דמיון משולשים במרובעים

דף זה הוא החלק השני בנושא דמיון משולשים.

לדף זה שני חלקים:

  1. 6 מצבים נפוצים במשולש ובמרובעים היוצרים דמיון משולשים.
  2. 8 תרגילים – זה החלק החשוב שבדף.

6 מצבים נפוצים היוצרים דמיון משולשים

1. כאשר מעבירים קווים מקבילים במשולש

כאשר יש קווים מקבילים במשולש נוצרים גם משולשים דומים.
את הוכחת הדמיון עושים בעזרת זוויות מתאימות שוות. ויש גם זווית משותפת.

אם BC מקביל ל- DE אז הזוויות הירוקות הן מתאימות שוות. הזוויות האדומות הן מתאימות שוות. זווית A משותפת לשני המשולשים

אם BC מקביל ל- DE אז הזוויות הירוקות הן מתאימות שוות.
הזוויות האדומות הן מתאימות שוות.
זווית A משותפת לשני המשולשים. 

2. כאשר בתוך צורה עם קווים מקבילים מעבירים אלכסונים

כאשר בטרפז, מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע מעבירים אלכסונים נוצרת מקבילית.
את הזוויות השוות מוכיחים על פי זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
ונוצרות גם שתי זוויות קודקודיות שוות.

 

הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות. הזוויות האדומות הן מתחלפות שוות.

הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות.
הזוויות האדומות הן מתחלפות שוות.

3. מקרים בהם מאריכים צלע בצורה הכוללת ישרים מקבילים

בצורות עם ישרים מקבילים (טרפז וכל משפחת המקביליות) כאשר ממשיכים צלע ומחברים את המשך הצלע עם קודקוד נוסף של הצורה נוצרים משולשים דומים.

זה בעצם דומה מאוד לסעיף 1, נוצר לנו משולש שבו יש זוג ישרים מקבילים.
אבל הביטוי "ישרים מקבילים" לא מופיע בניסוח השאלה. מה שגורם לחלק מהלומדים לא לחפש באופן אוטומטי את הזוויות המתאימות השוות.
ואז הם מפספסים את דמיון המשולשים.

ABCD מקבילית. הזוויות הירוקות מתאימות שוות. הזוויות האדומות מתאימות שוות. הזווית השחורה משותפת לשני המשולשים.

ABCD מקבילית.
הזוויות הירוקות מתאימות שוות.
הזוויות האדומות מתאימות שוות.
הזווית השחורה משותפת לשני המשולשים.

שרטוט נוסף המראה את אותו רעיון.

 

4. כאשר יש צורה מקבילה החסומה בתוך משולש

כמו רעיון מספר אחד, שוב פעם נקבל ישרים מקבילים בתוך משולש.
במקרים מסוימים יהיה זו ישרים מקבילים, ואז יהיו שני משולשים דומים.
במקרים אחרים יהיו שני זוגות ישרים מקבילים ואז יהיו 3 משולשים דומים.

מקבילית / מלבן/ מעוין / ריבוע החסומים במשולש יוצרים 2 או 3 משולשים דומים

 

5. כאשר מעבירים חותכים בצורה הכוללת ישרים מקבילים

הוכחת דמיון המשולשים נעשית על פי זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

חותכים בתוך מקבילית

חותכים בתוך מקבילית

6. גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים

במשולש ישר זווית ABC זווית A שווה 90.
הגובה AD יוצר שלושה משולשים דומים.

גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים. ABC ∼DAC ∼DBA

גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים. ABC ∼DAC ∼DBA.

 תרגילים

בדף זה 9 תרגילים ברמת קושי בינונית -קשה.

תרגיל 1

במקבילית ABCD ממשיכים את הצלע AB כך ש AE = 0.25AB.
הישר CE חותך את הצלע AD בנקודה F.
AF= 6

  1. הוכיחו את דמיון המשולשים EAF ∼ EBC
  2. חשבו את אורך הצלע BC.
  3. * ידוע כי שטח משולש EAF הוא 9 סמ"ר. חשבו את שטח המקבילית.
    (רמז לפתרון סעיף זה מופיע בתחילת כתיבת הפתרון).

שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א: נוכיח EAF ∼ EBC

  1. EAF = ∠EBC∠  זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  2. E  זו זוויות משותפת לשני המשולשים.
  3. EAF ∼ EBC  דמיון משולשים על פי ז.ז.

סעיף ב: מציאת גודל הצלעות
שלב א: מציאת יחס הדמיון
נגדיר:
AE = x
לכן:
AB = 4x
יחס דמיון המשולשים הוא:

לכן עלינו למצוא את EB.
EB = AB + AE = 5X

יחס הדמיון הוא:

שלב ב: מציאת BC
על פי יחס הדמיון כל צלע במשולש EBC גדולה פי 5 מהצלע המתאימה לה במשולש EAF.
הצלע המתאימה ל BC היא הצלע AF. לכן:
BC = 5AF = 5*6 = 30

שאלה 2

שאלה זו היא המשך של שאלה 1.
במקבילית ABCD ממשיכים את הצלע AB כך ש AE = 0.25AB.
הישר CE חותך את הצלע AD בנקודה F.
AF= 6,  BC = 30
EAF ∼ EBC

  1. הוכיחו את דמיון המשולשים AFE ∼ DFC.
  2. חשבו את שטח המקבילית ABCD.

פתרון
סעיף א

  1. FDC = FAD זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  2. DFC = EFA זוויות קודקודיות.
  3. AFE ∼ DFC משולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב
שלב א: חישוב שטח מרובע AFCB
יחס השטחים בין משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן שטח משולש EBC הוא פי 5² משטח משולש EAF.
SEBC = 25 * 9 = 225

על מנת לחשב את שטח המקבילית עלינו לחשב את שטח מרובע AFCB.
SAFCB = SEBC – SEAF  = 225 – 9 = 216

שלב ב: חישוב שטח משולש DFC.
AFE ∼ DFC
נחשב את יחס הדמיון בין המשולשים.
יחס הדמיון הוא:

נחשב את DF
DF = AD – AF = 30 – 6 = 24
יחס הדמיון הוא:

יחס הדמיון הוא 4. לכן יחס השטחים של המשולשים הוא 4².
SDFC = 16 * 9 = 144

שטח המקבילית הוא:
S = SAFCB + SDFC = 216 + 144 = 360
תשובה: שטח המקבילית הוא 360 סמ"ר.

תרגיל 3

בטרפז ABCD מעבירים את קטע האמצעים EF.
האלכסון AC חותך את קטע האמצעים בנקודה G.
FG = 2, GE = 5

  1. מצאו את המשולשים הדומים למשולשים CFG, AEG.
  2. חשבו את אורכי בסיסי הטרפז AD, BC.

פתרון
סעיף א
נוכיח CFG ∼ CDA

  1. D = CFG   זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. זווית C היא זווית משותפת למשולשים CFG ו CDA.
  3. CFG ∼ CDA על פי ז.ז.

נוכיח AEG ∼ ABC

  1. B = AEG   זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. זווית BAC היא זווית משותפת למשולשים AEG ו ABC.
  3. AEG ∼ ABC על פי ז.ז.

סעיף ב: חישוב אורך בסיסי הטרפז
עבור משולש CDA, נוכיח כי FG הוא קטע אמצעים.

  1. F הוא אמצע הצלע CD.
  2. FG מקביל ל AD (כי FG הוא חלק מקטע אמצעים בטרפז).
  3. לכן FG הוא קטע אמצעים במשולש CDA (ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים).
  4. AD = 2FG = 4  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

עבור משולש ABC נוכיח באותה צורה כי EG הוא קטע אמצעים.

  1. E היא אמצע הצלע AB.
  2. EG מקביל ל BC (כי EG היא חלק מקטע אמצעים בטרפז).
  3. EG הוא קטע אמצעים במשולש ABC (ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים).
  4. BC = 2EG = 10 קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

תרגיל 4

תרגיל זה הוא המשך של תרגיל 3.
בטרפז ABCD מעבירים את קטע האמצעים EF.
האלכסון AC חותך את קטע האמצעים בנקודה G.
FG = 2, GE = 5
CFG ∼ CDA וגם יחס הדמיון הוא 1:2
AEG ∼ ABC וגם יחס הדמיון הוא 1:2

  1. ידוע כי שטח משולש AEG הוא 9.375 חשבו את שטח מרובע EGCB.
  2. ידוע כי שטח מרובע ADFG הוא 12 סמ"ר. חשבו את שטח משולש CFG.

פתרון
סעיף א
ידוע כי: AEG ∼ ABC וגם יחס הדמיון הוא 1:2
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן
SABC = 4 * 9.375 = 37.5

שטח המרובע EGCB הוא הפרש שטחי המשולשים:
SEGCB = SABC – SAEG = 37.5 – 9.375 = 28.125
תשובה: SEGCB = 28.125 סמ"ר.

סעיף ב
נגדיר:
SAEG = x
על פי הנתון:
CFG ∼ CDA וגם יחס הדמיון הוא 1:2 ניתן לכתוב:
SABC = 4SAEG = 4x

SADFG = SABC – SAEG = 4X – X = 3X
3X = 12
X = 4
תשובה: שטח משולש CFG הוא 4 סמ"ר.

תרגיל 5

במשולש ישר זווית ΔABC חסום ריבוע DEFB. AD=4,  DE=3 ס"מ. A=40∠.
א. הוכיחו כי ΔADE∼ ΔEFC.
ב. חשבו את FC.
ג. חשבו את AC (ללא הוכחת דמיון משולשים נוספת).

דמיון משולשים במשולש וריבוע

פתרון

  1. AED=50∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔAED.
  2. C=50∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. ADE=∠EFC=90∠ – צלעות הריבוע מאונכות לצלעות משולש ΔABC.
  4. ΔADE∼ ΔEFC על פי משפט דמיון ז.ז.סעיף ב.
  5. EF=DE=3 – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  6. על פי דמיון המשולשים מתקיים: AD/FE = DE/FC FC = DE*FE / AD FC= 3*3 / 4=9/4 FC=2.25 ס"מ.סעיף ג. נעשה זאת בעזרת משפט פיתגורס במשולש ΔABC.
  7. AB= AD+DB=4+3=7. BC= BF+FC = 3 + 2.25=5.25
  8. AC² = AB² + BC² AC² = 7² + 5.25² AC²=49+27.565=76.565 AC=8.75 ס"מ.

תרגיל 6

נתונה מקבילית ABCD. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע DC. הישר AE חותך את הצלע BC בנקודה F. 2CF = FB. הוכיחו: AD = 3BF * FE / AF

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. CFE = ∠AFB∠ זוויות קודקודיות שוות.
  2. BCE = ∠CBA∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. CFE ∼ BFA משולשים דומים על פי ז.ז.
  4.  BF / CF = AF / FE  נובע מדמיון משולשים.
  5. FB + CF = 2CF + CF =3CF = BC =AD  חיבור צלעות וגם צלעות נגדיות מקבילית שוות זו לזו.
  6. CF = AD / 3   (נציב את משוואה 6 במשוואה 4).
  7. 3BF / AD = AF / FE
  8. AD = 3BF * FE / AF

תרגיל 7

במקבילית אורך הצלע CD = 5 ואורך הגובה אל הצלע AE = 8.
AF הוא הגובה לצלע BC.
שטח משולש AFB הוא 5 סמ"ר.

  1. חשבו את אורך הגובה AF.
  2. חשבו את אורך הצלע השנייה במקבילית.

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב א: נוכיח את הדמיון DEA ∼ BFA

  1. D = ∠ B∠   זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. DEA = ∠BFA = 90∠  נתון
  3. DEA ∼ BFA משולשים דומים על פי ז.ז.

שלב ב: נבנה שתי משוואות ונפתור אותן
נבנה משוואה בעזרת יחס הדמיון.
המשוואה שלנו צריכה לכלול את הצלעות שאנו יודעים את גודלם AE, ED ואת הצלעות המתאימות להן.
המשוואה היא:

8FB = 5AF
זו המשוואה הראשונה שלנו.

נבנה משוואה שנייה בעזרת המידע ששטח המשולש הוא 5.
SAFB = 0.5AF * FB = 5
AF * FB = 10
AF = 10 / FB
זו המשוואה השנייה שלנו.

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:

8FB² = 50  / : 8
FB² = 6.25
FB = 2.5

עלינו למצוא את הגובה AF. נשתמש במשוואה הראשונה שלנו ונקבל:
5AF = 8FB
5AF = 8 * 2.5 = 20  / : 5
AF = 4
תשובה: אורך הגובה AF הוא 4 סנטימטר.

סעיף ב: מציאת אורך צלע המקבילית
יש שתי דרכים לחשב את שטח המקבילית.
S = AE*DC = 8 * 5 = 40
S = AF * BC = 4BC
מכך נקבל:
4BC = 40  /  4
BC = 10
תשובה: אורך הצלע השנייה של המקבילית הוא 10.

תרגיל 8

בטרפז ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי AC = 5AO.

  1. הוכיחו את הדמיון AOD ∼ COB ומצאו את יחס הדמיון.
  2. מצאו את יחס השטחים AOD : AOB
  3. ידוע כי שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר. מצאו את שטח הטרפז כולו.

פתרון
סעיף א: הוכחת דמיון משולשים
OAD = ∠OCB.    ∠ODA = ∠OBC
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
AOD ∼ COB  דמיון משולשים על פי ז.ז

מציאת יחס הדמיון
מציאת יחס הדמיון מתבססת על נתון AC = 5AO.
נגדיר: AO = X
הצלע המתאימה ל AO בדמיון המשולשים היא CO. ננסה למצוא את CO.
לכן AC = 5X

CO = AC – AO = 5x – x = 4x
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:

4

סעיף ב:  יחס השטחים AOD : AOB
נשים לב שלשני המשולשים יש גובה משותף

SAOD = 0.5AE * OD
SAOB = 0.5AE * OB

הצלעות OD, OB הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים שיחס הדמיון שלהם הוא 4.
לכן
OB = 4OD.

נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:
SAOB = 4 * 0.5AE * OD

לכן היחס בין השטחים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים AOD : AOB הוא 4 : 1.

סעיף ג: מציאת שטח הטרפז כולו
ניתן להראות בדרך שעשנו בסעיף ב כי שטח משולש DOC גדול פי 4 משטח משולש AOD.
לכן אם שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר אז:
SAOB = SAOD = 8 * 4 = 32

כמו כן יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

16SAOD = SBOC
SBOC = 16 * 8 = 128

שטח הטרפז שווה לסכום ארבעת המשולשים:
SABCD = 128 + 32 + 32 + 8 = 200

תרגיל 9

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך שמשולש EFC הוא משולש שווה צלעות.
ידוע כי שטח משולש EFC הוא (1/8) משטח המקבילית.
א. מצאו את היחס בין שטח משולש ABC לשטח משולש ADE.
ב. אם שטח משולש EFC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטח משולש ABC?
(רמז: יש להיעזר בדמיון משולשים, אך לא של המשולשים המוזכרים בסעיף זה).

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון מאחורי פתרון סעיף א:
1.למקבילית ולמשולש EFC יש גובה משותף (EH). לכן BF = 4FC (שרטוט של הגובה המשותף בהמשך).
2. DE = 4FC,    BC =5FC   לכן יחס השטחים בין המשולשים הדומים ADE ∼ ABC הוא 9 : 8.

פתרון

הוספת גובה לשרטוט

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC

  1. A∠ – זווית משותפת.
    B=∠ADE∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
    ΔADE ∼ ΔABC על פי ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון

נעביר גובה EG  – זה גובה משותף למקבילית DEFB ולמשולש EFC.
שטח המקבילית הוא:
EF*BF=8S
(משוואה ראשונה)
שטח משולש EFC הוא
0.5EF * FC  = S
(משוואה שנייה).

נכפיל את המשוואה השנייה פי 8 על מנת שנקבל שתי משוואות שוות.
4EF * FC = 8S
נשווה את שתי המשוואות
4EF* FC = EF * BF
4FC = BF

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא את היחס בין DE ל BC.

  1. ננגדיר FC=X.
    BC = FC+BF = 4X+X=5X
  2. DE=BF=4X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. DE ו BC הן צלעות דומות במשולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא
    BC/DE=5X/4X=5/4
    יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש ADE הוא 5:4 לכן היחס בין השטחים הוא 25:16.

סעיף ב
הרעיון מאחורי פתרון:
יש את דמיון המשולשים EFC ∼ ABC ובעזרתו ניתן לפתור את התרגיל.
הרבה לא שמים לב לדמיון משולשים מהסוג זה.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

פתרון מלא

שלב א: נוכיח את דמיון המשולשים

  1. CFE = ∠ B∠ זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. C = ∠C∠
  3. EFC ∼ ABC  משולשים דומים על פי ז.ז

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים ונפתור

בסעיף א מצאנו: DE = 4FC,    BC = 5FC
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
BC : FC = 4FC : FC = 1

לכן יחס השטחים בין המשולשים הוא 4² = 16.

SABC= 16 * 10 = 160
תשובה: שטח משולש ABC הוא 160 סמ"ר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות ? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.