6 מצבים שכדאי להכיר במשפחת המקביליות

בדף זה 6 מצבים + 3 נקודות לתשומת לב.
הדברים הכתובים בדף מתייחסים לכל משפחת המקביליות: מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע.
בשרטוטים תראו מלבן, אבל התוכן נכון לכל משפחת המקביליות.

1.אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

ולהפך: אם בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים אז אחת מצלעות המשולש היא חוצה זווית.

אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

המפתח להוכחה הוא שזוויות CDE∠ וזווית AED∠ הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן אם נתון ש DE חוצה זווית נגדיר:

  1. EDC = ∠EDA = X∠ נתון ED חוצה זווית.
  2. AED = ∠EDC =X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. קיבלנו שבמשולש AED יש שתי זוויות שגודלן X ולכן המשולש שווה שוקיים.

ההוכחה ההפוכה: נתון AD= AE וצריך להוכיח ש DE הוא חוצה זווית.

  1. DEA = ∠EDA = X∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. AED = ∠EDC =X∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. EDC = ∠EDA = X∠ ולכן DE הוא חוצה זווית.

2. שני חוצי זווית במקבילית שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית

כלומר אם AE, DE הם חוצה זווית במקבילית ABCD.
אש זווית AED = 90.

הוכחה:

  1. נגדיר D = 2a
  2. לכן A = 180 – 2a
  3. לאחר העבר שני חוצי הזווית וסימון הזוויות הידועות במשולש AED נקבל שהזווית E חייבת להיות שווה ל 90 על מנת להשלים את זוויות המשולש ל 180. לכן משולש AED הוא משולש ישר זווית.

בנוסף במלבן וריבוע שבהם כל הזוויות גודלן 90 מעלות המשולש AED כולל זוויות שגודלן 90,45,45. והוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים.

שני חוצי זווית במלבן שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית ושווה שוקיים

לנושא של שני חוצה זווית יש גם משמעויות נוספות בצורות שאינן מקביליות:

  1. במשולש וטרפז נקודת המפגש של חוצי הזווית נמצאת על קטע האמצעים.
  2. וגם להפך, אם שני ישרים יוצרים זווית של 90 מעלות ונקודת המפגש שלהם נמצאת על קטע האמצעים אז הישרים הם חוצי זווית.

3. שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הדבר נובע מכך שנוצרות שתי זוגות של זוויות מתאימות שוות וגם זווית אחת משותפת לשני המשולשים (זווית E∠).

 שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הוכחה:

  1. ECD = ∠EGF∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. EDC = ∠EFG∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EFG ∼ EDC  דמיון משולשים על פי ז.ז.

שימו לב: "לבליטה" יכולות מספר צורות. היא יכולה להיות המשך צלע, לא לצאת מקודקודי המלבן ויכולה לצאת מארבעת צדדי המלבן.

מספר צורות לדמיון המשולשים

4. מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 או 3 משולשים דומים

כאשר מעבירים קו מקביל לאחד הצלעות בתוך משולש נוצרים 2 משולשים דומים. וחסימת מלבן בתוך משולש ישר זווית בצורה היוצרת 2 זוגות של ישרים מקבילים יוצרת 3 משולשים דומים.

מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 משולשים דומים

ABC ∼ AED
הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

כאשר המלבן חסום במשולש ישר זווית נוצרים 3 משולשים דומים:

מלבן חסום במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים

ABC ∼ AED ∼ EBF

הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

5. ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים חוצה אותו (מוכיחים בחפיפת משולשים) ומכך שאם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית.
(הישר EF יוצר מקבילית AECF).

 ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הוכחה (בקצרה):

  1. COF ≅AOE בגלל שהזוויות הירוקות מתחלפות שוות + הכתומות קודקודיות + AO=OC אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה. משפט חפיפה ז.צ.ז.
  2. EO=FO צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. עכשיו במרובע ECFA האלכסונים חוצים זה את זה. AO=OC, EO=FO. ומרובע שבו האלכסונים חוצים הוא מקבילית.

6. כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

כאשר מחסרים קטעים שווים מאלכסון המלבן נקודת המפגש של האלכסונים עדיין מחלקת את האלכסון והאלכסון הנוסף לשני חלקים שווים.
ומרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
(אם BF=DE אז AECF מקבילית).

כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

הוכחה

  1. AO = CO,  BO = DO אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
  2. DE = BF נתון.
  3. OE = DO – DE
  4. FO = BO- BF
  5. OE=FO,   AO=CO  כלומר אלכסוני המרובע AEOF חוצים זה את זה ולכן המרובע הוא מקבילית.

7.כאשר נותנים לכם צלעות שוות חישבו על חפיפת משולשים או על חיבור / חיסור צלעות

כאשר אומרים לכם שצלעות שוות חשבו האם ניתן לבצע חיסור צלעות או חפיפת משולשים על מנת להגיע אל התשובה.
חפיפת משולשים היא כלי חשוב בהוכחות השונות.

תרגיל לדוגמה:
במלבן ABCD מעבירים את את הישרים BE ו CF כך ש BE=CF.
הוכיח AF=ED.

מלבן, שרטוט התרגיל

פתרון
נוכיח חפיפת משולשים ΔFDC ≅ ΔEAB

  1. AF=ED נתון.
  2. DC=AB- צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. D=∠A=90∠ – זוויות המלבן שוות 90.
  4. FE, EB הם יתר במשולשים ישרי זווית – נובע מ 3.
  5.  ΔFDC ≅ ΔEAB – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ. וזווית שמול הצלע הגדולה.
  6. AE=DF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  7. AF=DE – אם נחסר מהשוויון שמצאנו ב 6 גודל קבוע (FE) נקבל קטעים שווים.
    בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
    AF= AE-FE=DF-FE=DE

8. שימו לב שצלעות וזוויות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

בחלק משאלות המלבן לא מבינים מה הקשר הנתונים למה שצריך למצוא. המיקום של הצלע המבוקשת כל כך רחוק מהאזור שבו יש נתונים.
אז בשאלות מסוג זה כנראה שאתם צריכים להשתמש בשוויון צלעות נגדיות או שוויון חצאי האלכסונים.

שאלה לדוגמה:
במקבילית ABCD הישר BE הוא חוצה זווית. הוכיחו כי EB=AD.

שימו לב שצלעות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

הוכחה (בקצרה):

  1. ECD = ∠CEB∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. במשולש EBC יש שתי זוויות שוות ולכן EB=BC
  3. BC = AD (צלעות נגדיות במקבילית שוות).
  4. ולכן EB= AD

9. לא לשכוח שבמלבן יש ישרים מקבילים…

אולי בגלל שלא כתוב בשאלות במפורש "ישרים מקבילים" ראיתי מקרים רבים של תלמידים ששוכחים להשתמש בתכונה זו בפתרון השאלות.
במלבן הישרים מקבילים ולכן ניתן למצוא בהם זוויות מתאימות או מתחלפות שוות.
זכרו להשתמש בתכונה זו.

עוד באתר:

נספח: שני חוצי זווית העוברים במשולש או טרפז

משולש
במשולש אם שני חוצה הזווית יוצרים זווית של 90 מעלות אז נקודת המפגש של חוצה הזווית נמצאת על קטע האמצעים במשולש.

ובניסוח מתמטי:
במשולש ABC הקטעים BD, CD הם חוצה זווית.
CDB = 90.
מעבירים את הישר DE כך שהוא מקביל לצלע BC.
הוכיחו כי DE הוא חלק מקטע אמצעים במשולש ABC.

פתרון
נגדיר
A = 2a
C = 2b

CDE = DCB = b  זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו.
לכן משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים.
CE = ED (שוויון ראשון)

EDA = FAD = a
לכן משולש DEA הוא משולש שווה שוקיים.
AE = ED  (שוויון שני)

משתי השוויונות:
CE = ED
AE = ED
נקבל כי :
AE = CE
כלומר הנקודה E היא אמצע הצלע AC.

טרפז
גם בטרפז ניתן להוכיח כי אם AE, BE הם חוצה זווית אז זווית E גודלה 90 מעלות והנקודה E נמצאת על קטע האמצעים של הטרפז.

את ההוכחה מלאה תוכלו לקרוא בדף קטע אמצעים בטרפז.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.