טרפז חסום במעגל או טרפז חוסם מעגל

הדבר הידוע והבסיסי ביותר בנושא טרפז חסום במעגל הוא שאם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים.
נוכיח זאת.

תרגיל

מרובע ABCD הוא טרפז החסום במעגל.
הוכיחו: AB =DC.

הוכחה: אם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים

הוכחה: אם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים

הוכחה בוידאו

הוכחה כתובה

  1. נעביר AC בניית עזר.
  2. BCA = ∠CAD∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AB = DC זוויות היקפיות שוות נשענות על מתרים שווים.

התכונה הפחות ידועה היא התכונה ההפוכה;
אם במרובע החסום במעגל יש שתי צלעות נגדיות שוות אז שתי צלעותיו האחרות מקבילות.
נוכיח זאת על ידי הישענות על המשפט "אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים"

תרגיל

מרובע ABCD חסום במעגל. AD = AB.
הוכיחו AD מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

הוכחה

  1. BCA = ∠CAD∠  מול מיתרים שווים במעגל נמצאות צלעות שוות.
  2. AD מקביל ל BC אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.

תרגיל בנושא טרפז חוסם מעגל

טרפז ABCD חוסם מעגל.
האלכסון AC הוא חוצה זווית.
ידוע כי CD = 1.5AB
הצלע AD גדולה מהצלע AB ב 4 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות הטרפז.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון: עלינו להגדיר את הגודל של ארבעת הצלעות בעזרת משתנה אחד.
לאחר מיכן נבנה משוואה בעזרת המשפט "סכום צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום הצלעות השני במרובע".

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה והגדרת צלעות באמצעותו
נגדיר AB = X.
הסיבה שבחרנו את AB היא בגלל שקל להגדיר באמצעותו צלעות אחרות.
לכן CD = 1.5X
AD = AB + 4 = X + 4

שלב 2: הגדרת הצלע DC
הגדרנו שלוש צלעות בעזרת המשתנה X.
הצלע החסרה לנו היא צלע DC.
נראה כיצד הנתון ש AC הוא חוצה זווית עוזר לנו לפתור את התרגיל.
נגדיר:
BCA = ∠DCA = a∠  בגלל ש AC הוא חוצה זווית.
CAB = ∠ DCA∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
BC = AB = X  במשולש ADC זוויות הבסיס שוות לכן המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
נסכם את גדלי הצלעות:
AD = X + 4
BC = X
AB = X
CD = 1.5X
סכום זוג צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום השני. לכן:
AD + BC = AB + DC
X+4 + X = X +1.5X
2X + 4 = 2.5X / -2X
0.5X = 4  / *2
X = 8

תשובה: גדלי הצלעות הם:
AD = X + 4 =12
BC = X = 8
AB = X  = 8
CD = 1.5X = 12

פתרון וידאו:

 

עוד באתר:

  1. מרובע חסום במעגל – מידע נוסף ותרגילים.
  2. מרובע חוסם מעגל – מידע נוסף ותרגילים.
  3. טרפז – מידע נוסף על הצורה.
  4. מעגל או מרובעים – תכונות נוספות של המרובעים הללו.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “טרפז חסום במעגל או טרפז חוסם מעגל

  1. עומר

    תודה רבה על ההסבר.
    האם כאשר צ"ל טרפז, ומוכיחים שזוג אחד של צלעות הוא מקביל, יש צורך גם להוכיח שהזוג השני אינו מקביל?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום עומר.
      זה תלוי במי שמעביר לך את הבחינה.
      יש כאלו הדורשים להוכיח שגם הזוג השני אינו מקביל ויש המסתפקים בכך שזוג אחד מקביל.
      זו שאלה שצריך לברר עם המורה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.