דמיון משולשים למתקדמים

דף זה הוא החלק השני בנושא דמיון משולשים.

לדף זה 3 חלקים:

  1. 8 מצבים נפוצים בהם יש להשתמש בדמיון משולשים.
  2. איך פותרים שאלות שבהם צריך להוכיח משוואה מהסוג AD² = DB * CD
  3. תרגילים.

1. 8 מצבים נפוצים היוצרים דמיון משולשים

1. כאשר מעבירים קווים מקבילים במשולש

כאשר יש קווים מקבילים במשולש נוצרים גם משולשים דומים.
את הוכחת הדמיון עושים בעזרת זוויות מתאימות שוות. ויש גם זווית משותפת.

אם BC מקביל ל- DE אז הזוויות הירוקות הן מתאימות שוות. הזוויות האדומות הן מתאימות שוות. זווית A משותפת לשני המשולשים

אם BC מקביל ל- DE אז הזוויות הירוקות הן מתאימות שוות.
הזוויות האדומות הן מתאימות שוות.
זווית A משותפת לשני המשולשים. 

2. כאשר בתוך צורה עם קווים מקבילים מעבירים אלכסונים

כאשר בטרפז, מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע מעבירים אלכסונים נוצרת מקבילית.
את הזוויות השוות מוכיחים על פי זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
ונוצרות גם שתי זוויות קודקודיות שוות.

 

הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות. הזוויות האדומות הן מתחלפות שוות.

הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות.
הזוויות האדומות הן מתחלפות שוות.

3. מקרים בהם מאריכים צלע בצורה הכוללת ישרים מקבילים

בצורות עם ישרים מקבילים (טרפז וכל משפחת המקביליות) כאשר ממשיכים צלע ומחברים את המשך הצלע עם קודקוד נוסף של הצורה נוצרים משולשים דומים.

זה בעצם דומה מאוד לסעיף 1, נוצר לנו משולש שבו יש זוג ישרים מקבילים.
אבל הביטוי "ישרים מקבילים" לא מופיע בניסוח השאלה. מה שגורם לחלק מהלומדים לא לחפש באופן אוטומטי את הזוויות המתאימות השוות.
ואז הם מפספסים את דמיון המשולשים.

ABCD מקבילית. הזוויות הירוקות מתאימות שוות. הזוויות האדומות מתאימות שוות. הזווית השחורה משותפת לשני המשולשים.

ABCD מקבילית.
הזוויות הירוקות מתאימות שוות.
הזוויות האדומות מתאימות שוות.
הזווית השחורה משותפת לשני המשולשים.

שרטוט נוסף המראה את אותו רעיון.

 

4. כאשר יש צורה מקבילה החסומה בתוך משולש

כמו רעיון מספר אחד, שוב פעם נקבל ישרים מקבילים בתוך משולש.
במקרים מסוימים יהיה זו ישרים מקבילים, ואז יהיו שני משולשים דומים.
במקרים אחרים יהיו שני זוגות ישרים מקבילים ואז יהיו 3 משולשים דומים.

מקבילית / מלבן/ מעוין / ריבוע החסומים במשולש יוצרים 2 או 3 משולשים דומים

 

5. כאשר מעבירים חותכים בצורה הכוללת ישרים מקבילים

הוכחת דמיון המשולשים נעשית על פי זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

חותכים בתוך מקבילית

חותכים בתוך מקבילית

6. גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים

במשולש ישר זווית ABC זווית A שווה 90.
הגובה AD יוצר שלושה משולשים דומים.

גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים. ABC ∼DAC ∼DBA

גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים. ABC ∼DAC ∼DBA.

 

7. כל שני מיתרים נחתכים במעגל יוצרים משולשים דומים

הזוויות האדומות שבשרטוט שוות זו לזו בגלל המשפט:
"זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו"

הזוויות הירוקות שוות כי הן קודקודיות.

8. כאשר ממשיכים צלעות של מרובע חסום במעגל

הזוויות האדומות והירוקות שבשרטוט שוות זו לזו בגלל המשפט.
"סכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא 180 מעלות".
לאחר השימוש במשפט יש להשתמש גם בכך שסכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.

הוכחה:
נגדיר את זווית C כ- a.
לכן הזווית שמולה במרובע שווה ל- 180 פחות a.
לכן הזווית האדומה השנייה שווה ל- a.
זווית A היא זווית משותפת.
לכן:
ABC ∼ AED על פי משפט דמיון ז.ז.
שימו לב לסדר רישום האותיות, הוא הפוך ממה שנראה בעין.

 

9. משיק למעגל הוא בעל פוטנציאל לדמיון, אבל לא בהכרח

משיק למעגל יוצר לרוב שתי זוויות שוות.
על פי המשפט:
זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מאותו הצד"

שתי זוויות שוות זה לא מספיק לדמיון משולשים אבל לפעמים משלבים נתונים המראים על זווית שווה נוספת ואז יש דמיון.

שתי הזוויות האדומות הן זוויות שוות

שתי הזוויות האדומות הן זוויות שוות

מקרה מיוחד: בטרפז ניתן לדעת בעזרת יחס הדמיון את הקשר בין השטחים של כל ארבע המשולשים שיוצרים האלכסונים

מכוון

  1. שהאלכסונים בטרפז יוצרים משולשים דומים.
  2. ומכוון שלכל שני משולשים צמודים יש גובה משותף.

אם נדע את השטח של אחד המשולשים ואת יחס הדמיון בין המשולשים נוכל לחשב את השטח של כל אחד מהמשולשים ואת שטח הטרפז כולו. נניח כי בשרטוט הנוכחי יחס הדמיון בין המשולשים AOB ל COD הוא 3. ושטח משולש AOB הוא X. מכוון שהאלכסונים יוצרים משולשים דומים אם נדע שטח של משולש אחד ואת יחס הדמיון נוכל לדעת את השטח של כל אחד מהארבעת המשולשים AOB ∼ COD דמיון המשולשים. חישוב שטח משולש BOC: מהקודקוד B למשולש BOC ולמשולש BOA יש את אותו הגובה לצלעות AO ו OC. ומכוון ש OC= 3AO אז שטח משולש BOC גדול פי 3 משטח משולש AOB. חישוב שטח משולש AOD: בדיוק אותו דבר. DO = 3OB ולכן שטח משולש AOD גדול פי 3 משטח משולש AOB. חישוב שטח משולש COD: יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. במקרה זה 3²=9. שטח משולש COD הוא פי 9 משטח משולש AOB.

1. איך פותרים תרגילים מהסוג: הוכיחו AD² = DB * CD

לפעמים יבקשו מאיתנו להוכיח שוויון עם חזקה ריבועית AD² = DB * CD או ללא חזקה ריבועית AD * AC = DB*CD. על מנת לפתור תרגילים מסוג זה פועלים בשני שלבים:

  1. מוכיחים דמיון משולשים. ברוב המקרים הצלעות שנמצאות במשוואה יהיו חלק מהצלעות במשולשים הדומים. ואם לא כל הצלעות אז לפחות מרביתם.
  2. משתמשים ביחסים הנובעים מדמיון המשולשים על מנת ליצור את המשוואה המבוקשת. כלומר אם הצלעות AD ו DB מופיעות משוואה מצאו אותם ואת הצלעות המתאימות להם (נניח X,Y) ורשמו את יחס הדמיון. נניח AD / X = DB / Y. יתכן וזו ממש המשוואה שהייתם צריכים למצוא ויתכן שתצטרכו להוסיף פיתוח קל, כלומר למצוא למה שווה צלע X,Y ולהציב זאת במשוואה.

אני מבדיל בין שני סוגי בעיות / משוואות:

  1. בעיות שאינן כוללות מספר. למשל AD² = DB * CD. משוואה מסוג זה רומזת לנו שכל 4 הצלעות שנמצאות במשוואה נמצאות במשולשים הדומים.
  2. בעיות שכוללות מספר. למשל, AD² =4DF * CD. במקרה זה כנראה שאחת הצלעות שנמצאת במשוואה לא שייכת למשולשים הדומים אבל יש קשר בין הצלע שיש במשוואה לבין צלע ששייכת לדמיון המשולשים. למשל אם DB=4DF אז ניתן לעבור מהמשוואה של סעיף 1 למשוואה של סעיף 2. המחשה בתרגיל המצורף (וגם בתרגיל מספר 11 שבהמשך):

תרגיל לדוגמה:
במשולש ABC מעבירים גובה AD לצלע BC./ DAB = ∠DCA = a∠
הוכיחו: AD² = DB * CD
אם ידוע כי CB = 4CD הוכיחו כי 4AD² = DB * CB

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון

  1. CDA = ∠BDA= 90∠   נתון AD גובה.
  2. DAB = ∠DCA = a∠
  3. CDA ∼ ADB משולשים דומים על פי ז.ז.
  4. AD / DB  = CD / AD  נובע מדמיון המשולשים.
  5. AD² = DB * CD  (הכפלה של שני צדדי במשוואה ב AD)

חלק שני:
נציב במשוואה שקיבלנו את  CB = 4CD
ונקבל:
AD² = (DB * CB) / 4
4AD² = DB * CB

3. תרגילים

בדף זה 8 תרגילים ברמת קושי בינונית.
תרגילים קשים יותר הם תרגילים 4-9 בדף דמיון משולשים שטח.

תרגיל 1: דמיון משולשים במשולש ישר זווית

במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) העבירו גובה ליתר BD ⊥ AC. א. הוכיחו כי נוצרו 2 משולשים הדומים למשולש ΔABC. ב. האם המשולשים שנוצרו דומים גם בניהם?

דמיון משולשים במשולש ישר זווית

פתרון

  1. נגדיר A=α∠ ונשלים בעזרתה את הזוויות האחרות בכול המשולשים.
  2. C=90-α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. DBC=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBC.
  4. DBA=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBA.

שרטוט הזוויות במשולש ישר זווית

כך נראות הזוויות שהשלמנו:  לכן על פי משפט דמיון ז.ז המשולשים הבאים דומים: ΔABC ∼ ΔBDC ∼ ΔADB כן, שני המשולשים שנוצרו דומים למשולש ΔABC וגם דומים אחד לשני על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 2: הוכחת דמיון משולשים, שימוש ביחס הדמיון

במשולש ישר זווית ΔABC חסום ריבוע DEFB. AD=4,  DE=3 ס"מ. A=40∠. א. הוכיחו כי ΔADE∼ ΔEFC. ב. חשבו את FC. ג. חשבו את AC (ללא הוכחת דמיון משולשים נוספת).

דמיון משולשים במשולש וריבוע

פתרון

  1. AED=50∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔAED.
  2. C=50∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. ADE=∠EFC=90∠ – צלעות הריבוע מאונכות לצלעות משולש ΔABC.
  4. ΔADE∼ ΔEFC על פי משפט דמיון ז.ז.סעיף ב.
  5. EF=DE=3 – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  6. על פי דמיון המשולשים מתקיים: AD/FE = DE/FC FC = DE*FE / AD FC= 3*3 / 4=9/4 FC=2.25 ס"מ.סעיף ג. נעשה זאת בעזרת משפט פיתגורס במשולש ΔABC.
  7. AB= AD+DB=4+3=7. BC= BF+FC = 3 + 2.25=5.25
  8. AC² = AB² + BC² AC² = 7² + 5.25² AC²=49+27.565=76.565 AC=8.75 ס"מ.

תרגיל 3

משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים (BC=BA). בתוכו מעבירים את הישר CD כך ש CD=CA. BC=10, CA=6 ס"מ. א. הוכיחו דמיון משולשים. ב. מצאו את AD.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שווה שוקיים

פתרון א. נוכיח כי ΔBCA ∼ ΔCDA

  1. נגדיר A=∠C=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔABC שוות זו לזו.
  2. ADC=∠A=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔCDA שוות זו לזו.
  3.  ΔBCA ∼ ΔCDA על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. נחשב את יחס הדמיון בין המשולשים. BC/CA=10/6=1.666 – זה יחס הדמיון. מי הצלע המתאימה ל AD במשולש ΔBCA? זו CA. CA / AD = BC/ CA AD = CA² / BC=6²/10=3.6. תשובה: AD= 3.6 ס"מ.

תרגיל 4

במשולש ΔABC מעבירים חוצה זווית AD. AD=BD. א. מצאו אלו משולשים דומים כאן והוכיחו דמיון משולשים.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שעובר בו חוצה זווית

פתרון
על מנת למצוא את דמיון המשולשים נגדיר את אחת הזווית כ α ונשלים את שאר הזוויות בעזרתה.

  1. נגדיר: BAD=∠CAD=α∠.
  2. ABD=α∠ – במשולש שווה שוקיים ΔABD זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. ADB=180-2α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABD.
  4. ADC=2α∠  – זווית צמודה לזווית ADB∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
  5. C=180-3α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔADC.

כך נראה המשולש כשכול הזוויות מסומנות בו:

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

ניתן לראות כי המשולשים הדומים הם ΔCBA∼ΔCAD והם דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 5: דמיון משולשים בין יותר משני משולשים

בתוך משולש ΔABC העבירו שני ישרים מקבלים כך שנוצרו 3 משולשים דומים: ΔABC ∼ΔAGF ∼ ΔADE שטח משולש ΔAGF גדול פי 6 משטח משולש ΔADE.

  1. מה יחס הדמיון בין משולש ΔAGF למשולש ΔADE?
  2. אם AE=3 ס"מ. ו GC = 4 ס"מ.  מה יחס הדמיון בין ΔADE למשולש ΔABC.
  3. רשמו בשורה אחת את יחס הדמיון בין שלושת המשולשים.
  4. רשמו בשורה אחת את יחס השטחים של שלושת המשולשים.

דמיון משולשים עם יותר משני משולשים

פתרון

  1. אם יחס השטחים הוא 6 אז יחס הדמיון הוא 6√.
  2. על מנת למצוא יחס זה עלינו לחשב את האורך של AC
    AG = √6 * AE=√6 *3=7.35 – בגלל יחס דמיון המשולשים.
    AC= AG+ GC=7.35+4=11.35
    יחס הדמיון בין המשולשים הוא: 11.35 : 3 או   3.78 : 1
  3. יחס הדמיון בין שלושת המשולשים הוא: 3.78  :  6√  :  1
  4. יחס השטחים בין שלושת המשולשים הוא: 14.31  : 6  : 1.
    סדר היחס בסעיפים ג ו ד הוא: ΔADE : ΔAGF : ΔABC

תרגיל 6: שימוש במשפט דמיון שהוא לא ז.ז

הקווים AC ו BD נפגשים בנקודה E. הקווים AB ו DC משלימים אותם לשני משולשים. נתון DE=3, EB=2. CE=6, EA=4. DC=9.

  1. הוכיחו כי המשולשים דומים – הקפידו על רישום נכון של דמיון המשולשים.
  2. מצאו את אורכה של הצלע AB.
  3. אם שטח שני המשולשים ביחד הוא 32.5 סמ"ר. מה הוא שטחו של כל אחד מהמשולשים?

שרטוט התרגיל

פתרון
הוכחת דמיון המשולשים:

  1. DE:EB=  3:2=1.5
  2. CE:EA = 6:4=1.5
  3. DEC=∠AEB∠ – זוויות קודקודיות שוות.
  4. מצאנו כי היחס של שתי צלעות שווה וגם הזווית שבניהן שווה לכן המשולשים דומים על פי צ.ז.צ ΔDEC∼ΔBEA.

2- מה האורך של צלע AB. כפי שמצאנו יחס הדמיון של המשולשים הוא 1.5. הצלע המתאימה לצלע AB היא CD. לכן על פי יחס הדמיון: CD:AB=1.5 AB=6. 3 – היחס בין שטחי שני המשולשים הוא ריבוע יחס הצלעות 1.5²=2.25. 1:2.25 – היחס. לכן אם השטח הכללי הוא 32.5 סמ"ר אז בשטח של המשולש הגדול הוא 22.25 סמ"ר והשטח של המשולש הקטן הוא 10 סמ"ר.

תרגיל 7: ממבחן מפמ"ר כיתה ט

תרגיל זה הוא פתרון לשאלה במבח"ן מפמ"ר תשע"ד – רמה רגילה טור א. שאלה מספר 4. את השאלה עצמה תוכלו לראות על ידי חיפוש "מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט". (השאלה מתאימה לתלמידים שלמדו קטע אמצעים במשולש).

פתרון

נתונים:

  • מעוין ABCD.
  • ABD – משולש שווה צלעות.
  • EP Ι Ι BC

צ"ל:

  1. הנקודה E היא אמצע הצלע AC –  אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  2. EP Ι Ι BC – נתון.
  3. EP Ι Ι BC. – אם שני ישרים מקבילים וישר שלישי מקביל לאחד מיהם אז הישר השלישי מקביל גם לישר השני.
  4. EP קטע אמצעים במשולש ACB  – ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לשלישית הוא קטע אמצעים. ולכן P היא אמצע AB.
  5. PBE=∠PBD∠ – זו אותה זווית.
  6. DAB=∠EPB∠  – זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
  7. ΔABD ~ ΔPBE. – אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות במשולש שני אז המשולשים דומים.
  8. EP Ι Ι BC – הוכח בסעיף 3. ולכן PADE טרפז.
  9. BAD=∠BDA=60 – הזוויות במשולש שווה צלעות ABD שוות זו לזו.
  10. PADE טרפז שווה שוקיים – אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הוא שווה שוקיים.

תרגיל 8

נתונה מקבילית ABCD. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע DC. הישר AE חותך את הצלע BC בנקודה F. 2CF = FB. הוכיחו: AD = 3BF * FE / AF

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. CFE = ∠AFB∠ זוויות קודקודיות שוות.
  2. BCE = ∠CBA∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. CFE ∼ BFA משולשים דומים על פי ז.ז.
  4.  BF / CF = AF / FE  נובע מדמיון משולשים.
  5. FB + CF = 2CF + CF =3CF = BC =AD  חיבור צלעות וגם צלעות נגדיות מקבילית שוות זו לזו.
  6. CF = AD / 3   (נציב את משוואה 6 במשוואה 4).
  7. 3BF / AD = AF / FE
  8. AD = 3BF * FE / AF
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.