משולשים חופפים ומשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים יש:

  • שתי צלעות שוות
  • שתי זוויות שוות.

ובנוסף: התיכון, חוצה הזווית והגובה לבסיס הם ישר אחד.

בגלל כל השוויונות הללו יש הרבה שאלות המשלבות בין חפיפת משולשים למשולש שווה שוקיים.

בדף זה נדבר על שתי סוגי שאלות:

  1. שאלות שבהם מוכיחים את תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים.
  2. שאלות שבהם מעבירים שני גבהים / חוצה זווית / תיכונים אל השוקיים של המשולש וכך נוצרים משולשים חופפים.

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

  1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
  2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
  3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים

פתרון

נוכיח ACD ≅ ABD

  1. AB=AC נתון.
  2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
  3. AD צלע משותפת.
  4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

  1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
  3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

תרגיל 2 (תרגיל הפוך)
במשולש ABC מעבירים את הישר AD ונתון שהוא חוצה זווית וגם גובה.
BAD = CAD
BDA = CDA = 90

הוכיחו כי:

  1. AB = AC (השוקיים שוות)
  2. B = C (זוויות הבסיס שוות)
  3. BD = CD (חוצה הזווית הוא גם תיכון).

פתרון

  1. BAD = CAD  (זווית שווה)
  2. BDA = CDA = 90  (זווית שווה).
  3. AD צלע משותפת.
  4. ADB ≅ ADC  על פי ז.צ.ז

AB = AC צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

B = C זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

BD  =CD  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

חוצה זווית / גבהים / תיכונים המגיעים אל השוקיים

במשולש שווה שוקיים כאשר מעבירים שני חוצה זווית / גבהים / תיכון אל השוקיים נוצרים שני משולשים חופפים למטה ודלתון למעלה.

תרגיל 1
משולש ΔABC הוא שווה שוקיים AB=AC.
מהקודקודים B ו C מעבירים חוצי זווית BD ו CE אל השוקיים.

א. הוכיחו כי BD=CE.
ב. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ג. הוכיחו כי AEC=∠ADB∠

משולש שווה שוקיים שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר: B=∠C=x∠
  2. DBC=0.5X∠ – נתון BD הוא חוצה זווית.
  3. CEB=0.5X∠ – נתון CE הוא חוצה זווית.
  4. BC – צלע משותפת.
  5. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
  6. BD=CE – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

סעיף ב.

  1. DBC=∠ECB∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3 בחלק הקודם (ואלו גם זוויות מתאימות בין משולשים חופפים).
  2. ΔBOC הוא שווה שוקיים – משולש שבו 2 זוויות שוות הוא שווה שוקיים.

סעיף ג.

  1. CEB=∠BDC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. נגדיר CEB=∠BDC∠=x.
  3. AEC=180-X∠ – סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות.
  4. ADB=180-X∠
  5. ADB=∠AEC∠ – נובע מסעיפים 3 ו 4.

תרגיל 2
בצורה דומה אם BD, CE הם גבהים במשולש שווה שוקיים ABC אז ניתן להוכיח כי BEC ≅ CDB

פתרון
B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
ECB = 180 – 90 – B  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).
DBC = 180 – 90 – C  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).

לכן:

  1. ECB = DBC
  2. B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. BC צלע משותפת.
  4. BEC ≅ CDB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז

תרגיל 3 (הוכחת דלתון)
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

שרטוט התרגיל דלתון

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

  1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
  4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
  5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.
    (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

  1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
  3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

עוד באתר:

  1. חפיפת משולשים.
  2. משולש שווה שוקיים.
  3. מתמטיקה לחטיבת הביניים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.