הוכחת ריבוע

ריבוע הוא מרובע שארבע צלעותיו שוות באורכן וארבע זוויותיו שוות 90.

איך מוכיחים שמרובע הוא ריבוע?

קודם כל נצטרך להוכיח שמרובע הוא מלבן או מעוין.  ולאחר מיכן:

אם נתון לנו מעוין:

  1. מעוין עם זווית ישרה (90 מעלות) הוא ריבוע.
  2. מעוין עם אלכסונים שווים באורכם הוא ריבוע.

אם נתון לנו מלבן:

  1. מלבן שאלכסוניו מאונכים זה לזה הוא ריבוע.
  2. מלבן עם זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
  3. מלבן שאלכסוניו הם חוצי זווית הוא ריבוע.

(הסברים כיצד להוכיח מקבילית, מעוין או מלבן תמצאו בקישור).

כיצד מוכיחים שמעוין הוא ריבוע

הדרכים להוכחה שמלבן הוא ריבוע

 

תרגילים

תרגיל 1 

הוכיחו כי מלבן שאחד מאלכסוניו הוא חוצה זווית הוא ריבוע (מבלי להיעזר במשפט).

שרטוט התרגיל, הוכחת ריבוע

פתרון

מכוון שכל זוויות המלבן הן 90 מעלות נותר לנו כי כל הצלעות שוות זו לזו.

  1. ADB = ∠ABD = 90 : 2= 45∠
  2. AD = AB במשולש ABD מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות (ABD הוא משולש שווה שוקיים).
  3. AD = BC, AB = CD צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  4. AD= BC = AB = CD  כלל המעבר. נובע מ 2,3 ולכן ABCD הוא ריבוע.

תרגיל 2

הוכיחו כי מעוין שיש לו זוויות בת 90 מעלות (D = 90∠) הוא ריבוע.

הוכחת ריבוע, שרטוט התרגיל

פתרון

עלינו להוכיח שלמרובע זה יש 4 זוויות של 90 מעלות.

  1. B = ∠D = 90∠ זוויות נגדיות במעוין שוות זו לזו.
  2. A = ∠C =(360-180) / 2 = 90∠ סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות. (נימוק אחר: זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות).

תרגיל 3

בריבוע ABCD מעבירים אלכסון AC.
מנקודה E שעל האלכסון מעבירים את הישרים EF ו EG  המקבילים לצלעות הריבוע.
הוכיחו כי המרובע EFAG הוא ריבוע.

הוכחת ריבוע, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. EFA = ∠EGA = 90∠ זוויות חד צדדיות המשלימות את זווית A = 90∠ ל 180 מעלות.
  2. EF מקביל ל AG וגם EG מקביל ל AF (נתון) ולכן EFAG הוא מקבילית – מרובע שבו זוג צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  3. EFAG הוא מלבן. מקבילית שבה זווית של 90 מעלות היא מלבן.
  4. EFAG הוא ריבוע. מלבן שבו האלכסון הוא חוצה זווית היא ריבוע. (בנתוני השאלה כתוב כי AC הוא חוצה זווית A).

 

 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.