולשים נוכל לבנות את המשוואה:

נכפיל בשני המכנים (DB * AD) ונקבל:
AD² = DB * CD
זו המשוואה המבוקשת.

סעיף ב
נציב במשוואה שקיבלנו את  CB = 4CD
ונקבל:
AD² = (DB * CB) / 4
4AD² = DB * CB

תרגיל 2

במשולש ישר זווית ABC (שבו B = 90∠) חסום מלבן BDEF
הוכיחו: DB * ED = CF * AD

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב א הוא הסבר לדרך הפתרון, אתם לא צריכים לכתוב את השלב הזה במבחן.

שלב א: מציאת שני משולשים שאת הדמיון שלהם צריך להוכיח.
יש כאן דמיון משולשים בין שלושה משולשים, ואנו צריכים למצוא את שני המשולשים המתאימים להוכחה.
המשולשים צריכים לכלול את הצלעות.
DB, ED, CF, AD
הצלעות ED ו AD  שייכות למשולש EDA.
הצלע CF שייכת למשולש CFE.

אבל הצלע DB לא שייכת לשום משולש.
כיצד נתמודד עם זה?
נשים לב ש:
DB = EF.
לכן אם נכניס למשוואה את EF זה כאילו הכנסנו את DB.

לכן שני המשולשים שנוכיח להם דמיון יהיו EDA, CFE.
הם כוללים 3 צלעות מבוקשת + צלע השווה לצלע מבוקשת אחרת.

שלב ב: הוכחת הדמיון

  1. C = ∠AED∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  2. EFC = ∠ADE = 90∠  כל זוויות המלבן שוות ל 90.
  3. CFE ∼ EDA דמיון משולשים על פי ז.ז.

שלב ג: בניית משוואה
נבנה משוואה הכוללת את הצלעות שיש במשוואה שאנו רוצים להוכיח.
על פי דמיון המשולשים מתקיים

משוואה

נכפיל בשני המכנים (AD * ED) ונקבל :
EF * ED = CF * AD
נציב DB = EF ונקבל:
DB * ED = CF * AD
זו המשוואה שהיינו צריכים להגיע אליה.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.