דמיון ופרופורציה

 

היטל

שרטוט היטל על מישור

הישר AC (באדום) הוא היטלו של הישר AB על המישור DEFG.

ממוצע הנדסי

ממוצע הנדסי / גיאומטרי הוא ממוצע של מכפלות שני איברים. כלומר c הוא ממוצע גיאומטרי של a ו b אם מתקיים : c²=a*b.

משפט תאלס

משפט תאלס – שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונליים.

משפט תאלס

משפט תאלס

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

אם הקטע DE מקביל לצלע המשולש BC אז מתקיימים השוויונים הכתובים בשרטוט למטה – כלומר קיימת פרופורציה מתאימה גם בין שני הקטעים המקבילים וגם בין חלק משוק הזווית לשוק כולה.

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

מידע נוספים ותרגילים תוכלו למצוא בדף משפט תאלס

פרופרציה הנוצרת על ידי חוצה זווית ותיכונים

חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

קיים גם המשפט ההפוך :
אם קטע המחבר קודקוד וצלע במשולש יוצר על הצלע קטעים פרופורציונליים ביחס זהה לצלעות היוצרות את חוצי זווית אז הקטע הוא חוצה זווית.

חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.

משפט פרופורציה של תיכונים

נקודת המפגש של תיכונים במשולש מחלקת את התיכונים ביחס של 1:2 כאשר החלק הגדול קרוב לקודקוד המשולש.

שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. 46. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1. (החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2 מהחלק האחר).

פרופורציה במשולש ישר זווית

משפט אוקלידס
במשולש ישר זווית הניצב הוא הממוצע ההנדסי של היתר ושל הייטלו של ניצב זה על היתר.

המשפט ההפוך
אם גובה לצלע הוא הממצע ההנדסי של היטלי שתי הצלעות על הצלע אז המשולש ישר זווית.

משפט אוקלידס

משפט
במשולש ישר זווית הגובה לייתר היא הממוצע ההנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

המשפט ההפוך
אם במשולש כלשהוא הגובה לייתר הוא הממוצע ההנדסי של היטלי שתי הצלעות האחרות על הייתר אז המשולש הוא משולש ישר זווית.

סיכום משפטי הפרופוציה במשולש ישר זווית.

  1. במשולש ישר זווית מכפלת היטלי הניצבים על הייתר שווה לגובה לייתר בריבוע אוקלידס : ניצב בריבוע שווה למכפלת ההיטל על הייתר בייתר
  2. במשולש ישר זווית מכפלת היטלי הניצבים על הייתר שווה לגובה לייתר בריבוע משפט אוקלידס במשולש ישר זווית ניצב בריבוע שווה למכפלת ההיטל על הייתר בייתר

פרופורציה במעגל

(השימוש במשפטים הללו יצא מתוכנית הלימודים)

משפט
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני קווים חותכים למעגל אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת חותך שני בחלקו החיצוני.

משפט
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

101. אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. 102. אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

משפט
אם במעגל שני מיתרים נחתכים אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

תכונה זו ניתנת להוכחה קלה יחסית על ידי דמיון המשולשים AOB ∼DOC.

עוד באתר:

שאלה שאלות

13 תגובות בנושא “דמיון ופרופורציה

  1. D

    נהניתי מאתר! מקום מצוין לרענוןץ
    מסכימה ביותר עם העובדה,שלכיתה ז תלמידים חייבים להגיע מוכנים ביותר!
    בהצלחה!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.