דמיון ופרופורציה

מושגים בסיסיים

חלוקה פנימית של קטע

חלוקה פנימית של קטע מתקיימת כאשר נקודה כלשהיא C נמצאת על קטע AB. וניתן לומר כי C מחלקת את AB חלוקה פנימית באופן שכתוב בשרטוט

חלוקה פנימית של קטע

חלוקה פנימית של קטע

חלוקה חיצונית של קטע

חלוקה חיצונית של קטע מתקיימת אם נקודה כלשהיא C נמצאת על המשך קטע AB וניתן לומר כי הנקודה C מלקת את AB חלוקה חיצונית כפי שכתוב בשרטוט.

חלוקה חיצונית של קטע

חלוקה חיצונית של קטע

היטל

שרטוט היטל על מישור

הישר AC (באדום) הוא היטלו של הישר AB על המישור DEFG.

ממוצע הנדסי

ממוצע הנדסי / גיאומטרי הוא ממוצע של מכפלות שני איברים. כלומר c הוא ממוצע גיאומטרי של a ו b אם מתקיים : c²=a*b.

משפט תאלס

משפט תאלס – שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונליים.

משפט תאלס

משפט תאלס

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

אם הקטע DE מקביל לצלע המשולש BC אז מתקיימים השוויונים הכתובים בשרטוט למטה – כלומר קיימת פרופורציה מתאימה גם בין שני הקטעים המקבילים וגם בין חלק משוק הזווית לשוק כולה.

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

מידע נוספים ותרגילים תוכלו למצוא בדף משפט תאלס

פרופרציה הנוצרת על ידי חוצה זווית ותיכונים

חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

קיים גם המשפט ההפוך :
אם קטע המחבר קודקוד וצלע במשולש יוצר על הצלע קטעים פרופורציונליים ביחס זהה לצלעות היוצרות את חוצי זווית אז הקטע הוא חוצה זווית.

חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.

משפט פרופורציה של תיכונים

נקודת המפגש של תיכונים במשולש מחלקת את התיכונים ביחס של 1:2 כאשר החלק הגדול קרוב לקודקוד המשולש.

שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. 46. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1. (החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2 מהחלק האחר).

פרופורציה במשולש ישר זווית

משפט אוקלידס
במשולש ישר זווית הניצב הוא הממוצע ההנדסי של הייתר ושל הייטלו של ניצב זה על הייתר.

המשפט ההפוך
אם גובה לצלע הוא המומצע ההנדסי של היטלי שתי הצלעות על הצלע אז המשולש ישר זווית.

אוקלידס

משפט
במשולש ישר זווית הגובה לייתר היא הממוצע ההנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

המשפט ההפוך
אם במשולש כלשהוא הגובה לייתר הוא הממוצע ההנדסי של היטלי שתי הצלעות האחרות על הייתר אז המשולש הוא משולש ישר זווית.

סיכום משפטי הפרופוציה במשולש ישר זווית.

  1. במשולש ישר זווית מכפלת היטלי הניצבים על הייתר שווה לגובה לייתר בריבוע אוקלידס : ניצב בריבוע שווה למכפלת ההיטל על הייתר בייתר
  2. במשולש ישר זווית מכפלת היטלי הניצבים על הייתר שווה לגובה לייתר בריבוע משפט אוקלידס במשולש ישר זווית ניצב בריבוע שווה למכפלת ההיטל על הייתר בייתר

פרפורציה במעגל

משפט
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני קווים חותכים למעגל אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת חותך שני בחלקו החיצוני.

פרפורציה במעגל

משפט
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

פרפורציה במעגל

משפט
אם במעגל שני מיתרים נחתכים אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

פרפורציה במעגל

3 תגובות בנושא “דמיון ופרופורציה

  1. D

    נהניתי מאתר! מקום מצוין לרענוןץ
    מסכימה ביותר עם העובדה,שלכיתה ז תלמידים חייבים להגיע מוכנים ביותר!
    בהצלחה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.