שטח מעוין

לדף זה שלושה חלקים:

  1. הסבר לשתי נוסחאות שטח מעוין.
  2. 7 תרגילים עם פתרונות מלאים לתלמידי בית ספר יסודי.
  3. 7 תרגילים עם פתרונות מלאים לתלמידי חטיבת הביניים.

1. נוסחאות שטח מעוין

ניתן לחשב שטח של מעוין על ידי שתי נוסחאות.

1.שטח מעוין על פי צלע והגובה אליה.
השטח של כל הצורות שהן מקבילית הוא:   צלע כפול הגובה אל הצלע.
לרוב:
a  מסמן את הצלע.
h  מסמן את הגובה.
s  מסמן את השטח
s=a×h.

שטח מעוין על פי צלע וגובה

2.שטח מעוין על פי אורכי האלכסונים
שטח מעוין שווה למכפלת אורכי האלכסונים.
אם AC ו- BD הם אלכסוני המעוין אז השטח שווה ל:

חישוב שטח מעוין על פי האלכסונים

הערה: נוסחת האלכסונים נכונה גם לחישוב שטח ריבוע ושטח דלתון. (מעוין, ריבוע ודלתון הם אלכסונים שאלכסוניהם מאונכים).

שטחים של צורות נוספות שתוכלו ללמוד באתר:

  1. שטח מקבילית.
  2. שטח טרפז.
  3. שטח דלתון.
  4. שטח מעגל.
  5. שטח משולש.

2. תרגילים

מצורפים 14 תרגילים בנושא שטח מעוין.
תרגילים 1-7 מתאימים בבית הספר היסודי.
תרגילים 8-14 מתאימים לתלמידי ז-ח. כאשר תרגילים 13-14 הם בעיקר לתלמידי ט-י.

תרגיל 1: הצבה בנוסחה

אורך הצלע במעוין ABCD הוא 6 סנטימטר.
מעבירים גובה AE שאורכו 4 סנטימטר.
חשבו את שטח המעוין.

חישוב שטח מעוין

פתרון

שטח מעוין שווה לצלע (6) כפול הגובה (4).
24 = 4 * 6
תשובה: גודל שטח המעוין הוא 24 סמ"ר.

תרגיל 2: חישוב בעזרת נוסחת האלכסונים

נתון מעוין ABCD שאלכסוניו נפגשים בנקודה 0.
AO=3, DO=5
חשבו את שטח המעוין.

חישוב שטח מעוין

פתרון

נקודת מפגש האלכסונים מחלקת את אורכי האלכסונים לשני חלקים שווים.
לכן אורך אלכסוני המעוין הוא 10 ו 6 ס"מ.

שטח המעוין הוא

תשובה: שטח המעוין הוא 30 סמ"ר.

תרגיל 3: מעבר מהיקף מעוין לשטח מעוין

היקפו של מעוין הוא 20 ס"מ וגובהו של המעוין הוא 3 ס"מ. חשבו את שטח המעוין.

פתרון
היקפו של המעוין הוא 20 ס"מ.
לכן אורך צלע אחת הוא:
5 = 20:4

שטח המעוין הוא:
15 = 5*3
תשובה: שטח המעוין הוא 15 סמ"ר.

תרגיל 4: הצבה בנוסחה ומעבר לנוסחה האחרת

נתון מעוין ABCD שאורך צלעו היא 8 ס"מ והגובה אליה 10 ס"מ.
א. חשבו את שטח המעוין.
ב. * אם ידוע כי אורך אלכסון אחד של המעוין הוא 20 ס"מ. מה אורכו של האלכסון השני.

שטח מעוין, שרטוט התרגיל

פתרון
שטח מעוין הוא מכפלת צלע בגובה המגיע אליה.
80 = 8*10
תשובה: שטח המעוין הוא 80 סמ"ר.

סעיף ב
מכפלת האלכסונים לחלק ב 2 שווה לשטח המעוין (80).
לכן מכפלת האלכסונים היא 160.
160 = ____ * 20
המספר החסר הוא 8.

ניתן לחשב את אורך האלכסון השני גם על ידי התרגיל
8 = 20 : 160
תשובה: אורך האלכסון השני הוא 8 ס"מ.

תרגיל 5: שטחים מורכבים (מעוין ומשולש)

אורך צלע מעוין ABCD הוא 7 סנטימטר.
אורך גובה המעוין 4 סנטימטר.
על הצלע המעוין בנו משולש שגובהו 2 סנטימטר.

  1. חשבו את שטח הצורה כולה.
  2. משולש AFB הוא משולש שווה שוקיים שאורך צלעו 5 סנטימטר. חשבו את היקף הצורה כולה.

פתרון
נחשב את שטח המעוין ושטח המשולש בנפרד ואז נחבר בניהם.

1.חישוב שטח המעוין
נכפיל צלע (7) כפול הגובה (4).
28 = 4 * 7

2. חישוב שטח המשולש
נכפיל צלע (7) כפול גובה (2) לחלק ל- 2.

3. שטח הצורה כולה
35 = 7 + 28
תשובה: שטח הצורה הכוללת הוא 35 סמ"ר.

חישוב היקף
היקף הצורה מורכב מ- 3 צלעות של המעוין שאורך כל אחת מיהן 7 סנטימטר.
21 = 7 * 3.

ומ- 2 צלעות משולש שאורך כל אחת מיהן הוא 5 סנטימטר.
10 = 5 * 2

היקף הצורה כולה הוא:
31 = 10 + 21
תשובה: היקף הצורה הוא 31 סנטימטר.

תרגיל 6: היקפים ושטחים מרוכבים (מעוין ועיגול)

על צלע מעוין שאורך צלעו 8 סנטימטר בנו חצי עיגול.
גובה המעוין שווה לרדיוס העגול.
חשבו את היקף ושטח הצורה שהתקבלה.

שרטוט התרגיל

פתרון
חישוב ההיקף
בהיקף הצורה הכללית יש:
3 צלעות של מעוין (ולא 4).
חצי מעגל.

מציאת רדיוס המעגל
צלע המעוין היא קוטר המעגל.
לכן קוטר המעגל שווה ל- 8 סנטימטר.
רדיוס המעגל שווה 4 סנטימטר.

נוסחת היקף מעגל היא:
P=2₶R
היקף המעגל שלנו הוא:
p = 2 * 3.14 * 4
p = 8 * 3.14 = 25.12
בצורה שלנו יש רק חצי עיגול לכן:
12.56 = 2 : 25.12

בהיקף הצורה יש 3 צלעות מעוין לכן:
24 = 3 * 8

היקף הצורה כולה הוא:
36.56 = 24 + 12.56
תשובה: היקף הצורה הוא 36.56 סנטימטר.

חישוב שטח הצורה כולה
נחשב את שטח המעוין ושטח חצי העיגול בנפרד.

שטח המעוין
אמרו שגובה מהעוין שווה בגודלו לרדיוס המעגל.
לכן גודל גובה המעוין הוא 4 סנטימטר.
גודל צלע המעוין 8 סנטימטר.
S = 4 * 8 = 32

שטח חצי העיגול
הנוסחה לשטח עיגול היא:
S=₶r²
נציב r = 4 בנוסחה.
S = 3.14 * 4²
S = 3.14 * 16 = 50.24

שטח חצי מהעיגול הוא:
25.12 = 2 : 50.24

סכום השטחים הוא:
57.12 = 25.12 + 32
תשובה: שטח הצורה הכוללת הוא 57.12 סמ"ר.

תרגיל 7

דלית, דנה ודני אמרו את הדברים הבאים:
דלית: במעוין ובמקבילית כל הגבהים שווים.
דנה: במעוין כל הגבהים שווים, במקבילית אורכי הגבהים שונים.
דני: אורכי הגבהים שונים במעוין ובמקבילית.

בעזרת נוסחאות שטח מעוין ושטח מקבילית מצאו מי מבניהם צודק.

פתרון
עבור מעוין
שטח מעוין שווה לצלע כפול הגובה אל הצלע.
ומכוון שכל הצלעות שוות גם כל הגבהים צריכים להיות שווים.

חישוב שטח מעוין בדרכים שונות

S = a * h
S = a * h2
לכן h = h2
המסקנה: במעוין כל הגבהים שווים זה לזה.

עבור מקבילית
שטח מקבילית שווה לצלע כפול הגובה אל הצלע.
במקבילית צלעות סמוכות שונות זו לזו בגודלם.
לכן גם הגבהים המגיעים אל הצלעות הללו צריכים להיות שונים בגודלם.

שטח מקבילית בדרכים שונות

S = a * h
S = b * h2
a ≠ b  (צלעות המקבילית שונות זו מזו).
לכן גם h ≠ h2.
המסקנה: במקבילית חלק מהגבהים שונים זה מזה.

תשובה: דנה צדקה. במעוין כל הגבהים שווים זה לזה. במקבילית חלק מהגבהים שונים.

תרגילים לחטיבת הביניים

תרגיל 8: חישוב צלע המעוין על פי השטח

שטח מעוין הוא 20 סמ"ר. אורך הגובה לצלע המעוין הוא 4 ס"מ. חשבו את אורך צלע המעוין.

שטח מעוין, שרטוט התרגיל

פתרון

אם נכפיל את אורך הגובה באורך הצלע נקבל 20.
20 = ____ * 4
המספר החסר הוא 5.  ניתן לקבל אותו על ידי התרגיל:
5= 20:4.

תרגיל 9

הסבירו במילים או הוכיחו מדוע 4 המשולשים הנוצרים על ידי אלכסוני המעוין הם שווי שטח.

שטח מעוין, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. פתרון תרגיל זה מתבסס על תכונת אלכסוני המעוין שהם חוצים זה את זה (מחלקים אחד את השני לשני חלקים שווים).
  2. ארבעת המשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים חופפים זה לזה.
    ניתן להוכיח זאת על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  3. שטחים של משולשים חופפים שווים זה לזה. ולכן אבעת השטחים שווים.
ארבעת המשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים חופפים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ

ארבעת המשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים חופפים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ

תרגיל 10: שימוש במשתנים לצורך החישוב

נתון כי שטח מעוין הוא 32 סמ"ר.
אורך צלע המעוין כפול מאורך הגובה אל הצלע.
חשבו את אורך הצלע ואורך גובה המעוין.

שטח מעוין, שרטוט התרגיל

פתרון
נגדיר:
X – אורך גובה המעוין.
2X – אורך צלע המעוין.
2x*x=32
2x²=32
x²=16
x=4 או x=-4
אורך גובה הוא מספר חיובי לכן X=4 ס"מ הוא אורך גובה המעוין.
8 ס"מ – אורך צלע המעוין.

תרגיל 11

על צלע מעוין ABCD בנו משולש שווה צלעות BEC.
אם שטח המעוין הוא 50 סמ"ר. מה שטח משולש BEC?

פתרון

חישוב שטח מעוין, שרטוט התרגיל

  1. נוריד גובה BF. גובה זה הוא גובה משותף לצלע CE של המשולש וגם לצלע DC של המעוין.
  2. שטח משולש BEC הוא 2 : BF * CE
    שטח המעוין הוא BF*DC.
  3. מכוון שהמשולש הוא שווה צלעות וצלעות המעוין שוות זו לזו אז CE=DC.
    ולכן ההבדל היחידי בין שטח המשולש לשטח המעוין הוא שאת שטח המשולש מחלקים ב 2.
  4. אם שטח המעוין הוא 50 אז שטח המשולש הוא 25 = 50:2
    25 סמ"ר.

תרגיל 12

בתוך מעוין ABCD העבירו שני גבהים BF  ו BE.
צלע המעוין AB=12 ס"מ.
גדלי הגבהים BE=2X, BF=X+5 ס"מ.
חשבו את שטח המעוין.

חישוב שטח המעוין שרטוט התרגיל

פתרון

נוכיח כי ΔBEA ≅ΔBFC.

  1. A=∠C∠ – זוויות נגדיות במעוין שוות זו לזו (כמו בכל מקבילית).
  2. BFC=∠BEA=90∠  – נתון כי BE ו BF הם גבהים.
  3. FBC = ∠EBC∠ – אם 2 זוויות שוות זו לזו בשני משולשים אז גם הזווית השלישית שווה.
  4. AB=BC – צלעות המעוין שוות זו לזו.
  5.  ΔBEA ≅ΔBFC משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז. (אפשרות אחרת הייתה לא לכתוב את שורה מספר 3 ולהשתמש במשפט חפיפה רביעי).
  6. BE=BF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
    2x = x+5 /-5
    x=5
    BE=BF=10
  7. שטח המעוין ABCD הוא 12*10 = 120 סמ"ר.

 תרגיל 13

במעוין ABCD זווית B=60∠.
מהנקודה B הורידו גובה BE להמשך הצלע DC.
CE=6 ס"מ.
חשבו את שטח המעוין.

חישוב שטח מעוין, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BCE=∠B=60∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. CBE = 180-90-60=30∠  – סכום זוויות במשולש BEC הוא 180 מעלות.
  3. BC = 2CE = 12 ס"מ – במשולש ישר זווית שבו זווית של 30 מעלות הצלע שמול זווית זו שווה למחצית היתר.
  4. DC=BC=12 ס"מ – צלעות המעוין שוות זו לזו.
  5. במשולש BEC על פי משפט פיתגורס BC² = CE² + BE²
    BE² = BC² – CE² = 12² – 6²
    BE² = 144 – 36 = 108
    BE=10.39
  6. שטח המעוין הוא
    S = BE * DC = 10.39 * 12 = 124.707
    תשובה: שטח המעוין הוא 124.707 סמ"ר.

תרגיל 14

במעוין ABCD שאלכסוניו נפגשים בנקודה O מעבירים תיכון CE לצלע AD החותך את האלכסון BD בנקודה F.
FE = FO = 4 ס"מ.
חשבו את שטח המעוין.

פתרון

  1. FC = 8 ס"מ  – במשולש ACD נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון CE ביחס 1:2.
  2. במשולש OCF על פי משפט פיתגורס
    CO² = FC² – FO² = 8² – 4²
    CO² = 64 – 16 = 48
    CO = 6.93 ס"מ.
  3. AC = 2CO = 13.856 – אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  4. DF = 2FO = 8 – במשולש ACD נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון DO ביחס 1:2.
    DO = DF + FO =12
  5. DB =12 ס"מ – אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  6. שטח המעוין הוא
    2 : DB * AC
    2 : 13.856 * 12
    83.138 =
    תשובה: שטח המעוין הוא 83.138 סמ"ר.

דפים נוספים באתר:
מעוין – הדף הראשי על צורה זו הכולל משפטים, תרגילים, דרכי הוכחה שמרובע הוא מעוין ועוד.
מעוין משפטים לבגרות – משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה + שרטוט המשפטים.
שטח מקבילית, שטח טרפז, שטח מלבן, שטח עיגול – נוסחאות ותרגילים לחישוב השטחים של הצורות הללו.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 thoughts on “שטח מעוין

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.