הוכחת מקבילית

איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית? יש 5 משפטים שבעזרתם ניתן להוכיח.

  1. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

 

על מנת לזכור את חמשת המשפטים לי זה עוזר לזכור שיש 3 משפטים על צלעות. 1 משפט על זוויות. 1 משפט על אלכסונים.

3 סרטוני וידאו העונים על מספר רב של מצבים

בשלושת הסרטונים הבאים תלמדו את העקרונות של הוכחת מקבילית. תקבלו הסבר באיזה מצב אתם צריכים להשתמש באיזה משפט.

 

תרגילים

הערות כלליות לפתרון תרגילים:

  1. עליכם לזכור את חמשת משפטי ההוכחה.
  2. שימו לב לנתונים. אם הנתונים הם אורכי צלעות אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אורכי צלעות (משפטים 2 או 3) אם הנתונים הם על נקודת מפגש האלכסונים אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אלכסונים במקבילית (משפט 5).
  3. בחלק מהשאלות צריך להשתמש בחפיפת משולשים על מנת להשיג עוד נתונים.
  4. בהרבה שאלות יש כבר מקבילית ואתם צריכים להוכיח שיש עוד אחד. לשם כך עליכם להשתמש בתכונות המקבילית שנתונה לכם בשאלה.

תרגיל 1

בטרפז ABCD מעבירים ישר BE כך ש BE מקביל ל AD.

  1. הוכיחו כי המרובע ABED הוא מקבילית.
  2. אם הנתון היה ש BE = AD (אך הם אינם בהכרח מקבילים). האם גם אז היה ניתן להוכיח ש ABED הוא מקבילית?

הוכחת מקבילית, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BE מקביל ל AD (נתון).
  2. AB מקביל ל ED (אם ישר AB מקביל לצלע CD הוא גם מקביל לחלק מהצלע).
  3. ABED מקבילית. מרובע שבו שתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

חלק שני

לא. כאשר יש זו צלעות שהוא שווה באורכו וזוג שני שהוא מקביל לא ניתן להוכיח שהמרובע הוא מקבילית – אין משפט כזה.

למשל כך יכול להראות הישר BE כאשר הוא שווה אך לא מקביל ל AD.

דוגמה ל BE= AD אך המרובע ABED הוא לא מקבילית.

דוגמה ל BE= AD אך המרובע ABED הוא לא מקבילית.

תרגיל 2

במקבילית ABCD מעבירים את הישרים AE ו CF כך ש AE מקביל ל CF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AE מקביל ל CF (נתון).
  2. AE מקביל ל CE (אם צלע (AD) מקבילה לצלע אחרת (BC) אז גם חלק מהצלע מקביל לחלק לצלע או חלקה).
  3. AECF הוא מקבילית (מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהנתונים היו על זוג צלעות מקבילות חיפשתי את הדרך להשתמש במשפט המדבר על צלעות מקבילות.

תרגיל 3

במקבילית ABCD הנקודות E ו F מקיימות BE=DF.
הוכיחו המרובע הוא AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AF = AD-FD
  2. CE = CB – EB
  3. EB=FD (נתון).
  4. AD=BC (צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו)
  5. AF = CE נובע מסעיפים 1-4.
  6. CE מקביל ל AF (נובע מכך ש AD מקביל ל BC).
  7. AECF הוא מקבילית (נובע מסעיפים 4,5. אם במרובע זוג צלעות שווה ומקביל אז המרובע הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהמידע שקיבלנו הוא על אורך צלע חיפשנו משפט הוכחה המשתמש באורכי צלעות.

תרגיל 4

המרובע ABCD והמרובע CDEF הם מקביליות.
הוכיחו כי המרובע ABFE הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AB=CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. EF = CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. AB = EF (נובע מ 1 ו 2).
  4. AB מקביל ל CD צלעות נגדיות במקבילית מקבילות.
  5. EF מקביל ל CD צלעות נגדיות במקבילית מקבילות.
  6. AB מקביל ל EF (אם שתי צלעות מקבילות לצלע שלישית (CD) אז הם גם מקבילות אחת לשנייה).
  7. המרובע ABFE הוא מקבילית (נובע מ 3,6) (מרובע שיש בו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
צריך לשים לב לצלע המשותפת לשתי המקביליות ולעשות בה שימוש.

תרגיל 5

במקבילית ABCD מעבירים דרך נקודת מפגש האלכסונים (O) ישר EF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AO=OC (במקבילית נקודת מפגש האלכסונים (O) חוצה את האלכסונים לשני חלקים שווים).
  2. FCA = ∠EAC∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EOA = ∠COF∠ זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  4. FOC ≅ EOA משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
  5. EO = FO צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 1,5) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).

דרך אחרת לפתרון היא לכתוב במקום 5:
5. CF= AE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6. CF מקביל ל CE (אלו שתי חלקי צלעות מתוך צלעות מקבילות)
7. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 6,5) (מרובע עם זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית).

סיכום תרגיל
מכוון שנקודת מפגש האלכסונים הוזכרה בשאלה עלינו לחפש דרך שבה התכונה של נקודת המפגש תעזור לנו לפתור את השאלה.

תרגיל 6

במקבילית ABCD הנקודה O היא נקודת מפגש האלכסונים.
הנקודות E,F נמצאות על האלכסון BD כך ש EB=FD.
הוכיחו המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. EB=FD (נתון).
  2. OD = OB נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית מחלקת כל אלכסון לחלקים שווים.
  3. OF = OD-FD
  4. OE = OB-EB
  5. OF= OE (נובע מסעיפים 1-4).
  6. נעביר את האלכסון AC במקבילית AECF. הנקודה O חוצה אותו לשני חלקים שווים משום ש AC הוא אלכסון במקבילית ABCD.
  7. כלומר AO=OC.
  8. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 5,7) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).

עוד באתר:

  1. מקבילית, הדף המרכזי על הצורה.
  2. הוכחת מרובעים, כיצד מוכיחים מרועים אחרים.
  3. מרובעים, מידע על מרובעים נוספים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.