הוכחת טרפז

על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז עליכם להוכיח שיש למרובע שתי צלעות מקבילות.

יש בתי ספר המסתפקים בהגדרה זו ואילו אחרים מוסיפים ששתי הצלעות האחרות אינם מקבילות – על מנת לדעת שהמרובע אינו מקבילית ומקבילית. שימו לב לאיזה סוג הוכחה אתם נדרשים.

צלעות מקבילות מוכיחים על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות או זוויות חד צדדיות שסכומם 180 מעלות.

קווים מקבילים וישר החותך אותם

זוויות מתאימות הן זוויות באותו צד של הישר החותך ובאותו גובה של של הישרים המקבילים.
למשל זוויות 1 ו 5 נמצאות שתיהן מצד שמאל לחותך ובחלק העליון של של כל אחד מהישרים המקבילים ולכן אלו זוויות מתאימות.
זוויות 3 ו 7 נמצאות שתיהן מימין לישר החותך ובחלק התחתון של הישרים המקבילים ולכן אלו זוויות מתאימות.
4 ו 8 הן זוויות מתאימות.
3 ו 7 הן זוויות מתאימות.

זווית מתחלפות הן זוויות הנמצאות לא באותו צד ולא באותו הגובה. אם זוויות מתחלפות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
1 ו 7 הן זוויות מתחלפות.
4 ו 6 הן זוויות מתחלפות.
2 ו 8 הן זוויות מתחלפות.
3 ו 5 הן זוויות מתחלפות.

דוגמה פשוטה להוכחת טרפז

במשולש ABC מעבירים את הישר DE.
C = 70,  ∠ AED = 70∠.
הוכיחו כי המרובע BCED הוא טרפז.

פתרון

  1. BC || DE  אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים   (C = ∠AED = 70∠).
  2. הישרים BD ו- CE אינם ישרים מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
  3. הוכחנו כי הצלעות BC,DE מקבילות. והצלעות BD,CE אינן מקבילות. לכן המרובע BCED הוא טרפז.

איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים

מוכיחים שהמרובע הוא טרפז (על ידי מציאת שני קווים מקבילים) ואז צריך להוכיח את אחד מהדברים הבאים:

  1. שהשוקיים שוות.
  2. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות.
  3. שהאלכסונים שווים.

ואלו בדיוק המשפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה:

  1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים מוכיחים שהצורה היא טרפז (על ידי מציאת שני קווים מקבילים) ואז צריך להוכיח את אחד מהדברים הבאים: שהשוקיים שוות. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות. שהאלכסונים שווים.

  • הוכחת מרובעים – כיצד מוכיחים את כל סוגי המרובעים הנלמדים בבית הספר.

הוכחת טרפז תרגילים

לתרגילים 1-3 יש גם פתרון וידאו. הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

קבעו האם המרובעים הבאים הם טרפז / לא טרפז / לא ניתן לדעת.
אם המרובע הוא טרפז נסו לקבוע האם הוא טרפז שווה שוקיים.
התייחסו בתשובתכם רק להאם יש זוג קווים מקבילים (התעלמו לצורך התרגיל מהדרישה לזוג שני שאינו מקביל).

תרגילים בהוכחת טרפז

תרגיל 1
לא ניתן לדעת – בגלל שהזוויות הנתונות לא נמצאות על אותו ישר חותך.

תרגיל 2
טרפז – 110+70=180 – סכום זוויות חד צדדיות הוא 180 מעלות ולכן המרובע הוא טרפז.
המרובע הוא לא טרפז שווה שוקיים כי הזוויות הנמצאות ליד אותו בסיס לא שוות זו לזו (50 לעומת 70).

תרגיל 3
לא טרפז – 130+60=190 – סכום זוויות חד צדדיות שונה מ 180 ולכן הישרים אינם מקבילים.

תרגיל 4
טרפז – 90+90 =180 – סכום זוויות חד צדדיות הוא 180 מעלות ולכן המרובע הוא טרפז.
הטרפז הוא לא טרפז שווה שוקיים כי הזוויות הנמצאות ליד אותו בסיס לא שוות זו לזו (90 לעומת 130).

תרגיל 2

קבעו האם המרובעים הבאים הם טרפז / לא טרפז / לא ניתן לדעת.
התייחסו בתשובתכם רק להאם יש זוג קווים מקבילים (התעלמו לצורך התרגיל מהדרישה לזוג שני שאינו מקביל).

הוכחת טרפז

1. בשרטוט זוג זוויות מתחלפות שגודל אחת מיהן הוא 70 מעלות וגודל השנייה הוא 40 מעלות.
מכוון שהזוויות המתחלפות אינן שוות המרובע אינו טרפז.

2.בשרטוט זוג זוויות מתחלפות שגודל שתיהן הוא 50 מעלות.
מכוון שהזוויות המתחלפות שוות הקווים מקבילים והמרובע הוא טרפז.

תרגיל 3

במרובע ABCD האלכסון BD הוא חוצה זווית D.
AD= AB.
המשולש ABD הוא משולש שווה שוקיים.
הישרים BC ו AD אינם מקבילים.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא טרפז.
רמז: הניחו כי גודל זווית BDC= x∠.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BDC = ∠BDA = x∠  נתון DB חוצה זווית.
  2. ABD = ∠ADB = x∠  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ADB שוות זו לזו.
  3. BDC = ∠ABC∠  נובע מ 1 ו 2.
  4. AB מקביל ל DC. אם זוויות מתחלפות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
  5. הישרים BC ו AD אינם מקבילים. (נתון)
  6. המרובע ABCD הוא טרפז. מרובע הכולל זוג אחד של צלעות מקבילות הוא טרפז.

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע ותרגילים.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע ותרגילים.
  3. טרפז ישר זווית – מידע ותרגילים.
  4. שטח טרפז – מידע ותרגילים.
  5. מקבילית, מלבן, מעויןריבוע – מידע ותרגילים על המרובעים הללו.

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “הוכחת טרפז

  1. אמה

    תודה רבה לך, אמור להיות לי מבחן על נושא משפחת המרובעים בקרוב והאתר שלך הוא האתר היחידי שאני מצליחה באמת להבין בו את החומר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.