משפט תאלס

משפט תאלס הוא אחד המשפטים המרכזיים בתחום דמיון ופרופורציה.
בבחינת הבגרות הוא אחד המשפטים הבודדים שלא צריך להסביר, כלומר ניתן לכתוב "בגלל משפט תאלס" ולא צריך לכתוב "בגלל משפט תאלס האומר שקווים מקבילים יוצרים קטעים פרופציונליים על שוקי זווית".

בדף זה תמצאו:

  1. הסברים למשפט תאלס + הסבר למקרים בהם יש יותר משני חותכים או יותר משני ישרים מקבילים.
  2. הסבר להרחבות למשפט תאלס.
  3. טיפים כיצד לזכור את ההרחבות שלו.
  4. שרטוטים נפוצים בהם נעשה שימוש במשפט תאלס.
  5. תרגילים.

1. משפט תאלס הסברים

הסבר למשפט תאלס + שתי ההרחבות וטיפים כיצד לזכור אותן

משפט תאלס – שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונליים.

משפט תאלס

משפט תאלס

כאשר יש יותר משני חותכים

אם נוסיף למשולש ABC מהשרטוט הקודם את הישר AF נוכל להשתמש במשפט תאלס בשלוש משולשים שונים. ( ABC, ABF, AFC).

משפט תאלס ליותר משני חותכים

משפט תאלס ליותר משני חותכים

את התכונה הזו של יותר משני חותכים צריך להוכיח על מנת להשתמש בה.
ההוכחה נעשית על ידי שימוש במשפט תאלס בשני משולשים:

משפט תאלס במשולש AFB

משפט תאלס במשולש AFB

משפט תאלס במשולש ABC

משפט תאלס במשולש ABC

משני השוויונות יחד נובע:

כאשר יש יותר משני ישרים מקבילים

כאשר יש יותר משני ישרים מקבילים אנו בוחרים זוג ישרים מקבילים ויוצרים משוואה על פי משפט תאלס:

כאשר יש יותר משני קווים מקבילים אנו בוחרים זוג קווים מקבילים ויוצרים משוואה על פי משפט תאלס:

2. הרחבות של משפט תאלס

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות

שימו לב: אל כל השוויונות הללו ניתן להגיע גם מדמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC. לי זה עוזר לזכור את ההרחבה.

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

הרחבה שנייה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות

שימו לב: כל השוויונות הללו נובעים מדמיון משולשים ΔADO ∼ ΔBCO.

הרחבה שנייה למשפט תאלס אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות BC/AD = BO/OD = CO/OA.

3. טיפ: כיצד לזכור את ההרחבות בקלות

ההרחבות של משפט תאלס הן למעשה דמיון משולשים. ניתן להגיע אל שתיהן בעזרת דמיון משולשים בלבד.
לכן כאשר אני רואה את ההרחבות ואני לא זוכר בדיוק על אלו צלעות ההרחבות של משפט תאלס מדברות אני מחפש את דמיון המשולשים, לפי זה יודע על אלו צלעות מדובר.
כנימוק אני מביא בסופו של דבר את ההרחבה של משפט תאלס – על מנת שלא אצטרך להוכיח את דמיון המשולשים.
בשני המקרים ההרחבה היא על פי משפט דמיון ז.ז ונשענת על זוויות מתאימות / מתחלפות בין ישרים מקבילים.

הקשר בין ההרחבות של משפט תאלס לדמיון משולשים

4. וידאו: באלו צורות עליכם לחפש את משפט תאלס?

משפט תאלס הוא משפט שמשתמשים בו הרבה ועליכם לבדוק האם ניתן לעשות שימוש בו בכול תרגיל הכולל צורה שבה יש שני מקבילים.

מצבים בהם צריך להשתמש במשפט תאלס
מצבים בטרפז ובמעגל בהם צריך לעשות שימוש במשפט תאלס

5. תרגילים עם פתרונות מלאים

1. תרגילים בסיסיים להבנת המשפט

בתרגילים הבאים הישרים DE║BC.  חשבו את הצלעות החסרות המסומנות באדום.

תרגילים בסיסיים על משפט תאלס

פתרונות

פתרון לשרטוט 1
שרטוט התרגיל

על פי משפט תאלס:

נציב מספרים ונקבל:

3EC = 4 * 9 = 36   / :3
EC = 12

פתרון שרטוט 2

שרטוט התרגיל

שימו לב שכאן מבקשים למצוא את אורך הצלע כולה (AC) ולא רק קטע ממנה (AE). ניתן לעשות זאת ישירות על ידי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס או למצוא את אורך הקטע AE ולחבר קטעים.
כאן זה יתבצע בדרך השנייה כי היא יותר נוחה לתרגיל זה.

נחשב את אורך הצלע AE על פי משפט תאלס במשולש ABC.

2AE = 9 * 2  =18  / : 2
AE = 9

נחשב את AC:
AC = 9 + 2 = 11

פתרון שרטוט 3

שרטוט התרגיל

על פי ההרחבה הראשונה:

9AB = 10 * 12 = 120   /  9
AB = 13.33

סעיף ב
על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס.

12DE = 9 * 24  / : 12
DE = 18

פתרון שרטוט 4

מציאת BD
על מנת למצוא את BD נמצא את OD.
על פי ההרחבה השנייה:

8OD = 4 *9 =36  / : 8
OD = 4.5

BD = 9 + 4.5 = 13.5

סעיף ב: מציאת AD
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:

8AD = 9 * 4 = 36 / : 8
AD = 4.5

תרגיל 2: משולש שעובר בתוכו קו מקביל לבסיס

נתון משולש ABC. נתון DE ║ BC.
הישר AG חותך את הישר DE בנקודה F.
נתון: AD=6, DB=4, GC=3.
חשבו את FE.

שרטוט התרגיל

פתרון

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס:

10FE * 6 * 3 = 18  / : 10
FE = 1.8

תרגיל 3: מקבילית / מלבן החסומים בתוך משולש

נתון כי במשולש ABC חסומה מקבילית CDEF.
AE=6, EB=2, DE=4.

  1. חשבו את BF.
  2. נתון כי AD=8 ס"מ. חשבו את EF.
  3. מבלי להשתמש בגדלי הצלעות הוכיחו ΔAED∼ΔEBF (סעיף זה לא קשור למשפט תאלס).

שרטוט התרגיל

פתרון
שימו לב, ניתן לפתור את שני סעיפי השאלה על בסיס משפט תאלס או על בסיס דמיון משולשים.
רמז לאופן הפתרון על פי דמיון משולשים בסוף הפתרון שיבוסס על משפט תאלס.

על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס:

6BC = 4 * 8 = 32   / : 6
BC = 5.33

FC=ED=4 – צלעות נגדיות במקבילית שוות.
EF = BC – FC = 5.333 – 4 =1.333

סעיף ב: מציאת EF

6DC = 2 * 8 = 16  / : 6
DC = 2.66

צלעות נגדיות במקבילית שוות לכן:
EF=DC=2.666

סעיף ג: הוכחת דמיון משולשים

שרטוט שלבי פתרון סעיף ג

שרטוט שלבי פתרון סעיף ג

נגדיר:

  1. B=a, ∠DEF=β∠.
  2. AED=∠B∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. C=β∠ – זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  4. EDA=∠C=β  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  5. EFB=β∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  6. ΔAED∼ΔEAF – על פי משפט דמיון ז.ז.

4. טרפז שמעבירים בתוכו אלכסונים

טרפז שבתוכו עוברים אלכסונים הוא המקרה בסיסי של ההרחבה השנייה של משפט תאלס.

תרגיל
בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים BD ו- AC. נקודת מפגש האלכסונים היא O.
נתון: AO=10, OD=25, AD=12 ס"מ.

שרטוט התרגיל משפט תאלס

חשבו את:

  1. BC.
  2. היחס DO:OB.

פתרון

על פי ההרחבה השנייה למשפט תאלס:

BC = 300  : 10 = 30

תשובה: BC = 10

סעיף ב
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:

5. טרפז שמעבירים בתוכו קו מקביל לבסיסים

בטרפז ABCD מעבירים קו מקביל לבסיסים EF ואת AG כך ש: AGCD הוא מקבילית.
נתון כי: הבסיס הגדול (CD) גדול פי 1.25 מהבסיס הקטן (AD).
AE=6, EB=3,  EH=2.
חשבו את אורכי הבסיסים.

שרטוט התרגיל

פתרון

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס:

BG = (2 * 9 ) : 6 =18 : 6 = 3

נגדיר AG=GC=X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
BC=1.25AD=1.25X
BG=BC-GC=1.25X-X=0.25X=3
0.25x=3
x=12
BC=1.25X=15
תשובה: אורך הבסיס הקטן 12 ס"מ, הבסיס הגדול 15 ס"מ.

עוד באתר:

שאלה שאלות

22 תגובות בנושא “משפט תאלס

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      כן. המשפט ההפוך הוא "אם שני ישרים מקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציונליים אז הם מקבילים זה לזה"
      המשפט בעצם אומר שאם הפרופרציה מתקיימת אז הישרים מקבילים.
      שרטוט של המשפט יש בקישור.
      http://www.m-math.co.il/geometry/geometry-sentences/%D7%94%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98-%D7%94%D7%94%D7%A4%D7%95%D7%9A-%D7%9C%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98-%D7%AA%D7%90%D7%9C%D7%A1/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      ההוכחה היא דמיון משולשים וזה מוסבר.
      לכל מסקנה הנובעת ממשפט תאלס ניתן להגיע גם בעזרת דמיון משולשים.

  1. .......

    מה אם במשולש יש שלושה ישרים מקבילים, אפשר להשתמש במשפט תאלס על שלושתם ביחד או שמסתכלים על כל 2 ישרים בנפרד?

  2. אנונימי

    בוידאו של באלו צורות עליכם לחפש את משפט תאלס
    בדקה 10.57 לדעתי יש ביחסים במרובע האדום טעות תוכל לבדוק את זה? :) תודה וזה ממש עזר

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום. אתה צודק. במשוואה השלישית המכנה הראשון צריך להיות AD ולא OC.
      זה תוקן.
      תודה רבה על תשומת הלב ובהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.