משפט חוצה הזווית במשולש

המשפט על חוצה הזווית במשולש הוא אחד המשפטים החשובים בגיאומטריה בתחום של פרופורציה ודמיון.

המשפט הראשי הוא : חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

קיים גם המשפט ההפוך :
אם קטע המחבר קודקוד וצלע במשולש יוצר על הצלע קטעים פרופורציונליים ביחס זהה לצלעות היוצרות את חוצי זווית אז הקטע הוא חוצה זווית.

חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.

תרגילים

תרגיל 1: בסיסי להכרת המשפט

נתון משולש ABC ובתוכו עובר חוצה זווית.
AB=6, AC=9, DC=4.5 ס"מ.
חשבו את BD.

שרטוט התרגיל התכונה של חוצה הזווית

תרגיל 2

מה הקשר בין התכונה של חוצה הזווית במשולש לבין העובדה שחוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון?

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

פתרון

במשולש שווה שוקיים היחס בין גדלי השוקיים הוא 1:1.
ואם מעבירים חוצה זווית הוא צריך לחלק את הצלע שהוא מגיע אליה בדיוק באותו היחס – וזה היחס שבה מחלק את הצלע תיכון.

כלומר: מכוון ש AC / AB =1  גם CD / DB צריך להיות שווה 1.

תרגיל 3: חוצה זווית ושטח משולש

במשולש ABC מעבירים חוצה זווית AD.
AB=6, AC=12.
מה היחס בין גודל שטח משולש ABD ושטח משולש ACD.

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

 

פתרון

  1.  CD / DB = AC / AB = 12/6 = 0.5  על פי התכונה של חוצה הזווית
  2. CD = 2AB (נובע מ 1).
  3. נעביר גובה AE=h. זה גובה במשולש ACD ובמשולש ABD.
  4. נחשב את שטחי שני המשולשים:
    SABD= 0.5h * AB
    SAcD=0.5h*CD = 0.5h*2AB  (נובע מ 2).
  5. תשובה: שטח משולש ACD גדול פי 2 משטח משולש ABD.

תרגיל 4

נתון משולש ABC ו- AD הוא חוצה הזווית A.
AB=12, CD=7. כמו כן ידוע כי AC גדול פי 5 מ – BD.
חשבו את אורכי הצלעות AC ו- BD.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר את BD=X ולכן AC=5X.
  2. על פי התכונה של חוצה הזווית במשולש נבנה את המשוואה הבאה:
  3. 5X²=80 / :5
    X²=16
    X=4  או x=-4.
    גודל של צלע במשולש הוא מספר חיובי ולכן:
  4. תשובה: BD=4  ס"מ. AC=20 ס"מ.

תרגיל 5: שני חוצי זווית, משתנה אחד מגדיר שתי צלעות

במשולש ABC מעבירים את חוצי הזווית BD, CE שנפגשים בניהם בנקודה F.
AB= 12, AC = 16, BC= 7.
חשבו את היחס EF / FC.

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

הפתרון בקצרה

  1. על ידי הגדרה של EB = X נוכל להגדיר גם את AE ולמצוא את הגדלים של שניהם.
  2. BF הוא חוצה זווית במשולש BEC. נשתמש בעובדה זו ופתרנו את השאלה.

פתרון

  1. ראשית עלנו לזהות ש BF הוא חוצה זווית במשולש BEC.
  2. לאחר מיכן נבין שאם נדע את EB נוכל לענות על השאלה כי EB / EA = EF / FC. נמצא את EB.
  3. נגדיר EB = X ולכן AE = 12 – X.
  4. על פי משפט חוצה הזווית X /(12 – X) = BC /AC = 9 /16
    16X = 9(12-X) = 108-9X /+9X
    25X = 108 / :25
    EB= X= 4.32
    EA = 16 – 4.32 = 13.68
  5. EF / FC = EB / EA = 4.34 / 13.68 = 0.317

תרגיל 6: שילוב תכונות הריבוע

בריבוע ABCD מעבירים את האלכסון AC ואת הישר BE הנחתכים בנקודה F.
DE = 3AE.
EF= 5 ס"מ.
חשבו את אורך צלע הריבוע.

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה

  1. נשתמש בכך שאלכסון הריבוע הוא חוצה זווית ושצלעות הריבוע שוות.
  2. נשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון

  1. נגדיר AE = X ולכן DE = 3X.
  2. AB = AD = X+3X = 4X צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  3. BF / EF = AB / AE = 4X/ X = 4
  4. BF = 4EF = 4*5=20
  5. BE = BF + FE = 20+5=25
  6. על פי משפט פיתגורס במשולש ABE:
    X² + (4X)² = 25²
    17X² = 625  /17
    X² = 36.764
    X= 6.06
  7. AB= 4X = 24.24

תרגיל 7: משפט חוצה הזווית במעגל

מנקודה A שמחוץ למעגל מעבירים שני משיקים AB, AD.
מהנקודה B מעבירים ישר העובר דרך מרכז המעגל O ופוגש את המשכו של של הישר AD בנקודה C שמחוץ למעגל.
AD = 8, DC =4 ס"מ.
חשבו את רדיוס המעגל.

משפט חוצה הזוויות במשולש, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AB=AD=8 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  2. נעביר את AO שהוא חוצה זווית משום שישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים.
  3. OB=R רדיוס המעגל.
  4. R /OC = 8 /12=2/3
    OC = 1.5R
  5. BC = 1.5R + R = 2.5R
  6. משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B=90∠). רדיוס המעגל מאונך למשיק למעגל בנקודת ההשקה.
  7. במשולש ABC על פי משפט פיתגורס:
    2.25R)² = 12² – 8 ² = 144-64 = 80)
    5.0625R² = 80
    R² = 15.8
    R=3.98

עוד באתר בנושאים דומים:

  1. דמיון משולשים, הסברים ותרגילים.
  2. מרובעים – מדריך לכל סוגי המרובעים.
  3. משפטים בגיאומטריה – רשימת משפטים עם שרטוטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
  4. משפט תאלס – הסבר ותרגילים פתורים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.