דמיון משולשים, איך פותרים תרגילים מהסוג: הוכיחו AD² = DB * CD

כאשר נצטרך לבנות משוואה הנראית כך:
AE * DO = CD * AO
או
AD² = DB * CD

נפעל על פי השלבים הבאים:

  1. נזהה שני משולשים דומים הכוללים 3 או 4 צלעות המופיעות במשווה.
  2. נוכיח את דמיון המשולשים.
  3. בעזרת צלעות מתאימות נבנה משוואה הכוללת את הצלעות הנדרשות במשוואה המבוקשת.

אם המשולשים הדומים שמצאנו כוללים את 4 הצלעות המופיעות במשוואה, שלושת השלבים הללו יובילו אותנו לפתרון.

אם המשולשים הדומים כוללים רק 3 צלעות המופיעות במשוואה שאנו צריכים להוכיח אז עלינו למצוא את הקשר בין הצלע "המיותרת" שאנו רוצים להוציא מהמשוואה לצלע שאנו מעוניינים "להוסיף" למשוואה.
לאחר שנמצא את הקשר נבצע פעולת הצבה.

  • הערה: לרוב בונים משוואות מסוג זה בעזרת דמיון משולשים אבל גם משפטי פרופורציה אחרים יכולים לעזור לבנות משוואות בצורה דומה למה שנלמד כאן. למשל משפט תאלס או משפט חוצה זווית.

הסבר מפורט ודוגמה
במקבילית ABCD מאריכים את את הצלע AB עד הנקודה E ומעבירים את הישר CE החותך את AD בנקודה O.

  1. הוכיחו AE * DO = CD * AO

פתרון
נחפש משולשים דומים הכוללים 3 או 4 צלעות המופיעות בשוויון.
AE, DO, CD, AO
המשולשים הללו הם:
EAO, CDO

שלב ראשון: נוכיח את דמיון המשולשים

  1. OCD = ∠OEA∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. ODC = ∠OAE∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. EAO ∼ CDO  משולשים דומים על פי ז.ז.

שלב ב: נבנה משוואה
על מנת לבנות את המשוואה נחפש צלעות מתאימות שהן חלק מהצלעות המופיעות במשוואה.
AE * DO = CD * AO
נתחיל ב AE.
אם AE נמצאת במשוואה אז גם הצלע המתאימה CD צריכה להיות במשוואה.
כרגע המשוואה נראית כך:

אנו צריכים גם את DO במשוואה, ולכן גם הצלע המתאימה AO חייבת להיות חלק מהמשוואה.
קיבלנו את המשוואה:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף CD * DO ונקבל:
AE * DO = CD * AO
זו המשוואה המבוקשת.

מכשולים נפוצים היכולים להופיע בשאלות מסוג זה

1.כאשר המשולשים הדומים כוללים רק 3 צלעות הנמצאות במשוואה
נניח והיינו צריכים להוכיח AE * DO = AB * AO
משוואה זו כוללת 3 צלעות מתוך המשולשים הדומים:
AE, DO, AO
וצלע אחת שאינה שייכת למשולשים הדומים
AB

במקרה זה עדיין היינו מוכיחים את דמיון המשולשים
EAO ∼ CDO
ובונים את המשוואה שבנינו קודם, משוואה הכוללת רק 3 צלעות מבוקשות.
AE * DO = CD * AO

עכשיו יש לנו צלע שאנו לא רוצים CD, וצלע שאנו כן רוצים AB.
נחפש את הקשר בין שתי הצלעות.
אלו צלעות נגדיות במקבילית ולכן שוות
AB = CD.
לכן נוכל להציב במקום CD את AB במשוואה ולקבל את המשוואה המבוקשת.

סיכום השלבים:

  1. נמצא את המשוואה המקורית שבה 4 הצלעות שייכות לדמיון המשולשים.
  2. נמצא שוויון / משפט בעזרתו ניתן להוציא את הצלע המיותרת ולהוסיף את הצלע אותה אנו צריכים.

2. כאשר המשוואה כוללת גם מספרים.
נניח ובשאלה המקורית היו מוסיפים נתון:
DO = 2AO
ומבקשים להוכיח:
0.66AE * BC = CD * AO

כמו בסעיף הקודם גם כאן יש לנו 3 צלעות המופיעות בשני המשולשים הדומים
וצלע אחת BC שאינה מופיעה, וכאן גם מופיע מספר.

דרך ההוכחה תהיה כך
המשוואה הסטנדרטית אליה הגענו בשאלה המקורית היא:
AE * DO = CD * AO
עכשיו אנו רוצים להוציא את DO ולהכניס את BC ולכן נחפש את הקשר בניהן.
נגדיר:
AO = x
לכן
DO = 2x
BC = AO + DO = 3x

לכן
3DO = 2BC
DO = 0.66BC
נציב את זה במשוואה:
AE * DO = CD * AO
נקבל:
0.66AE * BC = CD * AO

3. כאשר המשוואה כוללת חזקה
נניח וזו השאלה שקיבלנו:
במשולש ABC מעבירים גובה AD לצלע BC.ידוע כי  DAB = ∠DCA = a∠
הוכיחו: AD² = DB * CD

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון
כאשר המשוואה שאנו צריך להוכיח כוללת חזקה זה בדרך כלל אומר שיש צלע אחת השייכת לשני המשולשים הדומים, וזו גם הצלע שמופיעה עם חזקה.
בשאלה זו המשולשים הדומים הם:
CDA ∼ ADB

כאשר נבנה משוואה על פי הצלעות המבוקשות במשוואה נקבל:

נכפיל במכנה המשותף AD * DB ונקבל את המשוואה המבוקשת.
AD² = DB * CD

תרגילים

תרגיל 1 הוא פתרון מפורט של של הדוגמה האחרונה.
תרגיל 2 הוא תרגיל חדש.

תרגיל 1
במשולש ABC מעבירים גובה AD לצלע BC.ידוע כי  DAB = ∠DCA = a∠
הוכיחו: AD² = DB * CD
אם ידוע כי CB = 4CD הוכיחו כי 4AD² = DB * CB

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון

שלב 1: בוחרים את המשולשים שיעזרו לנו ליצור משוואה
נחפש שני משולשים הכוללים את הצלעות המרכיבות את המשוואה
AD² = DB * CD
אלו הם המשולשים CDA, ADB.
"ובמקרה" ניתן להוכיח שהמשולשים הללו דומים.

שלב ב: מוכיחים דמיון משולשים

  1. CDA = ∠BDA= 90∠   נתון AD גובה.
  2. DAB = ∠DCA = a∠
  3. CDA ∼ ADB משולשים דומים על פי ז.ז.

שלב ג: בונים משוואה הנובעת מדמיון המשולשים

מדמיון המשולשים נוכל לבנות את המשוואה:

נכפיל בשני המכנים (DB * AD) ונקבל:
AD² = DB * CD
זו המשוואה המבוקשת.

סעיף ב
נציב במשוואה שקיבלנו את  CB = 4CD
ונקבל:
AD² = (DB * CB) / 4
4AD² = DB * CB

תרגיל 2

במשולש ישר זווית ABC (שבו B = 90∠) חסום מלבן BDEF
הוכיחו: DB * ED = CF * AD

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב א הוא הסבר לדרך הפתרון, אתם לא צריכים לכתוב את השלב הזה במבחן.

שלב א: מציאת שני משולשים שאת הדמיון שלהם צריך להוכיח.
יש כאן דמיון משולשים בין שלושה משולשים, ואנו צריכים למצוא את שני המשולשים המתאימים להוכחה.
המשולשים צריכים לכלול את הצלעות.
DB, ED, CF, AD
הצלעות ED ו AD  שייכות למשולש EDA.
הצלע CF שייכת למשולש CFE.

אבל הצלע DB לא שייכת לשום משולש.
כיצד נתמודד עם זה?
נשים לב ש:
DB = EF.
לכן אם נכניס למשוואה את EF זה כאילו הכנסנו את DB.

לכן שני המשולשים שנוכיח להם דמיון יהיו EDA, CFE.
הם כוללים 3 צלעות מבוקשת + צלע השווה לצלע מבוקשת אחרת.

שלב ב: הוכחת הדמיון

  1. C = ∠AED∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  2. EFC = ∠ADE = 90∠  כל זוויות המלבן שוות ל 90.
  3. CFE ∼ EDA דמיון משולשים על פי ז.ז.

שלב ג: בניית משוואה
נבנה משוואה הכוללת את הצלעות שיש במשוואה שאנו רוצים להוכיח.
על פי דמיון המשולשים מתקיים

משוואה

נכפיל בשני המכנים (AD * ED) ונקבל :
EF * ED = CF * AD
נציב DB = EF ונקבל:
DB * ED = CF * AD
זו המשוואה שהיינו צריכים להגיע אליה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.