איך מוכיחים שמשולש הוא משולש שווה שוקיים

על מנת להוכיח שמשולש הוא משולש שווה שוקיים ניתן להישען על אחד מבין 3 משפטים:

  1. אם במשולש השוקיים שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.
  2. אם במשולש שתי זוויות שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.
  3. אם המשולש התיכון הוא גם גובה / חוצה זווית אז המשולש הוא שווה שוקיים.

מצורפים תרגילים להוכחה שמשולש הוא משולש שווה שוקיים. תרגילים נוספים (וקשים יותר) תוכלו למצוא בדף משולש שווה שוקיים.

תרגילים

תרגיל 1

הוכיחו את המשפט: אם במשולש התיכון לצלע הוא גם הגובה אל הצלע אז המשולש הוא שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, הוכחה שהמשולש שווה שוקיים

פתרון

  1. BD=CD – נתון AD הוא תיכון.
  2. BDA=∠CDA=90∠ – נתון AD הוא גובה.
  3. AD – צלע משותפת למשולשים ADB ו ADC.
  4. ΔBDA≅CDA – חפיפת משולשים על פי צ.ז.צ.
  5. BA=CA – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. (לכן המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים)

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 5 »

תרגיל 2: הוכחת משולש שווה שוקיים על פי זוויות

האם המשולש שבשרטוט הוא שווה שוקיים?

הוכחת משולש שווה שוקיים

פתרון
על מנת לדעת האם המשולש שווה שוקיים נמצא את שלושת זוויות המשולש ונראה אם יש שתי זוויות שוות.
אם יש שתי זוויות שוות המשולש שווה שוקיים.
אם אין שתי זוויות שוות המשולש הוא לא שווה שוקיים.

שלב 1: מציאת זווית C

  1. C = 180-80-40=60∠
    סכום זוויות במשולש ACD הוא 180.

שלב 2: מציאת זווית A

  1. BDA = 180 – 80 = 100∠  סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  2. DAC = 180 – 50 – 100 = 30∠  סכום זוויות במשולש ADC הוא 180 מעלות
  3. A = 30 + 40 = 70∠

שלב 3: השוואה בין שלושת זוויות משולש ABC

A = 70,  ∠C = 60,   ∠B = 50∠
שלושת הזוויות שונות זו מזו ולכן אין במשולש צלעות שוות.
המשולש הוא לא משולש שווה שוקיים.

פתרון התרגיל בעזרת שקופיות

« 1 של 5 »

תרגיל 3: משולש שווה שוקיים וקווים מקבילים

במשולש ΔABC מתקיים B=∠C∠.
מעבירים קו מקביל ל BC הפוגש את המשיכי צלעות המשולש בנקודות D ו E.
הוכיחו כי ΔADE הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, קווים מקבילים ומשולש שווה שוקיים

פתרון

  1. נגדיר B=∠C=x∠
  2. D=∠B=X∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  3. E=∠C=X∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  4. E=∠D∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3.
  5. ΔADE הוא משולש שווה שוקיים – משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 5 »

תרגיל 4: גבהים לשוקיים

במשולש ΔABC מעבירים גובה BD לצלע AC וגובה CE לצלע AB.
BD=CE.
הוכיחו כי משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, גבהים במשולש שווה שוקיים

פתרון
נוכיח את חפיפת המשולשים ΔBDC≅ΔCEB.
אם החפיפה הזו נכונה אז B=∠C∠.
והמשולש הגדול הוא משולש שווה שוקיים.

הוכחה:

  1. BDC=∠CEB=90∠ – נתון כי BD ו CE הם גבהים.
  2. BD=CE – נתון.
  3. BC – צלע משותפת.
  4. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה רביעי (שתי צלעות והזוויות שמול הצלע הגדולה מבניהן).
  5. B=∠C∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים – אם במשולש שתי זוויות שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 10 »

תרגיל 5: טרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה O.
א. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ב. הוכיחו כי משולש ΔAOD הוא שווה שוקיים.
הערה: האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה, וגם זוויות הבסיס שוות זו לזו.

שרטוט התרגיל, הוכחה שאלכסוני הטרפז יוצרים שני משולשים שווי שוקיים

פתרון

הוכחה שמשולש BOC הוא משולש שווה שוקיים

  1. AB=DC – השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. B=∠C∠ – זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. BC – צלע משותפת.
  4. ΔABC≅ΔDCB – על פי משפט חפיפה צ.ז.צ.
  5. ACB=∠DBC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. ΔBOC הוא משולש שווה שוקיים – משולש שבו זוג זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים (מש"ל).

הוכחה שמשולש AOD הוא משולש שווה שוקיים

  1. OAD = ∠ ACB∠  זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. DBC = ∠ODA∠  זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3.  OAD = ∠ ODA∠  נובע מ 1,2 וגם משורה 5 בחלק הקודם.
  4. ΔAOD הוא משולש שווה שוקיים – משולש שבו זוג זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים (מש"ל).

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 13 »

תרגיל 6

משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים AB=AC.
הנקודות D ו E נמצאות על הישר BC.
BD=CE=4 ס"מ.
AF ⊥ DE
הוכיחו כי משולש ΔADE הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל, הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים

פתרון

שלב 1: נוכיח כי DF=EF

  1. BF=CF – בגלל ש AF הוא תיכון ל BC.
  2. DF=BF+4  – על פי הנתונים.
  3. EF=CF+4 – על פי הנתונים.
  4. DF=EF – כלל החיבור. נובע מסעיפים 2,3,4.

שלב 2: נוכיח שמשולש ADE  הוא משולש שווה שוקיים.

  1. AF הוא תיכון לצלע DE – נובע מסעיף 4.
    AF הוא גם גובה ל DE – משום שהוא גובה ל BC.
  2. משולש ΔADE הוא משולש שווה שוקיים – אם ישר הוא גובה ותיכון במשולש אז המשולש הוא שווה שוקיים.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 9 »

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.