שטח משולש

נוסחת שטח משולש

שטח משולש שווה למכפלת הצלע (a) כפול הגובה אל הצלע (h) לחלק ב- 2.

נוסחת שטח משולש

נוסחת שטח משולש

דף זה מיועד לתלמידי בית ספר יסודי.
החלק החשוב בדף הוא 14 תרגילים שילמדו אותכם דברים שונים בנושא שטח משולש.
לאחר מיכן מופיעה הרחבה בנושא יחס ושטח משולש.

עבור תלמידים שאינם בבית הספר היסודי יש את הדפים:

  1. שטח משולש כיתה ז.
  2. שטח משולש כיתה ח – ט.
  3. שטח משולש לתלמידי תיכון.

14 תרגילים לבית ספר יסודי

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים המחשבים שטח משולש במשולש חד זווית, משולש ישר זווית ומשולש קהה זווית.
תרגילים 4-5 הם תרגילי הבנה של נוסחת שטח משולש.
תרגיל 6 הוא על הקשר בין שטח משולש לשטח מלבן.
תרגילים 7-14 הם תרגילים קשים יותר, כל אחד מיהם ידרוש טכניקה אחרת על מנת לפתור אותו. התרגילים הללו מתאימים גם לתלמידי כיתה ז.

אני ממליץ לכם לדעת את דרך הפתרון של כל התרגילים.
בהצלחה

תרגיל 1: שימוש בנוסחה לשטח משולש

במשולש אורך צלע הוא 4 ס"מ ואורך הגובה המגיע אליה הוא 7 ס"מ.
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון

S=(4*7) : 2
14=28:2
תשובה: שטח המשולש הוא 14 סמ"ר.

חישוב שטח משולש חד זווית

תרגיל 2: שטח משולש ישר זווית

במשולש ישר זווית אורכי הניצבים הם 3 ו 5 ס"מ. חשבו את שטח המשולש.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון

2 : (3*5)=S
=15:2
7.5
תשובה: שטח המשולש הוא 7.5 סמ"ר.

כיצד לחשב שטח משולש ישר זווית הסבר ופתרון תרגילים

תרגיל 3: שטח משולש קהה זווית

במשולש קהה זווית ABC נתון כי אורך הגובה AD=3 ס"מ.
אורך הישר CD הוא 10 ס"מ. ו- BD=6 ס"מ.
חשבו את שטח משולש ABC

שרטוט התרגיל

פתרון

התרגיל הזה נועד לוודא שאתם יודעים שבחישוב שטח משולש קהה זווית מתייחסים לאורך הצלע ולא מתייחסים לאורך המשכה של הצלע.
אורך הצלע BC הוא: 10-6=4 ס"מ.
שטח המשולש:
2:(4*3)
6 =12:2.
תשובה שטח המשולש הוא 6 סמ"ר.

חישוב שטח משולש קהה זווית, הסבר ותרגילים

תרגיל 4: נתון שטח משולש מצאו אפשרויות לגובה וצלע

הציעו 2 אפשרויות לצלע וגובה שיצרו משולש ששטחו 6 סמ"ר.

פתרון

על מנת ששטח משולש יהיה 6 מכפלת הגובה בצלע צריכה להיות 12.
עלינו למצוא 2 מספרים שמכפלתם 12.

  1. 3 ו 4.
  2. 6 ו 2.
  3. 12 ו 1.

שרטוט 3 משולשים ששטחם 6 סמר

שטח משולש פתרון תרגיל 4

תרגיל 5: האם במשולשים הללו ניתן לחשב שטח

על פי הנתונים שבשרטוט האם ניתן לחשב את שטח המשולשים.

שרטוט התרגיל

  1. לא. הגובה שאורכו 6 מגיע אל צלע שאנו לא יודעים את אורכה. על מנת לחשב שטח משולש אנו זקוקים לגובה המגיע לצלע שאנו יודעים את אורכה ולא גובה סתמי במשולש.
  2. לא. במשולש ישר זווית אנו זקוקים לדעת את גודלי שני הניצבים על מנת לחשב את השטח. (אלו ממכם שכבר למדו את משפט פיתגרוס כן יכולים לחשב את שטח המשולש).
  3. לא. הקו האדום אינו גובה ולכן לא ניתן לחשב שטח משולש בעזרתו.
שטח משולש פתרון תרגיל מספר 5

תרגיל 6: כמה פעמים המשולש נכנס במלבן

אורך הניצבים של משולש ישר זווית הוא 5 ו – 3 סנטימטר.
אורך צלעות מלבן הוא 5 ו- 12 סנטימטר.
כמה פעמים ניתן להכניס את המשולש בתוך המלבן?

שרטוט התרגיל

פתרון

ניתן להרכיב משני משולשים ישרי זווית מלבן שאורך צלעותיו 3 ו- 5 ס"מ.
מלבן זה נכנס בדיוק ברוחב המלבן (5 סנטימטר) ואורך המלבן (3 סנטימטר) נכנס 4 פעמים באורך המלבן הגדול (12 סנטימטר).
מכוון שכל ריבוע הוא שני משולשים ישרי זווית, אז מספר הפעמים שהמשולש ישר זווית נכנס במלבן הוא:
8 = 2 * 4

שרטוט הפתרון

שטח משולש פתרון תרגיל מספר 6

עוד באתר בנושא משולש ושטחים:

  1. שטח משולש ישר זווית, שטח משולש שווה שוקיים.
  2. משולש – הדף המרכזי על הצורה.
  3. היקף משולש, היקף מעגל.
  4. שטחים של צורות שונות: שטח טרפז, שטח מקבילית, שטח מלבן, שטח מעוין.

תרגיל 7: חישוב שטח של מספר משולשים בשאלה אחת

במשולש ABC העבירו את הגובה AD ונוצרו שלושה משולשים.
על פי הנתונים שבשרטוט חשבו את השטח של שלושת המשולשים

  1.    ABC
  2.    ABD
  3.    ACD

שרטוט התרגיל

פתרון
הפתרון מתבסס על כך שהגובה AD הוא גובה בכל שלושת המשולשים הללו.

חישוב שטח משולש ABC
חישוב שטח משולש

חישוב שטח משולש ABD
חישוב שטח משולש

חישוב שטח משולש ADC.
עלינו למצוא את גודל הצלע DC.
DC = 7 – 1 = 6

חישוב שטח משולש

הערה: על מנת לחשב את שטח משולש ADC היינו יכולים להשתמש בדרך נוספת.
שטח משולש ADC הוא ההפרש של שטח המשולש הגדול (ABC) פחות המשולש הנמצא מצד ימין (ABD)
12 = 2 – 14

שטח משולש פתרון תרגיל מספר 7

תרגיל 8

שטח המשולש ABC הוא 20 סמ"ר.
גודל הצלע אליה מגיע הגובה הוא 8 סנטימטר.
חשבו את אורך הגובה.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח המשולש הוא 20.
לכן הצלע כפול הגובה אליה  40 = 2 * 20.
התרגיל שלנו הוא:
40 = ___ * 8
כאשר הסימון "___" הוא גודל הגובה המגיע אל הצלע.
המספר החסר הוא 5.
40 = 5 * 8
תשובה: אורך הגובה אל הצלע הוא 5 סנטימטר.

שטח משולש פתרון תרגיל מספר 8

תרגיל 9: חישוב שטח משולש בשתי דרכים

במשולש ידועים הגדלים של צלע אחת ושני גבהים.
חשבו את את האורך של הצלע החסרה (מסומנת באדום בשרטוט).

פתרון התרגיל

פתרון

ניתן לחשב את שטח המשולש בשתי דרכים:
s = (10 * 3) : 2
s = (6 * __) :2
כאשר "__" הוא הגודל של הצלע AB החסרה.

נובע מכך ש:
3 * 10 = ___ * 6
30 = ___ * 6
המספר החסר הוא 5.
תשובה: אורך הצלע AB הוא 5 סנטימטר.

שטח משולש פתרון תרגיל מספר 9

תרגיל 10: מהיקף משולש לשטח משולש

היקף משולש ABC הוא 34 סנטימטר.
אורכי צלעות המשולש הן AB = 14,   AC = 12.
אורך הגובה AD אל הצלע BC הוא 9 סנטימטר.
חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

על מנת לחשב את שטח המשולש אנחנו צריכים למצוא את הצלע BC.
ניתן למצוא אותה כי היא הצלע החסרה בהיקף.
BC = 34 – 12 – 14
BC = 34 – 26 = 8

עכשיו אנו יודעים את אורך הצלע (8) והגובה אליה (9) וניתן לחשב את שטח המשולש.
S = (8 * 9) : 2
S = 72 : 2 = 36
תשובה: שטח המשולש 36 סמ"ר.

שטח משולש פתרון תרגיל 10

תרגיל 11: שטח של צורה מורכבת

על משולש ישר זווית שאורך צלעותיו 6,8,10 ס"מ בנו חצי עיגול.
חשבו את ההיקף והשטח של הצורה שהתקבלה.

שטח משולש וצורה מורכבת

פתרון
חישוב ההיקף
המשולש תורם להיקף שתי צלעות.
14 = 8 + 6

המעגל תורם חצי מהיקף המעגל.
קוטר המעגל נמצא על צלע שאורכה 10 סנטימטר.
לכן רדיוס המעגל הוא 5 סנטימטר.
R = 5.
הנוסחה להיקף מעגל היא:
P=2₶R
p = 2 *5 * 3.14 = 31.4
ההיקף של חצי המעגל:
15.7 = 2 : 31.4

ההיקף הכללי של הצורה הוא:
29.7 = 14 + 15.7
תשובה: היקף הצורה הוא 29.7 סנטימטר.

חישוב השטח
השטח הוא שטח המשולש + שטח חצי עיגול
שטח המשולש ישר זווית הוא מכפלת הניצבים לחלק ב- 2:
24 = 2 : (6 * 8)

הנוסחה לשטח עיגול היא:
S=₶r²
s = 3.14 * 5²
S = 3.14 * 25 = 78.5
חצי משטח העיגול הוא:
39.25 = 2 : 78.5

השטח של הצורה הכוללת הוא סכום השטחים:
63.75 = 24 + 39.25
תשובה: שטח הצורה הוא 63.75 סמ"ר.

שטח משולש פתרון תרגיל 11

תרגיל 12: שטח משולש ושטח מלבן

על מלבן ABCD בנו משולש EBC. מקודקוד E מורידים גובה EF.
שטח מלבן ABCD הוא 32 סמ"ר.
AD=4,  EF=3.
חשבו את שטח המשולש.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון
שטח המלבן הוא מכפלת הצלעות שלו:
S= AD * AB =4AB = 32
נחשב את AB.
AB = 32 : 4 = 8

נחשב את שטח המשולש:
12 = 2 / (8*3) = S
תשובה: שטח המשולש הוא 12 סמ"ר.

שטח משולש פתרון תרגיל 12

תרגילים 13-14

תרגילים 13-14 הם חזרה על תרגילים שכבר נלמדו. אם הבנתם והצלחתם לפתור אותם ניתן לדלג.

תרגיל 13: ידוע שטח המשולש חשבו צלע

נתון כי שטח משולש ABC הוא 40 סמ"ר. נתון כי אורך הגובה AD=10 ס"מ. AD הוא הגובה לצלע BC. מצאו את אורך הצלע BC.

חישוב שטח משולש, שרטוט התרגיל

פתרון

נגדיר x אורך הצלע החסרה:
נציב x (אורך צלע) ו- 10 (אורך הגובה) בנוסחה לשטח משולש.

נוסחת שטח משולש

הצבה בנוסחה

5x = 40  / :5
x = 8
תשובה: אורך הצלע הוא 8 סנטימטר.

דרך פתרון שנייה, ללא שימוש במשתנה
שטח המשולש הוא 40. לכן מכפלת הגובה בצלע צריכה להיות:
80= 2*40
מכפלת הגובה בצלע היא:
80 = ___ * 10
כאשר "___" מייצג את גודל הצלע.
המספר החסר הוא 8.
תשובה: אורך גובה המשולש הוא 8 סנטימטר.

תרגיל 14: חיסור שטחי משולשים

שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.
מקודקוד A מורדים גובה AD לצלע BC.
AD=5 ס"מ.
CD=2 ס"מ.

  1. חשבו את שטח משולש ADC.
  2. חשבו את שטח משולש ADB
  3. חשבו את אורך הצלעות BD ו- BC.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ADC:
=2 : (5*2)
5=10:2
שטח משולש ADC הוא 5 סמ"ר.

שטח המשולש ADB שווה לשטח המשולש הגדול (ABC) פחות שטח המשולש ADC.
15=20-5
תשובה: שטח משולש ADB הוא 15 סמ"ר.

חישוב אורכי הצלע BD ו- BC.
שטח משולש ADB הוא 15 סמ"ר.
אורך הגובה הוא 5 סנטימטר.
נציב את הנתונים הללו בנוסחת שטח משולש.
הצבה בנוסחה

2.5BD = 15  / : 2.5
BD = 6

נעבור לצלע BC.
BC = BD + DC = 6 + 2= 8
תשובה: BD = 6,   BC = 8  סנטימטר.

הרחבה: חישוב שטח במשולשים שיש להם צלע ו/ או גובה משותפים

נושא זה אינו חלק מתוכנית הלימוד בבית הספר היסודי אבל לדעתי גם תלמידי בית הספר היסודי יכולים להבין אותו.

שטח משולש מורכב ממכפלה של הצלע כפול הגובה המגיע אליה.

1.לכן אם לשני משולשים יש גובה וצלע שווים אז השטח שלהם שווה.

למשל שלושת המשולשים החסומים במלבן שווים בשטחם.
כי יש להם צלע משותפת שווה (DE).
וגם הגבהים בשלושת המשולשים אל הצלע שווים, כולם שווים לרוחב של המלבן.

השטחים של שלושת המשולשים שווים

השטחים של שלושת המשולשים שווים

2. אם לשני משולשים יש גובה משותף אז הקשר (יחס) בין שטחי המשולשים הוא כמו הקשר שבין הצלעות שאליהם מגיע הגובה.

למשל, אם ידוע שהצלע האדומה גדולה מהצלע הירוקה פי 4 אז גם שטח המשולש הימיני גדול פי 4 משטח המשולש השמאלי. כי לשני המשולשים גובה משותף ושווה.

אם הצלע האדומה גדולה מהצלע הירוקה פי 4 אז גם שטח המשולש הימיני גדול פי 4 משטח המשולש השמאלי.

אם הצלע האדומה גדולה מהצלע הירוקה פי 4 אז גם שטח המשולש הימיני גדול פי 4 משטח המשולש השמאלי.

3. אם למשולשים למשולשים צלע משותפת אבל גובה שונה היחס בין השטחים הוא כמו היחס בין הגבהים

אם הגובה הירוק גדול פי 2 מהגובה האדום אז שטח המשולש הגדול יותר גדול פי 2 משטח המשולש הקטן

אם הגובה הירוק גדול פי 2 מהגובה האדום אז שטח המשולש הגדול יותר גדול פי 2 משטח המשולש הקטן

תרגיל

נתונים משולש ישר זווית ומלבן הצמודים זה לזה כמפורט בשרטוט.
אורך צלע המשולש היא 4 ס"מ, אורך צלע המלבן 3 ס"מ.
לאיזו צורה שטח גדול יותר?
איזה שינויים ניתן לעשות בצלעות שאנו יודעים את גודלם הללו על מנת ששטח המלבן יהיה שווה לשטח המשולש?

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח המלבן גדול יותר.
כי את שטח המשולש אנחנו מחלקים ל- 2 ואילו את שטח המלבן לא.
אם למשל אורך הגובה הוא 2 אז שטח המשולש הוא:
4 = 2 : (2 *4)
ושטח המלבן הוא:
6 = 2 * 3

מה צריך לעשות על מנת שהשטחים יהיו שווים?
צריך שצלע המשולש תהיה גדולה פי 2 מצלע המלבן.
אם צלע המלבן נשארת 3 אז צלע המשולש צריכה להיות 6.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.