אלכסונים בטרפז וטרפז שווה שוקיים

בדף זה נלמד על תכונות האלכסונים בטרפז.
לדף 4 חלקים:

  1. תכונות שקיימות בכול סוגי הטרפזים.
  2. תכונות הקיימות בטרפז שווה שוקיים.
  3. תכונות הקשורות לשטחי המשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים.
  4. תרגילים.

לאורך הדף מספר סרטונים שההסבר שלהם הוא על אותו תוכן המופיע בכתב.

1. תכונת האלכסונים בכול סוגי הטרפזים

יש שתי תכונות קשורות לאלכסונים וקיימות בכול סוגי הטרפזים.
את שתי התכונות הללו יש להוכיח כל פעם שמשתמשים בהן.

1.בכול סוגי הטרפזים האלכסונים יוצרים זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

הזוויות האדומות והזוויות הירוקות שוות זו לזו כי הן זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים

הזוויות האדומות והזוויות הירוקות שוות זו לזו כי הן זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים

תכונה 2: משולשים AOB ∼ COD.

הוכחה:

  1. BDC = ∠DBA,     ∠ACD= ∠CAB∠  זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2.  AOB ∼ COD משולשים דומים על פי ז.ז.

2. תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

לאלכסונים בטרפז שווה שוקיים יש 4 תכונות. את התכונה הראשונה (אלכסונים שווים באורכם) היא משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה בבחינת הבגרות.
את שלושת התכונות האחרות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם בבחינת הבגרות.
ההוכחות למשפטים הללו מופיעים בסוף הדף.

1.בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
את התכונה הזו אין צורך להוכיח וניתן להשתמש בה כמשפט.
"אם טרפז שווה שוקיים אז האלכסונים שווים".
וגם במשפט ההפוך:
"אם בטרפז האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים".

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה

2. בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.
זו תכונה שיש להוכיח כל פעם שמשתמשים בה.
הוכחה:
נוכיח כי  ACB ≅ DBC

  1. AB = DC  בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות זו לזו.
  2. BC  צלע משותפת לשני המשולשים.
  3. AC = DB בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז שווים זה לזה.
  4. ACB ≅ DBC  על פי משפט חפיפה צ.צ.צ

נוכיח את שוויון הזוויות

  1. ACB = ∠ DBC∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. ACB = ∠CAD∠   זוויות מתחלפות בין משולשים חופפים.
  3. DBC = ∠ BDA∠   זוויות מתחלפות בין משולשים חופפים.
  4. משלושת השוויונות נובע כי כל 4 הזוויות שוות.
בטרפז שווה שוקיים 4 הזוויות הירוקות שוות זו לזו

בטרפז שווה שוקיים 4 הזוויות הירוקות שוות זו לזו

3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם בסיסי הטרפז שני משולשים שווי שוקיים.
זו תכונה שיש להוכיח בכול פעם שמשתמשים בה.
כפי שמצאנו בסעיף 2.
שתי הזוויות הירוקות במשולש BOC שוות זו לזו.
לכן BO = CO.
שתי הזוויות הירוקות במשולש AOD שוות זו לזו.
לכן AO = OD.

4. שני המשולשים שווי השוקיים הם משולשים דומים.
זו תכונה שיש להוכיח כל פעם שמשתמשים בה.
AOD ∼ COB
תכונה זו נובעת מסעיף 2.
בין שני המשולשים יש 2 זוויות שוות, לכן אלו משולשים דומים על פי ז.ז.

סיכום תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

שימו לב שמדובר בטרפז שווה שוקיים בלבד.

תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

3. תכונות של שטחי המשולשים שיוצרים אלכסוני הטרפז

יש שלוש תכונות של שטחים הקשורות לאלכסוני הטרפז.
את שלושת התכונות צריך להוכיח כאשר משתמשים בהם.
שלושת התכונות מתקיימות בכול סוגי הטרפזים.

1.אלכסוני הטרפז יוצרים שני משולשים שווה שטח.

SACD = SDBC

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה

הוכחת שוויון שטחי משולשים

  1. נוריד AE,DF גבהים.  אז AE=DF כי ADFE הוא מלבן (כי יש בו 3-4 זוויות השוות 90 מעלות).
  2. לכן SACB = SDBC כי הגבהים שלם שווים (AE=BF) והצלע אליה הם מגיעים היא צלע משותפת.

2. משולשים שווה שטח נוספים הם SAOC = SDOC
הדבר נובע מסעיף 1 ומחיסור שטחי משולשים.

הוכחה:

  1. SACB = SDBC   הוכחנו כבר בסעיף 1.
  2. SAOB = SACB – SOCB
  3. SDOC = SDBC – SOCB
  4. נובע מכך:  SAOB = SDOC.

למי שההוכחה לא ברורה, ההוכחה בוידאו כוללת שרטוטים ההופכים אותו לברורה יותר.

3. קיים קשר בין שטח ארבעת המשולשים הנוצרים על ידי אלכסוני הטרפז.
אם יודעים שטח של משולש אחד ויחס הדמיון בין המשולשים הדומים אז ניתן לדעת את השטח של ארבעת המשולשים.

תכונה זו מיועדת לתלמידי 4-5 יחידות.

שימו לב ש:

  1. למשולשים AOB ו BOC יש גובה משותף. לכן היחס בין השטחים שלהם הוא היחס בין צלעות הבסיס אליו מגיע הגובה (צלעות OC ו AO).
  2. אותו דבר לגבי המשולשים AOD ו AOB.
  3. המשולשים AOB ∼COD לכן אם נדע את יחס הדמיון נדע את הקשר בין הצלעות  OC ו AO ובין BO ו OD. ונוכל למצוא את הקשר בין השטחים.

נניח כי בשרטוט הנוכחי יחס הדמיון בין AOB ל COD הוא 3. ושטח משולש AOB הוא X.

מכוון שהאלכסונים יוצרים משולשים דומים אם נדע שטח של משולש אחד ואת יחס הדמיון נוכל לדעת את השטח של כל אחד מהארבעת המשולשים

AOB ∼ COD דמיון המשולשים.

חישוב שטח משולש BOC:
מהקודקוד B למשולש BOC ולמשולש BOA יש את אותו הגובה לצלעות AO ו OC. ומכוון ש OC= 3AO אז שטח משולש BOC גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש AOD:
בדיוק אותו דבר. DO = 3OB ולכן שטח משולש AOD גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש COD:
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. במקרה זה 3²=9.
שטח משולש COD הוא פי 9 משטח משולש AOB.

4. תרגילים

התרגילים מתמקדים כל פעם בנושא הקשור לאלכסונים בטרפז: חישוב זוויות, חפיפת משולשים, דמיון משולשים.

תרגיל 1: זוויות בטרפז

בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים הנפגשים בנקודה O.
ODC= 30, ∠AOD=80∠.
חשבו את זוויות:
OBA∠
OCD∠
OAB∠

אלכסונים בטרפז שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OBA = ∠ODC=30∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו (הזווית המתחלפת היא ODC∠).
  2. DOC= 180-80=100∠ זווית צמודה לזווית AOD∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
    OCD = 180-100-30=50∠  – משלימה ל 180 מעלות במשולש OCD.
  3. OAB = 50∠  – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו (הזווית המתחלפת היא OCD∠).

תרגיל 2: חפיפת משולשים בטרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD מעבירים שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O. הוכיחו:

  1. ΔACD ≅ ΔBDC
  2. OCD=∠ODC∠
  3. SBOC = SAOD

אלכסונים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

סעיף א: הוכחה ש ΔACD ≅ ΔBDC

  1. AC=BD  – האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה.
  2. DC – צלע משותפת.
  3. AD=BC – השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  4. ΔACD ≅ ΔBDC  – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.

סעיף ב:  OCD=∠ODC∠

  1. OCD=∠ODC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
    (ולכן משולש OCD הוא משולש שווה שוקיים OC=OD
    אם היינו רוצים היינו יכולים להוכיח באותו אופן כי משולש AOB הוא שווה שוקיים, על ידי חפיפת המשולשים ΔDAB ≅ ΔCBA).

סעיף ג: SBOC = SAOD

  1. SACD= SBDC – שטחים של משולשים חופפים שווים זה לזה.
  2. שימו לב כי השטחים של שני המשולשים המבוקשים SBOC  , SAOD מתקבלים על ידי חיסור שטח משולש OCD משני המשולשים החופפים SACD= SBDC.
    ומכוון שאם מחסרים שטח שווה משטח שווה מקבלים שטחים שווים.
    בניסוח מתמטי ניתן לכתוב זאת כך:
    SBOC = SBCD – SOCD = SACD – SOCD = SAOD

תרגיל 3: דמיון משולשים בטרפז

בטרפז  ABCD מעבירים שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O. הוכיחו:

  1. ΔAOB ∼ ΔDOC
  2. AO*DC = AB *DO
  3. ידוע כי 4AO= AC.
    אם AB=5 ס"מ. מה אורכו של CD?
  4. אם שטח משולש OCD הוא 27 סמ"ר. מה שטחו של משולש ABO?

אלכסונים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א הוכחת דמיון משולשים ΔAOB ∼ ΔDOC

  1. ACD = ∠BAC∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. BDC = ∠ABD∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔAOB ∼ ΔDOC דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב' הוכחה ש AO*DC = AB *DO

על פי הדמיון:
AO / DO = AB / DC
AO*DC = AB *DO

סעיף ג, מציאת CD.

  1. נמצא את יחס הדמיון בין משולשים ΔAOB ו ΔDOC.
    אם AO=X אז AC=4X
    OC = AC-AO=3X
  2. יחס הדמיון הוא:
    OC :AO = 3X/X=3
  3. לכן DC = 3*AB=15
    תשובה: DC=15 סמ"ר.

סעיף ד

יחס השטחים בין משולשים דומים הוא ריבוע יחס הצלעות.
לכן יחס השטחים הוא 3²=9.
SAOB = SCOD / 9 =27/9=3
תשובה: שטח משולש AOB הוא 3 סמ"ר.

תרגיל 4: קטע אמצעים בטרפז

בטרפז ABCD מעבירים קטע אמצעים EF ואלכסון AC הנפגשים בנקודה O.
ידוע כי 2EO=3OF.
חשבו את היחס בין DC ל AB.

פתרון

  1. נגדיר OF=3X לכן EO =2X.
  2. EO קטע אמצעים במשולש ACD – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש.
    לכן DC=6X – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הבסיס.
  3. OF קטע אמצעים במשולש ABC –  ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש.
    לכן AB=4X – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הבסיס.
  4. היחס המבוקש הוא DC/AB=6X/4X=6/4 = 3/2.

עוד באתר:

  1. אלכסונים במרובעים – מידע על אלכסונים במרובעים נוספים.
  2. טרפז – מידע מקיף על הצורה.
  3. טרפז שווה שוקיים – מידע מקיף על הצורה.
  4. שטח טרפז – תרגילים.
  5. איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז – מידע ותרגילים.
  6. מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע – מידע על משפחת המרובעים.

נספח: הוכחת תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

בתחילת הדף ציינו 4 תכונות של האלכסונים בטרפז שווה שוקיים.

אמרנו גם שבתכונה הראשונה ניתן להשתמש ללא הוכחה בבגרות. את שאר התכונות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.

בחלק זה נוכיח את תכונות 2-4.

2. בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.

בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.

הוכחה:

  1. ACD ≅ BDC משולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (DC צלע משותפת, AD=BC שוקי הטרפז שוות, B=∠D∠ זוויות בסיס הטרפז שוות).
  2. BDC = ∠ACD∠ זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  3. BDC = ∠DBA,     ∠ACD= ∠CAB∠  זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  4. BDC = ∠DBA= ∠ACD= ∠CAB∠ נובע מסעיפים 2-3.

3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם בסיסי הטרפז שני משולשים שווי שוקיים.

הכוונה היא למשולשים AOB ו DOC. תכונה זו נובעת מסיף 4 בהוכחה הקודמת.

ODC = ∠ OCD∠ ולכן משולש DOC הוא משולש שווה שוקיים.
OAB = ∠OBA∠ ולכן משולש AOB הוא משולש שווה שוקיים.

4. שני המשולשים שווי השוקיים הם משולשים דומים.

  1. BDC = ∠DBA,     ∠ACD= ∠CAB∠  זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2.  AOB ∼ COD משולשים דומים על פי ז.ז.

 

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

 

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “אלכסונים בטרפז וטרפז שווה שוקיים

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.