הוכחת מעוין

על מנת להוכיח שמרובע הוא מעוין עלינו להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
לאחר מיכן יש שני משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות:

  1. מקבילית שבה האלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
  2. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

כמו כן יש את הגדרת המעוין:
מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

 

הגדרת מעוין כסוג של מקבילית: מעוין הוא מקבילית בעלת שני צלעות סמוכות שוות ו/או מקבילית שהאלכסונים שלה הם חוצי זווית ו/או מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים זה לזה.

תרגילים

תרגיל

במשולש ABC עובר חוצה זוויות AD.
מנקודה G שעל חוצה הזווית מעבירים את GF כך שהוא מקביל ל AE. ואת GE כך שהוא מקביל ל AF.
הוכיחו כי המרובע AFGE הוא מעוין.

שרטוט התרגיל הוכחת מעוין

פתרון

  1. GF  מקביל ל AE. וגם GE מקביל ל AF. (נתון).
  2. מרובע AFGE הוא מקבילית (מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא מקבילית).
  3. AG הוא חוצה זווית A. (נתון).
  4. מרובע AFGE הוא מעוין. (מקבילית שבה אחד מהאלכסונים הוא חוצה זווית היא מעוין).

תרגיל

במקבילית ABCD מעבירים דרך נקודת מפגש האלכסונים O ישר EF המאונך לאלכסון BD.
הוכיחו כי המרובע EBFD הוא מעוין.

שרטוט התרגיל הוכחת מעוין

פתרון

  1. ODF = ∠OBE∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. DOF = ∠BOE=90∠ זוויות קודקודיות שוות.
  3. DO = OB במקבילית ABCD האלכסונים חוצים זה את זה.
  4. DOF ≅ BOE חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז.
  5. OE=OF צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. המרובע EBFD הוא מקבילית (נובע מ 3,5) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).
  7. המרובע EBFD הוא מעוין (נובע מ 2,6) (מקבילית שבבה האלכסונים מאונכים היא מעוין).

תרגיל

בריבוע ABCD מאריכים את אלכסון הריבוע AC אל מחוץ לריבוע כך ש AE=CF.
הוכיחו כי המרובע EBFD הוא מעוין.

שרטוט התרגיל הוכחת מעוין

פתרון

  1. אם O היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע אז מתקיים AO = CO (אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה).
  2. AE=CF (נתון).
  3. OE = AE + AO
  4. OF = CO + CF
  5. OE = OF (נובע מ 2-4).
  6. נעביר את האלכסון BD.
  7. BO=OD אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה.
  8. המרובע EBFD הוא מקבילית (נובע מ 5,7) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).
  9. BD ⊥AC אלכסוני הריבוע מאונכים זה לזה.
  10. BD⊥EF אם ישר מאונך לישר אז הוא מאונך גם להמשך הישר.
  11. המרובע EBFD הוא מעוין (נובע מ 8,10) (מקבילית שבה האלכסונים מאונכים היא מעוין).
שרטוט התרגיל עם בניית העזר

שרטוט התרגיל עם בניית העזר

עוד באתר:

  1. מעוין, הדף המרכזי על הצורה.
  2. הוכחת מקבילית, משפטים ותרגילים.
  3. מקבילית, הדף המרכזי על הצורה.
  4. הוכחת מרובעים, כיצד מוכיחים מרועים אחרים.
  5. מרובעים, מידע על מרובעים נוספים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.