טרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים

בטרפז שווה שוקיים שלכסונין מאונכים ניתן להוכיח כי המשולשים BOC,  AOD הם משולשים שווה שוקיים שהזוויות שלהם הן 90,45,45.
ולאחר שעושים את זה ניתן לענות על מגוון שאלות בנושא.

לפני שאתם רואים את ההוכחה כאן אני מציע לכם לנסות להוכיח את הדבר בעצמכם.
והרמז שלכם לביצוע ההוכחה הוא שצריך פעם אחת להוכיח חפיפת משולשים ואז להשתמש בזוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

ההוכחה בקצרה:

  1. ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.
  2. ACB = DBC זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

ההוכחה המלאה:

  1. B = C  זווית בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
  2. AB = DC השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות.
  3. BC צלע משותפת.

ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

מכוון שהמשולשים חופפים:
ACB = DBC  (זוויות מתאימות בין משולשים חופפים)
לכן משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים.
ומכוון שסכום שתי הזוויות הללו הוא 90 אז כל אחת מהזוויות הללו צריכה להיות 45.

לאחר שהוכחנו את זה ניתן גם להוכיח שמשולש AOD הוא 90,45,45 על ידי זוויות מתחלפות.
(או ניתן להוכיח את זה ישירות על ידי חפיפת המשולשים BAD ≅ CAD).

תרגיל לדוגמה

לאחר שמצאנו את זה נוכל לענות על מגוון שאלות, למשל:

הוכיחו כי בטרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים הגובה שווה למחצית סכום הבסיסים.

פתרון
נעביר דרך הנקודה O את הגובה EF לבסיס BC.
מכוון שבסיסי הטרפז מקבילים EF הוא גובה גם לבסיס AD.

אם נסתכל על משולש BFO נראה ש:
BOF = 45
ולכן משולש BOF הוא משולש שווה שוקיים שבו:
BF = OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולש CFO ש:
CF = OF
משני השוויונות הללו אנו מגיעים למסקנה ש:
BC = 2OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולשים העליונים:
AD = 2AE.

לכן
20F + 2AE = BC + AD
(OF + AE = 0.5(BC + AD

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.