מרובע חסום במעגל

משפטים על מרובע חסום במעגל

מה זה מרובע חסום במעגל? מרובע חסום במעגל הוא מרובע שארבעת קודקודיו נמצאים על המעגל.

  1. משפט: במרובע החסום במעגל סכום הזוויות הנגדיות במרובע שווה ל 180.
  2. המשפט ההפוך: אם סכום זוויות נגדיות במרובע שווה ל 180 ניתן לחסום את המרובע במעגל.
במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות

שימו לב שמרובע חסום במעגל רק אם 4 הקודקודים שלו נמצאים על המעגל.
דוגמה למרובע שאינו חסום במעגל.

דוגמה למרובע שאינו חסום במעגל

תרגילים

תרגיל 1: האם ניתן לחסום את המרובעים הבאים?

האם ניתן לחסום את המרובעים הללו במעגל?

האם ניתן לחסום את המרובעים הללו במעגל

  1. ניתן. משום שעל פי סכום זוויות במשולש DAB ניתן למצוא שזווית A שווה ל 80. ואז A+C=180.
  2. לא ניתן. כי זווית DCA =60 ואז זווית C=80.  וגם A+C=190. לכן לא ניתן לחסום.

תרגיל 2

נתון מיתר AB שמאונך אליו רדיוס OB.
הוכיחו המרובע ACBO הוא דלתון.
(תזכורת: דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים).

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OA=OB – רדיוסים.
  2. AD=DB – ישר היוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה את המיתר.
  3. AOC=∠BOC∠ – במשולש שווה שוקיים תיכון הוא גם חוצה זווית.
  4. AC=CB – זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
  5. המרובע ACBO הוא דלתון. (נובע מ: 1 ו- 4).

תרגיל 3 – הוכחה שטרפז החסום במעגל חייב להיות שווה שוקיים

נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

טרפז חסום במעגל

פתרון

הוכחה כי טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

  1. מעבירים אלכסון BD.
  2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. CD=AB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    כלומר הטרפז שווה שוקיים.

תרגיל 4

שני מעגלים נחתכים בנקודת E ו F. מהנקודה A שעל מעגל 1 מעבירים ישר דרך הנקודה E אל הנקודה B שעל המעגל השני.
מהנקודה D שעל מעגל 1 מעבירים דרך הנקודה F ישר אל הנקודה C שעל המעגל השני.
הוכיחו כי הישר AD מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר EBC=a∠
  2. EFC = 180-a∠ במרובע BEFC החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  3. EFD = a∠ סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  4. EFD = 180-a∠  במרובע AEFD החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  5. הישר AD מקביל ל BC – אם זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות אז הישרים מקבילים.
    (הזוויות החד צדדיות הן EFD = 180-a∠ ו EBC=a∠)

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.