איך מוכיחים שמשולש הוא משולש שווה שוקיים

על מנת להוכיח שמשולש הוא משולש שווה שוקיים ניתן להישען על אחד מבין 3 משפטים:

  1. אם במשולש השוקיים שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.
  2. אם במשולש שתי זוויות שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.
  3. אם המשולש התיכון הוא גם גובה / חוצה זווית אז המשולש הוא שווה שוקיים.

מצורפים תרגילים להוכחה שמשולש הוא משולש שווה שוקיים. תרגילים נוספים (וקשים יותר) תוכלו למצוא בדף משולש שווה שוקיים.

תרגילים

תרגיל 1

הוכיחו את המשפט: אם במשולש התיכון לצלע הוא גם הגובה אל הצלע אז המשולש הוא שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, הוכחה שהמשולש שווה שוקיים

פתרון

  1. BD=CD – נתון AD הוא תיכון.
  2. BDA=∠CDA=90∠ – נתון AD הוא גובה.
  3. AD – צלע משותפת.
  4. ΔBDA≅CDA – על פי צ.ז.צ.
  5. BA=CA – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. (מש"ל).

תרגיל 2: הוכחת משולש שווה שוקיים על פי זוויות

האם המשולש שבשרטוט הוא שווה שוקיים (האם AB=AC)?

הוכחת משולש שווה שוקיים

פתרון

  1. C = 180-80-40=60∠ סכום זוויות במשולש ACD הוא 180.
  2. C ≠ ∠B∠  ולכן AC≠AB.

תרגיל 2: משולש שווה שוקיים וקווים מקבילים

במשולש ΔABC מתקיים B=∠C∠. מעבירים קו מקביל ל BC הפוגש את המשיכי צלעות המשולש בנקודות D ו E.
הוכיחו כי ΔADE הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, קווים מקבילים ומשולש שווה שוקיים

פתרון

  1. נגדיר B=∠C=x∠
  2. D=∠B=X∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  3. E=∠C=X∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  4. E=∠D∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3.
  5. ΔADE הוא משולש שווה שוקיים – משולש שיש בו שתי זוויות זוות הוא משולש שווה שוקיים.

תרגיל 3: גבהים לשוקיים

במשולש ΔABC מעבירים גבהים BD לצלע AC ו CE לצלע AB.
BD=CE.
הוכיחו כי משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, גבהים במשולש שווה שוקיים

פתרון
נוכיח זאת על ידי חפיפת משולשים.

  1. BDC=∠CEB=90∠ – נתון כי BD ו CE הם גבהים.
  2. BD=CE – נתון.
  3. BC – צלע משותפת.
  4. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה רביעי (שתי צלעות והזוויות מול הגדולה מבניהן).
  5. B=∠C∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים – אם במשולש שתי זוויות זוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.

תרגיל 3: טרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה O.
א. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ב. הוכיחו כי משולש ΔAOD הוא שווה שוקיים.
הערה: האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה, וגם זוויות הבסיס שוות זו לזו.

שרטוט התרגיל, הוכחה שאלכסוני הטרפז יוצרים שני משולשים שווי שוקיים

פתרון

  1. AB=DC – השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. B=∠C∠ – זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. BC – צלע משותפת.
  4. ΔABC≅ΔDCB – על פי משפט חפיפה צ.ז.צ.
  5. ACB=∠DBC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. ΔAOD הוא משולש שווה שוקיים – משולש שבו זוג זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים (מש"ל).

תרגיל 4

משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים AB=AC.
הנקודות D ו E נמצאות על הישר BC.
BD=CE=4 ס"מ.
AF ⊥ DE
הוכיחו כי משולש ΔADE הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים

פתרון

  1. נוריד תיכון וגובה AF לצלע BC.
  2. BF=CF – בגלל ש AF הוא תיכון ל BC.
  3. DF=BF+4  – על פי הנתונים.
  4. EF=CF+4 – על פי הנתונים.
  5. DF=EF – כלל החיבור. נובע מסעיפים 2,3,4.
  6. AF הוא תיכון לצלע DE – נובע מסעיף 5.
    AF הוא גם גובה ל DE – משום שהוא גובה ל BC.
  7. משולש ΔADE הוא משולש שווה שוקיים – אם ישר הוא גובה ותיכון במשולש אז המשולש הוא שווה שוקיים.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.