משולש שווה שוקיים

בדף זה 6 חלקים:

  1. מונחים ותכונות במשולש שווה שוקיים.
  2. זוויות במשולש שווה שוקיים.
  3. איך מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים בעזרת זוויות.
  4. איך מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים בעזרת תיכון / גובה / חוצה זווית.
  5. חפיפת משולשים ומשולש שווה שוקיים.
  6. תרגילים.

בדף מתמטיקה לכיתה ח נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

1.מונחים ותכונות במשולש שווה שוקיים

  • שוקיים – שתי הצלעות השוות.
  • בסיס – הצלע השלישית.
  • זוויות הבסיס – שתי הזוויות שהבסיס יוצר עם השוקיים.
  • זוויות הראש – הזווית שנוצרת על ידי שתי השוקיים.

מונחים במשולש שווה שוקיים

תכונות משולש שווה שוקיים

  1. השוקיים שוות זו לזו.
  2. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. התיכון הגובה וחוצה זווית לבסיס המשולש מתלכדים.

תכונות משולש שווה שוקיים

דוגמה לשאלה 

משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים את התיכון AD.
DC = 7.
CAD = 25.
חשבו את:

  1. צלע BD
  2. זווית BAD
  3. זווית ADB
    (החלקים המסומנים באדום בשרטוט).

פתרון

מציאת BD
מכוון ש AD  הוא תיכון אז:
BD = CD = 7

מציאת BAD
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא חוצה זווית ולכן:
BAD = DAC = 25

מציאת ADB
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא גובה ולכן:
ADB = 90

2.זוויות במשולש שווה שוקיים

אם יודעים זווית אחת במשולש שווה שוקיים ניתן לדעת את כל השלושה.
עושים זאת בעזרת שתי תכונות:

  1. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  2. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

הטכניקה של השלמת זוויות היא טכניקה מאוד מאוד חשובה ומשתמשים בה הרבה הרבה פעמים בכול סוגי המשולשים והמרובעים.
לכן אני ממליץ לכם להשקיע מאמץ יתר על מנת להבין את מה שנלמד בדף זה.

דוגמה 1 (זווית הבסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הבסיס הוא 70 מעלות.
השלימו את גודל שאר זוויות המשולש. נמקו כל גודל.

פתרון
מציאת זווית B
זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן:
B = C = 70

מציאת זווית A
זווית A משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות. לכן:
A = 180 – 70 – 70
A = 180 – 140 = 40

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

דוגמה 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
60 = 120 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
30 = 2 : 60
תשובה: B = C = 30.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים על ידי מציאת כל אחת התכונות שפורטו למעלה:

  1. מוכיחים שהשוקיים שוות.
  2. מוכחים שזוויות הבסיס שוות.
  3. מוכיחים שהתיכון / גובה / חוצה זווית שניים מתוך שלושת אלו הם ישר אחד.

בחלק זה נתעכב על חלק מדרכי המחשבה להוכיח כי משולש הוא שווה שוקיים

3.הוכחת משולש שווה שוקיים בעזרת זוויות

כאשר נוכיח בעזרת זוויות המטרה שלנו תהיה להראות שיש במשולש שתי זוויות שוות.

דוגמה 1
הוכיחו בעזרת שוויון זוויות כי המשולש הבא הוא משולש שווה שוקיים  (AB = AC)

פתרון
המטרה שלנו היא להוכיח כי
B = C
לכן נמצא את הגודל של כל אחת מהזוויות הללו.

זווית C
במשולש ADC זווית C משלימה את זוויות המשולש ל 180 מעלות ולכן:
C = 180 – 110 – 20
C = 180 – 130 = 50
C  = 50

זווית B
ADB = 180 – 110 = 70
במשולש ADB אנו יודעים את הזוויות:
ADB  = 70
DAB = 60
זווית B משלימה את שתי הזוויות הללו ל 180 מעלות.
לכן:
B = 180 – 70 – 60
B = 180 – 130 = 50
B  = 50

מצאנו כי:
B = C = 50
לכן משולש ABC הוא שווה שוקיים AB  =AC.

4.הוכחה בעזרת התלכדות של גובה / תיכון / חוצה זווית

אם במשולש שניים מתוך שלושת התכונות גובה / תיכון / חוצה זווית מתלכדות לישר אחד אז המשולש שווה שוקיים.

בחלק זה נראה כיצד תכונה / משפט זה עוזר לנו להוכיח שמשולש הוא שווה שוקיים כאשר ידוע כבר משולש שווה שוקיים אחר.

דוגמה 1
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (השוקיים השוות הן: AB = AC).
AD הוא הגובה לבסיס.
על הגובה AD נמצאת הנקודה O שממנה מעבירים את הישרים OB, OC הוכיחו כי משולש OBC הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון
BD = CD  כי AD הוא גובה ותיכון במשולש ABC.

עכשיו נסתכל על הישר OD במשולש OBC.
ישר זה הוא גובה ותיכון לצלע BC כי:
BD = CD
ODC = 90

ומכוון ש OD הוא גובה ותיכון במשולש OBC משולש OBC הוא משולש שווה שוקיים.

דוגמה 2
על אותו עיקרון הנקודה O יכולה להיות מחוץ למשולש ABC על ההמשך של הגובה AD.
בצורה הזו:

גם כאן משולש OBC הוא משולש שווה שוקיים כי OD הוא תיכון וגובה.

*דוגמה 3
יכולות להיות שאלות הפוכות כמו זו:
משולש ABC ומשולש ADE הם משולשים שווה שוקיים.
במשולש ABC מעבירים את התיכון AO החותך את הצלע DE בנקודה F.
הוכיחו כי AF הוא תיכון לצלע DE.

פתרון
ההיגיון מאחורי ההוכחה
מבקשים להוכיח ש AF הוא תיכון.
מכוון שזה תיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים אם נוכיח ש AF הוא אחד משלושת הדברים הללו:
תיכון / חוצה זווית / גובה.
אז AF הוא תיכון לצלע DE והוכחנו את מה שרצינו.

הוכחה

  1. AO הוא חוצה זווית A כי במשולש שווה שוקיים ABC התיכון הוא גם חוצה זווית.
  2. במשולש ADE הישר AF הוא חוצה זווית A (נובע מ 1).
  3. AF הוא גם תיכון, כי במשולש שווה שוקיים ADE חוצה זווית הראש הוא גם תיכון.

5. חפיפת משולשים

אתם תתקלו בתרגילי חפיפה הקשורים לתכונות משולש שווה שוקיים.
בדף זה ניתן דוגמה אחת ובקישור יש דוגמאות נוספות.

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

  1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
  2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
  3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים

פתרון

נוכיח ACD ≅ ABD

  1. AB=AC נתון.
  2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
  3. AD צלע משותפת.
  4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

  1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
  3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

6.תרגילים עם פתרונות מלאים

תרגילים 1-2: מציאת זוויות במשולש שווה שוקיים

  1. זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים שווה ל 20. מצאו את זווית הראש.
  2. זווית הראש במשולש שווה שוקיים שווה ל 40. מצאו את שאר זוויות המשולש.

פתרון תרגיל 1
סכום זוויות הבסיס הוא 40=20*2.
זווית הראש משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות, לכן גודלה:
140=180-40.
תשובה: גודל זווית הראש הוא 140 מעלות.

פתרון תרגיל 2
סכום זוויות הבסיס הוא: 140= 180-40.
זוויות הבסיס שוות  זו לזו.
לכן הגודל של זווית בסיס אחת הוא:
70=140:2.
תשובה: גודל זוויות הבסיס הוא 70 מעלות.

פתרון וידאו של תרגילים 1-2.


תרגילים 3-4

3.זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים גדולה פי 4 מזווית הראש. מצאו את זוויות המשולש.
4.זווית הראש גדולה ב 90 מעלות מזווית הבסיס. מצאו את זוויות המשולש.

שרטוט תרגילים 3 ו 4 במשולש שווה שוקיים

פתרון תרגיל 3
נגדיר:
x – זווית הראש במעלות.
4x – זווית הבסיס במעלות.
x+4x+4x=9x=180 – סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
x=20.
4x=80.
תשובה: זווית הראש 20 מעלות, זוויות הבסיס 80 מעלות.

פתרון תרגיל 4
נגדיר:
x – זווית הבסיס במעלות.
x+90 – זווית הראש במעלות.
x+x+x+90=3x+90=180 – סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
3x+90=180  /-90
3x=90 /:3
x=30
x+90 = 120.
תשובה: זוויות הבסיס שוות 30 מעלות, זווית הראש שווה 120 מעלות.

פתרון תרגיל 4 בוידאו:

תרגילים 5-6: הגדרת זוויות המשולש בעזרת משתנה.
5.במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס היא x. הביעו באמצעות x את גודל זוויות הראש.
6.במשולש שווה שוקיים זווית הראש גודלה x הגדירו באמצעות x את גודל זוויות הבסיס.

תרגיל 5 משמאל, תרגיל 6 מימין

תרגיל 5 משמאל, תרגיל 6 מימין

פתרון תרגיל 5
C = ∠ B = x  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
B + C = 2x
זווית A משלימה את זוויות B,C ל 180 מעלות. ולכן:
A + B + C = 180
A + 2X = 180
A = 180 – 2X

פתרון תרגיל 6
זוויות E, F משלימות את זווית D ל 180 מעלות.
לכן:
E + F = 180 – x
מכוון ש E = F כל אחת מיהן גודלה חצי מהסכום.
לכן:

תרגיל 7: נכון או לא נכון

  1. זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים יכולה להיות 90 מעלות.
  2. אם בשני משולשים שווי שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו וגם זוויות הראש שוות אז המשולשים חופפים.
  3. אם בשני משולשים שווי שוקיים הבסיס שווה וגם שוק אחת שווה אז המשולשים חופפים.

פתרונות

  1. לא נכון. זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים חייבות להיות חדות. אם זווית הבסיס שוות 90 מעלות על סכום שתי זוויות הבסיס הוא 180 מעלות. וכך לא נותר "מקום" לזווית שלישית במשולש.
  2. לא נכון. אין משפט חפיפה המתבסס על זוויות בלבד.
  3. נכון. אם שוק ובסיס שווים זה אומר שגם השוק השנייה שווה והמשולשים חופפים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.

תרגיל 8: הוכחה שמשולש שווה שוקיים

משולש ΔABC הוא שווה שוקיים. AB=AC.
AD⊥BC.
O היא נקודה כלשהי על AD.
הוכיחו כי המשולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים

פתרון

  1. OD ⊥ BC נתון.
  2. BD=DC – במשולש שווה שוקיים ABC הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
  3. במשולש BOC הישר OD הוא גובה ותיכון, ולכן משולש BOC הוא שווה שוקיים (אם במשולש הגובה והתיכון מתלכדים אז המשולש שווה שוקיים).

תרגיל 9: הוכחה כי חוצי הזווית אל השוקיים שווים זה לזה

משולש ΔABC הוא שווה שוקיים AB=AC.
מהקודקודים B ו C מעבירים חוצי זווית BD ו CE אל השוקיים.
א. הוכיחו כי BD=CE.
ב. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ג. הוכיחו כי AEC=∠ADB∠

משולש שווה שוקיים שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר: B=∠C=x∠
  2. DBC=0.5X∠ – נתון BD הוא חוצה זווית.
  3. CEB=0.5X∠ – נתון CE הוא חוצה זווית.
  4. BC – צלע משותפת.
  5. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
  6. BD=CE – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

סעיף ב.

  1. DBC=∠ECB∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3 בחלק הקודם (ואלו גם זוויות מתאימות בין משולשים חופפים).
  2. ΔBOC הוא שווה שוקיים – משולש שבו 2 זוויות שוות הוא שווה שוקיים.

סעיף ג.

  1. CEB=∠BDC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. נגדיר CEB=∠BDC∠=x.
  3. AEC=180-X∠ – סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות.
  4. ADB=180-X∠
  5. ADB=∠AEC∠ – נובע מסעיפים 3 ו 4.

תרגיל 10

משולש שווה שוקיים ABC שהצלעות השוות שלו הן BC=BA.
הורידו גובה לבסיס BD. והוציאו חוצה זוויות BE לזווית ABD∠.
נתון:
AC=10 ס"מ.
AE=4 ס"מ.
A=500∠ מעלות

חשבו:

  1. את זווית BEA.
  2. את הקטע ED.

נתוני התרגיל בשרטוט

פתרון

  1. ABD=180-90-50=40∠   – משלימה ל- 180 מעלות במשולש ABD.
  2. ABE=40:2=20∠  – נתון BE חוצה זוויות.
  3. BEA=180-50-20=110∠ – משלימה ל- 180 מעלות במשולש BEA.

חלק שני

  1. AD=AC:2=10:2=5  – נתון BD הוא גובה שהוא גם תיכון לצלע AC.
  2. DE=AD-AE=5-4=1 ס"מ – חיסור צלעות.

תרגיל 11: משולש שווה שוקיים וקווים מקבילים

במשולש שווה שוקיים ΔABC השוקיים השוות הן AB=AC.
C=50∠ מעלות.
מעבירים קו AE קח ש AE ΙΙ BC.
הנקודה D היא המשכה של הצלע AC.
חשבו את הזוויות: BAE, ∠EAD, ∠BAC∠.

שרטוט התרגיל, משולש שווה שוקיים וקווים מקבילים

פתרון

  1. CBA=50∠ – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים ABC.
  2. BAC = 180-100=80∠ – סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  3. DAE=∠C=50∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  4. BAE=180-80-50=50∠  – סכום זוויות צמודות על ישר AD הוא 180 מעלות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 thoughts on “משולש שווה שוקיים

        1. לומדים מתמטיקה מאת

          EB = CD שניהם חצאים של צלעות שוות AB= AC
          B= C זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
          BC צלע משותפת.
          צ.ז.צ

  1. נטע

    ואוווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווו!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

    עזר לי נוראאאאא!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    תודה תודה תודה!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום נריה
      בתרגיל 6 ידועה כי זווית C שווה 50.
      כמו שראינו בתרגילים הקודמים, אם יודעים זווית אחת במשולש שווה שוקיים אז יודעים את כל הזוויות.
      לכן אתה יכול לדעת את זוויות A שבמשולש.

      בנוסף הישרים AE ו- BC מקבילים.
      לכן הזוויות הללו שוות:
      DAE=∠C=50∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.

      את הזוויות האחרונה מחשבים בעזרת התכונה שזוויות צמודות שוות ל- 180 מעלות:
      BAE=180-80-50=50∠
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.