תכונות המלבן, אלכסונים במלבן

בדף זה:

  1. תכונות מלבן שהן חלק ממשפטים המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
  2. תכונות מלבן שיש להוכיח אם רוצים להשתמש בהם בבחינה.
  3. מידע נוסף באתר בנושאים דומים:
    מלבן – הדף המרכזי בנושא, כולל משפטים, תרגילים, איך מוכיחים ועוד.
    שטח מלבן – תרגילים לחישוב שטח מלבן.
    משפטים מלבן – משפטים המאושרים לשימוש בבגרות + שרטוטים.

וידאו: סיכום של תכונות המלבן

התוכן של הוידאו זהה להסבר המילולי שמופיע מכאן ולמטה.

 

1. תכונות מלבן הקשורות למשפטים המאושרים לשימוש ללא הוכחה בבגרות

סיכום תכונות המלבן כפי שפורטו למעלה

מלבן הוא מרובע עם 4 זוויות השוות ל 90 מעלות

על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן מספיק להוכיח שלמרובע יש 3 זוויות השוות ל 90 מעלות. במקרה זה הזווית הרביעית צריכה להשלים ל 360 מעלות ולכן גם גודלה הוא 90 מעלות.

במלבן כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זה לזה.

בדיוק כמו מקבילית. (מלבן הוא אחד הסוגים של מקבילית).

במלבן כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה.

בדיוק כמו במקבילית.

במלבן האלכסונים חוצים זה את זה.

בדיוק כמו במקבילית.

במלבן האלכסונים שווים באורכם זה לזה.

זו אחת הדרכים להוכיח שמרובע הוא מלבן. קודם כל מוכיחים שהמרובע הוא מקבילית ולאחר מיכן מוכיחים שהאלכסונים שווים זה לזה.
(הדרך השנייה היא להוכיח שלמקבילית יש זווית אחת של 90 מעלות).

 

2. תכונות מלבן שאם רוצים להשתמש בהם בבגרות צריך להוכיח אותם

אלכסוני המלבן יוצרים שני משולשים גדולים חופפים

אלכסוני המלבן יוצרים שני משולשים גדולים חופפים

ΔABC≅ΔDCB

ΔBAD≅ΔCDA

ניתן להוכיח את חפיפת המשולשים הזאת בקלות על ידי משפט צ.צ.צ (שתי צלעות הלבן + האלכסון) או צ.ז.צ (2 צלעות המלבן וזווית המלבן שבניהם).

החפיפה הזאת שימושית בעיקר כדי להוכיח שוויון זוויות:
BAC=∠CDB∠
ABC=∠DBC∠

אלכסוני המלבן יוצרים שני זוגות משולשים קטנים חופפים

אלכסוני המלבן יוצרים שתי זוגות משולשים קטנים חופפים

משולש 1 חופף למשולש 2.
משולש 3 חופף למשולש 4.

ניתן להוכיח את חפיפת המשולשים על ידי משפט חפיפה ז.צ.ז.
למשל:
BC=AD – צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
DBC=∠BAD∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
CAD=∠BDA∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

ארבעת המשולשים שנוצרים על ידי אלכסוני המלבן הם שווי שטח

תיכון יוצר שני משולשים שווי שטח – את זה כדאי שתדעו באופן כללי.
ומכוון שאלכסוני המלבן חוצים זה את זה ושווים זה לזה נוצרים ארבעה משולשים שווה שטח.

 

הוכחה שמשולשי המלבן יוצרים משולשים שווה שטח

נוכיח כי שטח משולש ΔDOA שווה לשטח המשולש ΔAOB.
בצורה דומה ניתן להוכיח את ארבעת המשולשים.

  1. AE – גובה משותף לשני המשולשים.
  2. BO=OD – אלכסוני המלבן חוצים זה את זה (לשני חלקים שווים).
  3. sdoa=(AE*OD):2
    saob=(BO*AE):2
  4. מכוון שהגובה הוא משותף ואורך הבסיס שווה אז שטחי המשולשים שווים זה לזה.

תכונות שאין למלבן

יש שתי תכונות שלפעמים מייחסים למלבן אך הם אינם נכונות.

  • האלכסונים אינם חוצי זווית.
  • האלכסונים לא מאונכים זה לזה.

עוד באתר:

  1. אלכסונים במרובעים – מידע על אלכסונים במרובעים נוספים.
  2. מלבן – הדף המרכזי על הצורה. תרגילים ומידע נוסף.
  3. מקבילית, מעוין, ריבוע, טרפז – מידע על צורות נוספות.
  4. שטח מלבן – תרגילים.

וידאו: טיפים לזכירת משפטי המרובעים

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.