משפט חוצה הזווית במשולש

המשפט על חוצה הזווית במשולש הוא אחד המשפטים החשובים בגיאומטריה בתחום של פרופורציה ודמיון.

המשפט הראשי:
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

המשפט ההפוך :
אם קטע המחבר קודקוד וצלע במשולש יוצר על הצלע קטעים פרופורציונליים ביחס זהה לצלעות היוצרות את חוצי זווית אז הקטע הוא חוצה זווית.

משפט חוצה הזווית

לשם הבהרה, המשפט ההפוך אומר שאם:

אז AD הוא חוצה זווית.

תרגילים

תרגילים 6-7 קשים יותר מחמשת התרגילים הראשונים.

תרגיל 1: בסיסי להכרת המשפט
נתון משולש ABC ובתוכו עובר חוצה זווית.
AB=6, AC=9, DC=4.5 ס"מ.
חשבו את BD.

שרטוט התרגיל התכונה של חוצה הזווית

פתרון
על פי משפט חוצה הזווית.

נציב את המספרים שאנו יודעים ונקבל:

נכפיל את המשוואה ב 4.5 ונקבל את הפתרון:

תשובה: BD = 3 סנטימטר.

תרגיל 2
הוכיחו בעזרת משפט חוצה הזווית את המשפט:
"במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית הוא תיכון".

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

אופן ההוכחה:
נניח ש AD הוא חוצה זווית במשולש שווה שוקיים' ונוכיח שהוא חייב להיות תיכון.

פתרון
אם AD הוא חוצה זווית אז בכול משולש מתקיים על פי משפט חוצה הזווית:

במשולש שווה שוקיים מתקיים היחס
AC / AB = 1

לכן גם:
CD / DB =1

נובע מכך
CD = DB
כלמר, AD הוא גם תיכון.

תרגיל 3: חוצה זווית ושטח משולש
במשולש ABC מעבירים חוצה זווית AD.
AB=6, AC=12.
מה היחס בין גודל שטח משולש ABD ושטח משולש ACD.

שרטוט התרגיל

פתרון
נעביר את הגובה AE.
נשים לב שהגובה AE הוא גובה אל הצלע BD במשולש ABD
וגם גובה אל הצלע CD במשולש ACD.
כלומר AE הוא גובה משותף לשני משולשים.

אם נחשב את השטחים של המשולשים נקבל:
SABD = 0.5AE*BD
SACD = 0.5AE* CD

לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:

כלומר מצאנו שיחס שטחי המשולשים הוא:

על פי משפט חוצה הזווית היחס BD/CD שווה ל:

לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:

תשובה: שטח משולש ACD גדול פי 2 משטח משולש ABD.

תרגיל 4
AD הוא חוצה הזווית A במשולש ABC.
AB=10, CD=8. כמו כן ידוע כי AC גדול פי 5 מ – BD.
חשבו את אורכי הצלעות AC ו- BD.

שרטוט התרגיל

פתרון
נגדיר את BD=x ולכן AC=5x.
על פי התכונה של חוצה הזווית במשולש נבנה את המשוואה הבאה:

נציב: AB=10, CD=8,
BD=x, AC=5x

ונקבל משוואה עם נעלם אחד:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 40x ונקבל:
5x² = 80
x² = 16
x = 4,  x = -4

מכוון ש x הוא גודל של צלע הוא חייב להיות מספר חיובי.
והתשובה:
x = 4
AC = 5x = 20

תשובה:  BD = 4, AC = 20.

תרגיל 5: דמיון משולשים
במשולש ΔABC מעבירים חוצה זווית AD.
ידוע כי AD = BD.
א. מצאו אלו משולשים דומים כאן והוכיחו דמיון משולשים.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שעובר בו חוצה זווית

פתרון
על מנת למצוא את דמיון המשולשים נגדיר את אחת הזווית כ α ונשלים את שאר הזוויות בעזרתה.

  1. נגדיר: BAD=∠CAD=α∠.
  2. ABD=α∠ – במשולש שווה שוקיים ΔABD זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. ADB=180-2α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABD.
  4. ADC=2α∠  – זווית צמודה לזווית ADB∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
  5. C=180-3α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔADC.

כך נראה המשולש כשכול הזוויות מסומנות בו:

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

ניתן לראות כי המשולשים הדומים הם ΔCBA∼ΔCAD והם דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 6: שילוב תכונות הריבוע
בריבוע ABCD מעבירים את האלכסון AC ואת הישר BE הנחתכים בנקודה F.
DE = 3AE.
EF= 5 ס"מ.
חשבו את אורך צלע הריבוע.

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה

  1. על פי ההגדרות שלנו צלע הריבוע היא 4x.
  2. נשתמש בכך שאלכסון הריבוע הוא חוצה זווית ושצלעות הריבוע שוות.
  3. נשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון
שלב א: נמצא את FB
נגדיר AE = x
ולכן
DE = 3x,  AB = 4x.

AF הוא חוצה זווית במשולש AEB.
נבנה משוואה:

נציב את המספרים והמשתנים במשוואה ונקבל:

FB = 20

שלב ב: משפט פיתגורס
על פי משפט פיתגורס במשולש ABE:
x² + (4x)² = 25²
17x² = 625  /17
x² = 36.764
x= 6.06

AB= 4x = 24.24
תשובה: אורך צלע הריבוע היא 24.24 סנטימטר.

תרגיל 7: שני חוצי זווית, משתנה אחד מגדיר שתי צלעות
במשולש ABC מעבירים את חוצי הזווית BD, CE שנפגשים בניהם בנקודה F.
AB= 12, AC = 16, BC= 9.
חשבו את היחס EF / FC.

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

הפתרון בקצרה

  1. על ידי הגדרה של EB = X נוכל להגדיר גם את AE ולמצוא את הגדלים של שניהם.
  2. BF הוא חוצה זווית במשולש BEC. נשתמש בעובדה זו ופתרנו את השאלה.

פתרון
נגדיר:
EB = x
לכן:
AE = 12 -x

CE הוא חוצה זווית, לכן ניתן לבנות את המשוואה:

נציב את המספרים והמשתנים שהגדרנו במשוואה:

נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
(16x = 9 (12 – x
16x = 108 – 9x
25x = 108
x = 4.32

שלב ב
BF הוא חוצה זווית במשולש BCE.
לכן על פי משפט חוצה הזווית:

תשובה: היחס EF:FC  הוא  4.33:9.

עוד באתר:

  1. דמיון משולשים, הסברים ותרגילים.
  2. מרובעים – מדריך לכל סוגי המרובעים.
  3. משפטים בגיאומטריה – רשימת משפטים עם שרטוטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
  4. משפט תאלס – הסבר ותרגילים פתורים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.