שטח משולש

בדף זה מידע ותרגילים כיצד מחשבים שטח משולש. החלק הראשון של התרגילים מיועד לכיתות ה-ז ואילו החלק השני לכיתה ח.
תרגילים המתאימים לתלמידי 4-5 יחידות בכיתה י נמצאים בדף שטח משולש תרגילים קשים.

1. נוסחת שטח משולש

שטח משולש שווה למכפלת הצלע (a) כפול הגובה אל הצלע (h) לחלק ב 2.

נוסחת שטח משולש

נוסחת שטח משולש

triangle-area-video-7thAperture: undefinedCamera: undefinedCaption: undefinedIso: undefinedCopyright: undefinedOrientation: undefined
« 1 של 3 »
חישוב שטח משולש תרגילים קשים יותר

תרגילים נוספים, בוידאו ובטקסט, בהמשך הקרוב של הדף.

כמה גבהים יש במשולש?

3 גבהים. גובה אחד לכל צלע.

איפה עוברים הגבהים במשולש?

במשולש חד זווית – שלושת הגבהים נמצאים בתוך המשולש.

במשולש חד זווית שלושת הגבהים נמצאים בתוך המשולש

במשולש חד זווית שלושת הגבהים נמצאים בתוך המשולש

במשולש קהה זווית שני הגבהים היוצאים מהזוויות החדות מגיעים אל המשך הצלע שמולם.

במשולש קהה זווית הגבהים שיוצאים מהזוויות החדות מגיעים אל המשך הצלע שמולם

במשולש קהה זווית הגבהים שיוצאים מהזוויות החדות מגיעים אל המשך הצלע שמולם

במשולש ישר זווית הניצבים הם גבהים אחד לשני. מהקודקוד השלישי יוצא גובה נוסף אל היתר.

במשולש ישר זווית זווית הניצבים הם שני גבהים והגובה השלישי מגיע ליתר

במשולש ישר זווית זווית הניצבים הם שני גבהים והגובה השלישי מגיע ליתר

תרגילים

מצורפים 15 תרגילים לחישוב שטח משולש.
תרגילים 1-5 מתאימים לרמת מתחילים (כיתה ה)
תרגילים 6-8 הם תרגילים קשים יותר ומתאימים לתלמידים בכיתה ז או תלמידים מצטיינים בכיתה ה.
תרגילים 9-11 מתאימים לכיתה ז.
תרגילים 12-15 מתאימים לכיתה ח.
תרגילים קשים יותר המבוססים על דמיון משולשים נמצאים בדף דמיון משולשים שטח.
תרגילים המתאימים לתלמידי 4-5 יחידות בכיתה י נמצאים בדף שטח משולש תרגילים קשים.

 

תרגיל 1: שימוש בנוסחה לשטח משולש

במשולש אורך צלע הוא 4 ס"מ ואורך הגובה המגיע אליה הוא 7 ס"מ.
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון

S=(4*7) : 2
14=28:2
תשובה: שטח המשולש הוא 14 סמ"ר.

תרגיל 2: שטח משולש ישר זווית

במשולש ישר זווית אורכי הניצבים הם 3 ו 5 ס"מ. חשבו את שטח המשולש.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

 

פתרון

2 : (3*5)=S
=15:2
7.5
תשובה: שטח המשולש הוא 7.5 סמ"ר.

תרגיל 3: שטח משולש קהה זווית

במשולש קהה זווית ABC נתון כי אורך הגובה AD=3 ס"מ.
אורך הישר CD הוא 10 ס"מ. ו- BD=6 ס"מ.
חשבו את שטח משולש ABC

שרטוט התרגיל

פתרון

התרגיל הזה נועד לוודא שאתם יודעים שבחישוב שטח משולש קהה זווית מתייחסים לאורך הצלע ולא מתייחסים לאורך המשכה של הצלע.
אורך הצלע BC הוא: 10-6=4 ס"מ.
שטח המשולש:
2:(4*3)
6 =12:2.
תשובה שטח המשולש הוא 6 סמ"ר.

תרגיל 4: האם במשולשים הללו ניתן לחשב שטח

על פי הנתונים שבשרטוט האם ניתן לחשב את שטח המשולשים.

שרטוט התרגיל

  1. לא. הגובה שאורכו 6 מגיע אל צלע שאנו לא יודעים את אורכה. על מנת לחשב שטח משולש אנו זקוקים לגובה המגיע לצלע שאנו יודעים את אורכה ולא גובה סתמי במשולש.
  2. לא. במשולש ישר זווית אנו זקוקים לדעת את גודלי שני הניצבים על מנת לחשב את השטח. (אלו ממכם שכבר למדו את משפט פיתגרוס כן יכולים לחשב את שטח המשולש).
  3. לא. הקו האדום אינו גובה ולכן לא ניתן לחשב שטח משולש בעזרתו.

תרגיל 5: נתון שטח משולש מצאו אפשרויות לגובה וצלע

הציעו 2 אפשרויות לצלע וגובה שיצרו משולש ששטחו 6 סמ"ר.

פתרון

על מנת ששטח משולש יהיה 6 מכפלת הגובה בצלע צריכה להיות 12.
עלינו למצוא 2 מספרים שמכפלתם 12.

  1. 3 ו 4.
  2. 6 ו 2.
  3. 12 ו 1.

שרטוט 3 משולשים ששטחם 6 סמר

עוד באתר בנושא משולש ושטחים:

  1. משולש – הדף המרכזי על הצורה.
  2. היקף משולש, היקף מעגל.
  3. שטחים של צורות שונות: שטח טרפז, שטח מקבילית, שטח מלבן, שטח מעוין, שטח מעגל.

תרגיל 6: נתון גודל שטח המשולש וצריך לחשב את גודל הצלע

נתון כי שטח משולש ABC הוא 40 סמ"ר. נתון כי אורך הגובה AD=10 ס"מ. AD הוא הגובה לצלע BC. מצאו את אורך הצלע BC.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

 

פתרון

שטח המשולש הוא 40. לכן מכפלת הגובה בצלע צריכה להיות:
80= 2*40
מכפלת הגובה בצלע היא:
BC*AD=80
BC * 10 = 80
BC =8

תרגיל 7 : חיסור שטחי משולשים

שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.
מקודקוד A מורדים גובה AD לצלע BC.
AD=5 ס"מ.
CD=2 ס"מ.

  1. חשבו את שטח משולש ADC.
  2. חשבו את שטח משולש ADB

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ADC:
=2 : (5*2)
5=10:2
שטח משולש ADC הוא 5 סמ"ר.

שטח המשולש ADC שווה לשטח המשולש הגדול (ABC) פחות שטח המשולש ADC.
15=20-5
תשובה: שטח משולש ADC הוא 15 סמ"ר.

תרגיל 8: שטח משולש ישר זווית ושווה שוקיים

במשולש ישר זווית ΔABC זווית B=90∠ והשוקיים שוות זו לזו AB=BC.
כמו כן  BC=8 ס"מ.
חשבו את שטח משולש ΔABC

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו –  A=∠C∠
  2. כמו כן סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות ולכן A+∠C=90∠
  3. מסעיפים 1 ו 2 נובע כי A=∠C=45∠
  4. ABD=90:2=45∠  – גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם חוצה זווית.
  5. ABD=∠A=45∠ – נובע מ 3 ו 4.
  6. משולש ABD הוא שווה שוקיים AD=AB – בגלל שזווית הבסיס במשולש זה שוות זו לזו.
  7. BD=AD=4 – גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים ABC הוא גם תיכון.
  8. שטח משולש ABC הוא:
    BD * AC :2
    2 :  4*8.
    16=32:2.
    תשובה: שטח משולש ABC הוא 16 ס"מ.

תרגיל 9: זיהוי משולשים בהם ישר יכול לשמש כגובה

במשולש ΔABC נתון כי AD הוא גובה ל BC ואילו AE הוא חוצה זווית BAC∠.
מצאו את כל המשולשים בהם AD יכול לשמש כגובה.

שרטוט התרגיל, גובה במשולש

 

 

פתרון

יש 3 משולשים בהם AD הוא גובה אבל לא צלע:

  1. ΔABC
  2. ΔACE
  3. ΔABE

יש 3 משולשים בהם AD הוא גובה וצלע:

  1. ΔADC
  2. ΔADB
  3. ΔADE

תרגיל 10: הקשר בין שטח משולש לשטח מלבן

נתון מלבן ABCD שרוחבו 4 ס"מ ואורכו 10 ס"מ.
על צלע BC בנו משולש BCE כך שקודקוד E נמצא על צלע AD.
חשבו את שטח משולש BCE.

שרטוט התרגיל

פתרון

הגובה EF שווה לאורך המלבן 10 ס"מ.
שטח משולש BEC הוא:
2 : (10*4)
20=40:2.
תשובה: שטח משולש BEC הוא 20 סמ"ר.

שימו לב לדברים הבאים:

  1. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. ובכול התרגילים מהסוג הזה שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.
  2. זה לא משנה איפה הנקודה E נמצאת על צלע AD.

תרגיל 11: חישוב שטח צורה מורכבת

על מלבן ABCD בנו משולש EBC. מקודקוד E מורידים גובה EF.

שטח מלבן ABCD הוא 32 סמ"ר.
AD=4,  EF=3.

חשבו את שטח המשולש.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון

שטח המלבן הוא מכפלת הצלעות שלו:
S= AD * AB =4AB = 32

נחשב את AB.
AB = 32 : 4 = 8

נחשב את שטח המשולש:
6 = 2 / (4*3) = S
תשובה: שטח המשולש הוא 6 סמ"ר.

 

תרגילים לכיתה ח, כולל משפט פיתגורס ומשתנים

תרגיל 12: משפט פיתגורס

נתון:

AC=5 ס"מ, BC=4 ס"מ. זווית B שווה ל- 90 מעלות.
חשבו את שטח משולש ABC?

שרטוט התרגיל

פתרון

ראשית עלינו למצוא את צלע AB שהיא הגובה ל- BC.
על פי משפט פיתגורס:

AC²=AB² + BC²
5²=AB²+4²
25=16+ AB²
AB²=9
AB=3
S=(3*4) : 2=12:2=6.
תשובה: שטח משולש ABC הוא 6 סמ"ר.

תרגיל 13: יחס ושטח משולש

על מלבן ABCD בנו משולש EBC. מקודקוד E מורידים גובה EF.

AD = 3EF

  1. חשבו את היחס בין שטח המשולש לשטח המלבן.
  2. שטח המלבן והמשולש ביחד הוא 28 סמ"ר. חשבו את שטח המלבן ושטח המשולש.

שרטוט התרגיל, חישוב שטח משולש ומלבן

פתרון

נגדיר AB=Y.
EF= X ולכן AD= 3X.

שטח המלבן:
AD* AB = 3XY.

שטח המשולש:
0.5EF * AB = 0.5XY

תשובה: שטח המלבן גדול פי 6 משטח המשולש ולכן היחס הוא 1:6

חלק שני.
נגדיר שטח המשולש הוא Z ולכן שטח המלבן הוא 6Z.
סכום השטחים הוא 28 סמ"ר ולכן:

Z+ 6Z = 28
7Z = 28 / :7
Z=4

6Z =24 (שטח המלבן).

תשובה: שטח המשולש 4 סמ"ר. שטח המלבן 24 סמ"ר.

 

תרגיל 14: שטח משולש ויחס

במשולש ABC ידוע כי אורך הצלע BC גדול פי 2 מאורך הגובה המגיע אליה.
BC=2AD.
שטח המשולש הוא 16 סמ"ר.

  1. חשבו את אורך הצלע BC.
  2. *אם ידוע כי BD=0.75X מה היחס בין שטחי המשולשים ADB : ADC : ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

נגדיר AD=X.
BC=2X
על פי נוסחת שטח משולש מתקיים
x*2x= 16*2
2x²=32 /:2
x²=16
x=4.
BC=2X=8
תשובה: BC=8 ס"מ.

חלק שני
מכוון שלמשולשים ADB, ADC, ABC יש גובה זהה אז היחס בין השטחים שלהם הוא היחס בין הבסיסים אליהם מגיע הגובה:
BD : CD : BC.
נחשב את אורך שלושת הצלעות הללו.
AD = 8:2=4
נחשב את BD.
BD=0.75*4=3
CD=8-3=5.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:
3:5:8

תרגיל 15: שימוש במשתנה ומשפט פיתגורס למציאת שטח משולש

נתון משולש ABC שבו אורכי הצלעות הם:  AB=5, AC=8, BC=12 ס"מ.
חשבו את הגובה AD ואת שטח המשולש.

שטח משולש ומשפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר BD=X.
  2. במשולש ABD מתקיים על פי משפט פיתגורס.X²+ AD²=5²
    AD²= 25-X²
  3. במשולש ACD מתקיים על פי משפט פיתגורס.
    8² = AD² + (12-x)²
    (AD²=64-(144-24X+X²
    נשתמש במשוואה זו ובמשוואה שקיבלנו למעלה (שתיהן שוות AD²)
    (25-X²=64-(144-24X+X²
    25-X²=64-144+24X-X²
    25-x²=-80+24x-x²
    105=24x
    X=4.375
  4. על פי מה שמצאנו קודם:
    AD²= 25-X²=25-4.3752=25-19.14=5.86
    AD=2.42 ס"מ.

שטח המשולש

על פי הנוסחה לשטח משולש השטח הוא 14.52 סמ"ר

תשובה: שטח המשולש הוא 14.52 סמ"ר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.